2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

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1 2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f (X ). Beispiele: Berechnungen: Y aus X berechnen; z.b. X = zwei Vektoren, Y = Skalarprodukt Dokument drucken: X = Dokument; Y = Befehle/Daten, die den Drucker dazu bringen, ein Dokument zu drucken Rastern von Grafiken: X = Repräsentation eines Objekts; Y = Farbintensitätswerte von Pixeln Die Art und Weise, wie diese Transformationen durchgeführt werden, ist durch die Programme festgelegt, die vom Prozessor ausgeführt werden: Eingabe X Programm Prozessor Ausgabe Y X und Y sind Datenstrukturen (Skalare, Vektoren, Matrizen oder sonstige Zusammenfassungen), d.h. Ansammlungen von Daten. Als Datentypen werden Zahlen oder Zeichen verwendet. 2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten Digitale Darstellung ) Verwendung von Binärzahlen

2 8 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 2.2 Festkommazahlen Festkommazahlen sind Zahlen, bei denen das Komma an einer zuvor festgelegten/vereinbarten Stelle steht. Vorzeichenlose Festkommazahlen Vorzeichenlose Festkommazahlen haben kein Vorzeichen, d.h. sie sind stets positiv. Der Wert v (v = value) einer vorzeichenlosen Festkommazahl ergibt sich zu: v =(a n 1 b n a 1 b 1 + a b ) b i n ist die Stellenzahl, d.h. die maximale Menge an Ziffern, mit denen die Zahl dargestellt werden kann. b ist die Basis des Zahlensystems, z.b. 1 für das system (Ziffern...9) oder 2 für Binärzahlen. Ziffern an der Stelle j haben die Wertigkeit b j. Die Koffizienten a j sind die Ziffern an den Stellen j. Die Werte der Ziffern liegen im Bereich...(b 1) und geben an, wie oft die Wertigkeit der jeweiligen Stelle zum Wert der Zahl beiträgt. Der Wert von i legt die Position des Kommas fest: i =: Dieser Fall ist der Normalfall: Durch Multiplikation mit b i = b =1 bleibt v = a n 1 b n a 1 b 1 + a b. Das Komma steht hinter der Einer-Stelle und wird weggelassen. Es werden ganze Zahlen mit den Werten, 1,..., b n 1 dargestellt. i > : Durch Multiplikation mit b i können größere Zahlen dargestellt werden, jedoch auf Kosten geringerer Genauigkeit. Die Ziffern der Zahl werden um i Stellen nach links geschoben, die frei werdenden Positionen werden mit Nullen aufgefüllt. Das Komma wird weggelassen. Darstellungsbeispiel einer Festkommazahl für n = 8 und i = 3: xxxxxxxx. Die Zeichen x stehen dabei jeweils für eine der Ziffern a n 1... a. i < : Da i <, entspricht die Multiplikation mit b i einer Division durch b i, d.h. das (nach der Einer-Stelle implizit stehende) Komma wird um i Stellen nach links geschoben. Die Genauigkeit erhöht sich auf Kosten der größtmöglich darstellbaren Zahl. Darstellungsbeispiel für n =8und i = 3: xxxxx,xxx. Im folgenden werden nur noch zahlen (b = 1) und Binärzahlen (b = 2) betrachtet.

3 2.2 Festkommazahlen 81 Nachfolgender Zahlenring zeigt die Zuordnung von Binär- zu zahlen für diese Kodierung: Richtung steigender Werte Die Darstellung zeigt: Bei Binärwerten tritt ein Überlauf auf, wenn sich der Wert des höherwertigsten Bits, auch MSB (most significant bit) genannt, ändert Die Richtung steigender Werte ist bei beiden Kodierungen gleich; Beispiel: = = 11 2

4 82 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Aufgaben Die folgenden Aufgaben betrachten Binärzahlen, d.h. b =2. a) Welches ist die kleinste darstellbare vorzeichenlose Festkommazahl? b) Wieviele unterschiedliche vorzeichenlose Festkommazahlen können mit n Bit dargestellt werden? c) Geben Sie für i =den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl in Abhängigkeit von n an. d) Geben Sie für n =8und i =2den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an. e) Betrachten Sie den Zahlenring. Wie kann man einen Überlauf von vorzeichenlosen Zahlen feststellen? f) Sind alle Abstände vorzeichenloser Binärzahlen zum nächst kleineren und nächst größeren Nachbarn gleich weit entfernt? Skizzieren Sie für i = 2 und n = 3die entsprechenden Werte auf dem Zahlenstrahl.

