5. Allgemeine Bäume und Binärbäume

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1 5. llgmin äum un inäräum äum - Ürlik - Orintirt äum - Drstllungsrtn - Gornt äum inär äum: griff un Dfinitionn Spihrung von inärn äumn - Vrkttt Spihrung - Flum-Rlisirung - Squntill Spihrung - ufu von inäräumn (Einfügn von Knotn) Durhlufn von inärn äumn - Prorr-, Inorr-, Postorr-Trvrsirung - Rkursiv un itrtiv Vrsion - Fälung 5-1 äum äum lssn sih ls shr wihtig Klss von Grphn uffssn ) ) ) Dnh ist in um - in zyklishr infhr, zusmmnhängnr Grph -.h., r nthält kin Shlifn un Zykln; zwishn jm Pr von Knotn stht höhstns in Knt Df.: Orintirt äum: Si X in sis-dtnstruktur. Ein Mng von Ojktn us X ist in orintirtr (Wurzl-) um, flls 1. in in usgzihnts Elmnt w - Wurzl von - xistirt 2. i Elmnt in - {w isjunkt zrlgt wrn könnn in 1, 2,..., m, woi js i nflls in um ist. 5-2

2 Drstllungsrtn für orintirt äum 1. Mngnrstllung Ojkt:,,,... äum: 1, 2, 3,... 1 = 4 = = x = 3 = h f g 2. Klmmrrstllung Wurzl = rsts Elmnt innrhl ins Klmmrprs {x, 1, 2, 3 {x, {, {, {, {, {, {f, {g, {h {, {, { {, {, { 5-3 Drstllungsrtn für orintirt äum (2) 3. Rkursivs Einrükn 4. Grphnrstllung x x f x g h 5-4

3 Grphnrstllung orintirtr äum x f Stuf (En) 0 h 1 2 zihnungn Wurzl: lättr: innr Knotn: Gr K = # Nhfolgr von K Gr (x) = Gr (g) = Gr (um) = Mx (Gr(K i )) = g 3 Stuf (K i ) = Pfläng l von Wurzl nh K i Stuf 0: Stuf 1: Stuf 2: Stuf 3: Höh h = Gwiht w = # r lättr = 5-5 Gornt äum Df.: i inm gorntn um iln i Unträum i js Knotns in gornt Mng Df.: Ein gornt Mng von gorntn äumn hißt Wl ispil: rithmtishr usruk * ( - ) / Grphnrstllung Klmmrrstllung / {, { *, {, {-, {, {, { /, {, { - 5-6

4 inäräum Df.: Ein inärum ist in nlih Mng von Elmntn, i ntwr lr ist or in usgzihnts Elmnt - i Wurzl s ums - sitzt un folgn Eignshftn ufwist: - Di vrlinn Elmnt sin in zwi isjunkt Untrmngn zrlgt. - J Untrmng ist slst wir in inärum un hißt linkr zw. rhtr Untrum s ursprünglihn ums Forml DT-Spzifiktion Dtntyp INTREE sistyp ELEM Oprtionn: RETE: INTREE EMPTY: INTREE {TRUE, FLSE UILD: INTREE ELEM INTREE INTREE LEFT: INTREE - { 0 INTREE ROOT: INTREE - { 0 ELEM RIGHT: INTREE - { 0 INTREE 5-7 xiom: RETE = 0; EMPTY (RETE) = TRUE; l, r, INTREE, ELEM: EMPTY (UILD (l,, r)) = FLSE; LEFT (UILD (l,, r)) = l; ROOT (UILD (l,, r)) = ; RIGHT (UILD (l,, r) = r; Wlh inäräum (gorntn äum) ntsthn urh UILD (UILD (0,, UILD (0,, 0)),, UILD (0,, 0)) UILD (UILD (UILD (0,, 0),, 0),, UILD (0,, 0)) 5-8

