Kurseinheit 1 Einleitung, Rekursive und rekursiv-aufzählbare Mengen

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1 Kurseinheit 1 Einleitung, Rekursive und rekursiv-aufzählbare Mengen Fragen 1. Erkläre die Begriffe: Potenzmenge, partielle Funktion, Vorbereich, Nachbereich, Graph, Inverse, Definitionsbereich, Bildbereich, totale Funktion, Fortsetzung und Einschränkung. 2. Was ist eine Registermaschine? Welche Befehle sind zugelassen? 3. Wie ist eine berechenbare Zahlenfunktion definiert? Was ist eine verallgemeinerte Registermaschine? Seite Punkte Was besagt die Church/Turing These? In welchem Zusammenhang stehen Zahlen und Zahlentupel bzw. die Zahlenberechenbarkeit mit der Wort- Berechenbarkeit? 6. Wie sind die Standard-Nummerierung φ und die Standard- Komplexität Φ definiert? Führe das utm- und das smn- Theorem an sowie die Sätze (B1) und (B2)! 7. Wann heißt eine Menge A N k rekursiv? Wann heißt eine Menge A N k rekursiv-aufzählbar? Was besagt das T-Prädikat von Kleene? Die Menge A N k sei rekursiv. Welche Eigenschaften sind dazu äquivalent (Charakterisierung der rekursiven Mengen)? 10. Welche Operationen überführen rekursive Mengen in rekursive Mengen? 11. Wie sind rekursiv-aufzählbare Mengen charakterisiert? Was gilt für jede unendliche r.a. Menge A N? 12. Welche Operationen überführen r.a. Mengen in r.a. Mengen? Was besagt der Projektionssatz Definiere das Selbstanwendbarkeits- und das Halteproblem! Wann heißt eine Menge A reduzierbar, 1-reduzierbar, äquivalent und 1-äquivalent zu einer Menge B? Welche Eigenschaften habe diese Relationen und welche Folgerungen ergeben sich aus "A ist reduzierbar auf B"? 20 f Was besagt das Graph-Theorem? Was besagt der Satz von Rice, Shapriro, McNaughton und Myhill? 23 4 Ü B E R T R A G Theorie der Berechenbarkeit SS / 6

2 Ü B E R T R A G Was folgt aus φ -1 [ F ] ist r.a.? Was besagt der Satz von Rice? Wie sind das Korrektheits-, das Falschheits- und das Äquivalenzproblem definiert? Wie ist eine simple Menge definiert? Welche Eigenschaften hat eine simple Menge? 26 f Was ist ein Entscheidungsproblem? Wie ist ein Semi-Thue-System definiert? Was ist das Postsche Korrespondezproblem? Wie lautet das 10. Hilbertsche Problem? Ist es lösbar? 34 f Beweise, dass eine simple Menge S nicht rekursiv ist? Wie lautet der Satz über die Unlösbarkeit des Wortproblems für Semi-Thue-Systeme? 30 4 S U M M E 143 Kurseinheit 2 Nummerierungen Fragen Seite Punkte 25. Wie ist eine Nummerierung einer Menge M definiert? Definiere 10 Standard-Nummerierungen? Wie sind die Begriffe ν-rekursiv, ν-rekursiv-aufzählbar und (ν, ν')-berechenbar definiert? 28. Was besagt Lemma 3.5 bezüglich Folgerungen aus obigen Eigenschaften? 29. Was besagt der Satz über den Abschluss unter Komposition? 30. Wie sind die Reduzierbarkeit und die Äquivalenz von Nummerierungen definiert? 31. Was besagt der Satz über die Berechenbarkeit bei äquivalenten Nummerierungen? 32. Wie ist Isomorphie definiert? Was besagt der Satz von Myhill? Ü B E R T R A G Theorie der Berechenbarkeit SS / 6

3 Ü B E R T R A G Wie ist eine Zylinder definiert? Was ist eine Zylindrifikation? Was besagen das Zylinder-Lemma und das Lemma über die Charakterisierung von Zylindern? Ist die Standardnummerierung ψein Zylinder? Wie ist eine Notation definiert? Wie hängen Nummerierungen und Notationen zusammen? Wie ist die starke Berechenbarkeit definiert? 36. Was sind totale Nummerierungen? Wie sind berechenbare Relationen definiert? Was besagt der Äquivalenzsatz von Rogers? 57 6 S U M M E 86 Kurseinheit 3 Der Rekursionssatz mit Anwendungen 38. Was besagt der Rekursionssatz von Kleene? Was versteht man unter Selbstreproduktion? Beweise den Satz von Rice mit dem Rekursionssatz! Nenne noch 3 weitere Versionen des Rekursionssatzes! 40. Wie sind fastvollständige Nummerierungen definiert? Nenne 5 Bespiele! Was besagt der Rekursionssatz für ν? 41. Was kann man aus der fastvollständigen Nummerierung ν folgern? Was besagt der Fixpunktsatz? 42. Wie sind die Begriffe produktiv und kreativ definiert? Gib jeweils ein Beispiel an! Ergänze: "Kreative Mengen sind, produktive Mengen sind. Was besagt der Satz über die Charakterisierung der produktiven Mengen? 43. Was heißt vollständig produktiv? Was ist die ω-produktive Funktion? 44. Was hat jede produktive Menge? Wie hängen kreative Mengen mit simplen Mengen zusammen? 45. Wann heißen Mengen effektiv-untrennbar? Was kann man aus 2 effektiv-untrennbaren Mengen folgern? f f f. 7 Ü B E R T R A G Theorie der Berechenbarkeit SS / 6