5 2.2 Festkommazahlen 83 Im Folgenden gilt i =. g) Wandeln Sie für n =8folgende zahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um. Binär vorzeichenlos h) Berechnen Sie = 3 im Binärsystem, n =8. i) Berechnen Sie in vorzeicher Binärkodierung, n =8.

6 84 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen T j) Berechnen Sie in vorzeichenloser Binärkodierung, n =8. k) Wandeln Sie für n = 6 und i = 3 folgende zahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um. Binär vorzeichenlos,125 1,75 3,375 5 T l) Geben Sie für n =6und i =3den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an.

7 2.2 Festkommazahlen 85 T m) Wandeln Sie für n = 8 und i = folgende zahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um. Binär vorzeichenlos T n) Wandeln Sie für n = 6 und i = 3 folgende zahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um. Binär vorzeichenlos,375 7, ,5 17,625

8 86 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen Es gibt verschiedene Möglichkeiten, binäre vorzeichenbehaftete Festkommazahlen darzustellen: Vorzeichen und Betrag Einer-Komplement Zweier-Komplement Vorzeichen und Betrag Bei dieser Darstellung werden Vorzeichen und Betrag der Zahl separat abgespeichert: Das Vorzeichen wird repräsentiert durch das höherwertigste Bit: Hat das Bit den Wert, ist die Zahl positiv, hat das Bit den Wert 1, ist die Zahl negativ. Der Betrag der Zahl wird durch die restlichen Bits dargestellt. Ob eine Zahl positiv oder negativ ist, kann direkt am MSB abgelesen werden. Zur Negation einer Zahl muss nur das höherwertigste Bit geändert werden. Ein Problem bei dieser Darstellung ist die doppelte Null:... 2 ) ) Nachfolgende Abbildung zeigt für n =4die Zuodnung von Binär- zu zahlen. Für positive Zahlen ist die Richtung steigender Werte für Binär- und zahlen die selbe. Für negative Zahlen ist die Richtung jedoch unterschiedlich; Beispiel: = : Bewegung im Uhrzeigersinn = 1 1 : Bewegung gegen den Uhrzeigersinn Ergebnis falsch: 1 1 6= 111 2

9 2.2 Festkommazahlen negativ positiv Aufgaben a) Welche Auswirkungen hat es, dass für negative Zahlen die Richtung steigender Werte nicht übereinstimmt? b) Ist der Wertebereich symmetrisch? Begründung!

10 88 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen c) Geben Sie den Wertebereich für i =in Abhängigkeit von n an. d) Kodieren Sie für n =8und i =die folgenden Zahlen binär in der Darstellung Vorzeichen und Betrag. Binär Vorzeichen/Betrag -1 2 e) Kodieren Sie für n = 6 und i = 2 die folgenden Zahlen in der Darstellung Vorzeichen und Betrag. Binär Vorzeichen/Betrag -2,25 5,5 T f) Kodieren Sie für n =8und i =die folgenden Zahlen binär in der Darstellung Vorzeichen und Betrag. Binär Vorzeichen/Betrag

11 2.2 Festkommazahlen 89 T g) Kodieren Sie für n = 6 und i = 2 die folgenden Zahlen in der Darstellung Vorzeichen und Betrag. Binär Vorzeichen/Betrag -3,75 -,5 7,25

12 9 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Einer-Komplement Bei dieser Darstellung werden zur Negierung einer Zahl alle Bits invertiert. Um eine eindeutige Unterscheidung zwischen positiven und negativen Zahlen zu gewährleisten, ist der Betrag der Zahlen auf 2 n 1 1 beschränkt. Dadurch kann das Vorzeichen der Zahl wieder direkt am MSB abgelesen werden ( ) positiv; 1 ) negativ). Der Vorteil dieser Darstellung im Vergleich der Darstellung Vorzeichen und Betrag liegt darin, dass die Kodierung der negativen Zahlen in derselben Richtung erfolgt wie die Kodierung der positiven Zahlen, so dass positive und negative Zahlen auf die gleiche Art und Weise addiert (bzw. subtrahiert) werden können negativ positiv

13 2.2 Festkommazahlen 91 Aufgaben a) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung für i = in Abhängigkeit von n an. b) Ist der Wertebereich asymmetrisch? c) Kodieren Sie für n =8und i =die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement. Binär Einer-Kompl d) Kodieren Sie für n = 6 und i = 2 die folgenden Zahlen im Einer-Komplement. Binär Einer-Kompl. -2,25 5,5

14 92 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen T e) Kodieren Sie für n =8und i =die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement. Binär Einer-Kompl T f) Kodieren Sie für n = 6und i = 2 die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement. Binär Einer-Kompl. -3,75 -,5 7,25 g) Zeigen Sie an einem Beispiel, wie sich bei dieser Kodierung zur Addition von Binärzahlen derselbe Algorithmus verwendet lässt wie zur Addition von zahlen sowohl bei positiven als auch bei negativen Werten. h) Wann gibt es bei Verwendung der Einer-Komplement-Kodierung Probleme bei der Addition?

15 2.2 Festkommazahlen 93 i) Wie könnte man das Problem lösen?

16 94 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Zweier-Komplement Beim Zweier-Komplement wird zunächst das Einer-Komplement gebildet und dann noch binär der Wert 1 addiert. Auf diese Weise wird die doppelte Null vermieden. Der Wertebereich wird asymmetrisch, was jedoch kein Problem darstellt. Berechnungen können in dieser Kodierung mit demselben Algorithmus durchgeführt werden wie im system. Aus diesem Grund werden vorzeichenbehaftete Festkomma-Zahlen in der Regel im Zweier-Komplement kodiert negativ positiv a) Kodieren Sie für n =8und i =die folgenden Zahlen binär im Zweier-Komplement. Binär Vorzeichen/Betrag -1 2

17 2.2 Festkommazahlen 95 b) Kodieren Sie für n = 6 und i = 2 die folgenden Zahlen im Zweier-Komplement. Binär Vorzeichen/Betrag -2,25 5,5 T c) Kodieren Sie für n =8und i =die folgenden Zahlen binär im Zweier-Komplement. Binär Einer-Kompl T d) Kodieren Sie für n = 6 und i = 2 die folgenden Zahlen binär im Zweier- Komplement. Binär Einer-Kompl. -3,75 -,5 7,25

18 96 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen e) Wie lässt sich ein Überlauf von Zahlen feststellen, die im Zweier-Komplement kodiert sind? f) Berechnen Sie im Zweier-Komplement.

19 2.2 Festkommazahlen 97 T g) Berechnen Sie im Zweier-Komplement.

20 98 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 2.3 Gleitkommazahlen nach IEEE 754 Durch die fest definierte Kommastelle sind bei Festkommazahlen die Abstände zwischen den einzelnen Zahlenwerten äquidistant. Aus diesem Grund (und aufgrund der endlichen Anzahl an Stellen n) können mit Festkommazahlen nicht gleichzeitig sehr große Zahlen und sehr kleine Zahlen dargestellt werden. Bei Gleitkommazahlen ist diese Einschränkung aufgehoben. Die Abstände zwischen den einzelnen Zahlenwerten sind um den Wert herum sehr klein. Für große Zahlen werden die Abstände sehr groß, wie in nachstehender Grafik skizziert. Erreicht wird diese Eigenschaft dadurch, dass die Position des Kommas nicht festgelegt ist, sondern in der Zahl durch Angabe eines Exponenten e definiert wird. Der Exponent legt fest, um wieviel die Kommastelle nach links oder rechts verschoben werden muss. Gleitkommazahlen werden wie folgt kodiert: s e f Bei 32 Bit breiten Gleitkommazahlen (einfache Genauigkeit) gilt die Aufteilung s = 1 Bit e = 8 Bit f = 23 Bit, bei 64 Bit breiten Gleitkommazahlen (doppelte Genauigkeit) gilt die Aufteilung s = 1 Bit e = 11 Bit f = 52 Bit. Als Wert ergibt sich für für normalisierte Gleitkommazahlen (Normalfall) v =( 1) s 1,f 2 e K, für de-normalisierte Gleitkommazahlen (Spezialfall) v =( 1) s,f 2 1 K.