4 Ü B E R T R A G Was besagt der Satz von Rice (verallgemeiner)? Was ist jede fastvollständige Nummerierung? Was besagt das injektive smn-theorem? Wie sind m-harte und m-vollständige Mengen definiert? Was besagt der Satz über die Charakterisierung kreativer Mengen? S U M M E 69 Kurseinheit 4 Anwendungen in der Logik 49. Wie ist die Sprache der Arithmetik 1. Ordnung definiert? Wie kann man jeden Term eindeutig Zerlegen? Wie sind freies Vorkommen und Substitution definiert? Wie ist die Auswertung von Termen und Formeln und deren Semantik definiert? 53. Wann heißt eine Menge arithmetisch? Wann heißt eine Funktion arithmetisch darstellbar? Was ist die Gödel-Menge? Wie hängen die Begriffe arithmetisch und r.a. zusammen? Wie sind µ-rekursive Funktionen definiert? Welche Eigenschaft hat die Menge L w A? Wie ist ein axiomatisches System definiert? Was besagt der Satz über axiomatische Systeme? 59. Was besagt der 1. Gödelsche Unvollständigkeitssatz? Wie sind die Begriffe korrekt und vollständig definiert? 60. Wie lautet die effektive Version des 1. Gödelschen Unvollständigkeitssatzes? 61. Wie ist eine Negation zu einer Semantik definiert? Was kann man darauf folgern? Was besagt der Gödel-Rosser Unvollständigkeitssatz? 99 4 S U M M E Theorie der Berechenbarkeit SS / 6

5 Kurseinheit 5 Wahrheitstafel- und Turing-Reduzierbarkeit 63. Wie sind eine Orakelmaschine und die Begriffe A- berechenbar, µ-rekursiv in A, A-rekursiv und A-r.a. definiert? 64. Wie sind ψ i und Ψ i definiert? Wie sind die relativierte utm-, smn- bzw. Φ-Theoreme definiert? Wie sind sie für festes A? 65. Wie ist die Turing-Reduzierbarkeit definiert? Nenne Beispiele! Was lässt sich daraus folgern? 66. Was besagen der Satz von Friedberg und Muchnik und das Postsche Problem? 67. Wie sind der Sprung und der n-te Sprung definiert? Nenne 6 wichtige Eigenschaften des Sprung-Operators! f Wie ist die Wahrheitstafel-Reduzierbarkeit definiert? Was besagt der Satz über die tt-reduzierbarkeit? Was besagen der Satz von Nerode und der Kompaktheitssatz für den Cantor-Raum? S U M M E 77 Kurseinheit 6 Die Arithmetische Hierarchie 71. Wie sind die Klassen Σ n und π n definiert? Wie kann man Quantoren verschmelzen? Wann ist eine Menge arithmetisch? Was besagt der Tarski-Kuratowski-Algorithmus? Wie sind die Standardnummerierungen σ n und π n definiert? Was ist die beschränkte Quantifizierung? Was besagt der Satz über die arithmetische Hierarchie (Kleene-Hierarchie)? 78. Was besagt der Satz von Tarski? Welche Mengen sind nicht arithmetisch? Beweise! S U M M E Theorie der Berechenbarkeit SS / 6

6 Kurseinheit 7 Komplexitätstheorie 79. Wie ist das Blumsche Komplexitätsmaß definiert? Wie lässt sich der Funktionswert durch die Komplexität abschätzen? (Satz 8.5) Was besagt der Trennungssatz? Wie sind die Komplexitätsklassen definiert? Was besagt der Kompressionssatz? 83. Was besagt der Lückensatz (Gap Theorem)? Wie ist der Begriff schwach ν-r.a. definiert? 84. Was besagt das speedup-theorem (Satz von M. Blum 1967, Beschleunigungssatz)? S U M M E 21 Übungen Selbsttestaufgaben und Lösungen Einsendeaufgabe und Musterlösung Fragen zu den einzelnen Kurseinheiten 1680 Theorie der Berechenbarkeit SS / 6