21 2.3 Gleitkommazahlen nach IEEE Die Konstante K hat bei einfacher Genauigkeit (32 Bit) den Wert K = 127, bei doppelter Genauigkeit (64 Bit) den Wert K = 123. Eine Gleitkommazahl gilt als normalisiert, wenn beim Exponenten e weder alle Bits gesetzt noch alle Bits gelöscht sind, d.h. < e < 255 bei 32 Bit < e < 247 bei 64 Bit. Eine denormalisierte Gleitkommazahl liegt vor, wenn e =und gleichzeitig f >. Spezialfälle: : e = f = ±1: s: +1 ); 1 ) 1 e: alle Bits gesetzt ) 255 bei 32 Bit, 247 bei 64 Bit f: alle Bits NaN (Not a Number) e: alle Bits gesetzt ) 255 bei 32 Bit, 247 bei 64 Bit f: >

22 1 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Diese Seite ist absichtlich leer.

23 2.3 Gleitkommazahlen nach IEEE Diese Seite ist absichtlich leer.

24 12 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Aufgaben Format von Gleitkommazahlen a) Geben Sie das Format von 32 Bit und 64 Bit Gleitkommazahlen an. b) Wie berechnet sich der Wert einer 32 bzw. 64 Bit breiten normalisierten Gleitkommazahl aus ihrem Bitmuster? Geben Sie den Wert der Konstanten K an! c) In welchem Bereich liegt e bei normalisierter Zahldarstellung? d) Wie wird die Zahl. dargestellt in Bezug auf s, e and f?

25 2.3 Gleitkommazahlen nach IEEE e) Was ist eine denormalisierte Gleitkommazahl, wie wird sie kodiert und wie berechnet sich ihr Wert? f) Welchen Nutzen haben denormalisierte Gleitkommazahlen? g) Wie kodiert man die Gleitkommazahl unendlich? h) Mit welchen Werten von e und f wird ausgesagt, dass es sich um keine Zahl (NaN = not a number) handelt? i) Geben Sie ein Beispiel an, wie es zu einem Ergebnis kommen kann, das keine Zahl ist.

26 14 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Rechnen mit Gleitkommazahlen a) Kodieren Sie 3,625 und 13,5 als 32 Bit breite Gleitkommazahlen und tragen Sie das Bitmuster in die angegebene Tabelle ein. 3,625: 13,5:

27 2.3 Gleitkommazahlen nach IEEE b) Berechnen Sie 3, ,5 im Binärsystem bei Verwendung einer 32 Bit Gleitkommakodierung. Bitmuster des Ergebnisses:

28 16 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen c) Bestimmen Sie aus dem Ergebnis-Bitmuster das Ergebnis der Addition 3, ,5 T d) Kodieren Sie 1,75 und 5,125 als 64 Bit breite Gleitkommazahlen und tragen Sie das Bitmuster in die angegebene Tabelle ein. 1,75 5,125

29 2.3 Gleitkommazahlen nach IEEE T e) Berechnen Sie 1,75 + 5,125 im Binärsystem bei Verwendung einer 64 Bit Gleitkommakodierung. Bitmuster des Ergebnisses:

30 18 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen T f) Bestimmen Sie aus dem Ergebnis-Bitmuster das Ergebnis der Addition 1,75 + 5,125

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