5 inäräum (2) Stz: Di mximl nzhl von Knotn ins inärums (1) uf Stuf i ist 2 i, i 0 (2) r Höh h ist 2 h -1, h 1 Df.: Ein vollstänigr inärum r Stuf k ht folgn Eignshftn: - Jr Knotn r Stuf k ist in ltt. - Jr Knotn uf inr Stuf < k ht niht-lr link un rht Unträum. Df.: In inm striktn inärum sitzt jr innr Knotn niht-lr link un rht Unträum 5-9 inäräum (3) Df.: Ein fst vollstänigr inärum ist in inärum, so ß gilt: (1) Js ltt im um ist uf Stuf k or k1 (k 0) (2) Jr Knotn uf Stuf < k ht niht-lr link un rht Tiläum (3) Flls in innrr Knotn inn rhtn Nhfolgr uf Stuf k1 sitzt, nn ist sin linkr Tilum vollstänig mit lättrn uf Stuf k1 Df.: Ein usgglihnr inärum ist in inärum, so ß gilt: (1) Js ltt im um ist uf Stuf k or k1 (k 0) (2) Jr Knotn uf Stuf < k ht niht-lr link un rht Tiläum Zwi inäräum wrn ls ähnlih zihnt, wnn si isl Struktur sitzn. Si hißn äquivlnt, wnn si ähnlih sin un isl Informtion nthltn. 5-10

6 5-11 Vrnshulihung r Dfinitionn D F E H G E F D D X E H G U W V Y 5-12 D E G F D E G F I H D E G F K J I H D E G F

7 Spihrung von inäräumn 1. Vrkttt Spihrung Info Lsohn Rsohn Frispihrvrwltung r Struktur wir von r Spihrvrwltung s Progrmmirsystms ürnommn 2. Flum-Rlisirung - Simultion inr ynmishn Struktur in inm sttishn Fl 1 2 Info Lsohn Rsohn Eignshftn: / 3 - sttish Spihrpltzzuornung xplizit Frispihrvrwltung Squntill Spihrung Mtho kommt ohn xplizit Vrwis us. Für fst vollstänig or zuminst usgglihn inäräum itt si in shr lgnt un ffizint Drstllungsform n. Stz: Ein fst vollstänigr um mit n Stuf Info Knotn si squntill nh oigm Numrirungsshm gspihrt Für jn Knotn mit Inx i, 1 i n, gilt: 3 - Vtr(i) ht Nummr i 2 für i > 1 - Lsohn(i) ht Nummr 2i für 2i n - Rsohn(i) ht Nummr 2i1 für 2i1 n. Wi siht r ntrtt Fll us? f g

8 ufu von inäräumn Oprtionn zum ufu ins inärums (Einfügn von Knotn) sowi m Entfrnn von Knotn sin rltiv infh Jv-Rlisirung für gkttt Rpräsnttion lss inryno { inryno lhil = null; inryno rhil = null; Ojt info = null; /** Konstruktor */ inryno(ojt info) { this.info = info; 5-15 puli lss inrytr { privt inryno root = null; puli inrytr() { root = null; puli inrytr(inryno root) { this.root = root; puli ooln mpty() { rturn root == null; puli voi uil(inrytr ltr, inryno lm, inrytr rtr) throws TrExption { if (lm == null) throw nw TrExption("Wurzl ist null!"); inryno tmproot = lm; if (ltr == null) tmproot.lhil = null; ls tmproot.lhil = ltr.gtroot(); if (rtr == null) tmproot.rhil = null; ls tmproot.rhil = rtr.gtroot(); root = tmproot; puli inryno gtroot() { rturn root; puli inrytr lft() throws TrExption { if (mpty()) throw nw TrExption("Wurzl ist null!"); rturn nw inrytr(root.lhil); puli inrytr right() throws TrExption { if (mpty()) throw nw TrExption("Wurzl ist null!"); rturn nw inrytr(root.rhil); 5-16

9 Durhlufn ins inärums umurhluf (Trvrsirung): Vrritung llr umknotn gmäß vorggnr Strukturirung Rkursiv nzuwnn Shritt 1. Vrrit Wurzl: W 2. Durhluf linkn U: L 3. Durhluf rhtn U: R Durhlufprinzip implizirt squntill, linr Ornung uf r Mng r Knotn 6 Möglihkitn: 3 Strtgin vrlin ufgrun Konvntion: linkr U vor rhtm U 1. Vorornung (prorr): WLR 2. Zwishnornung (inorr): LWR 3. Nhornung (postorr): LRW WL L WR R L WR R WL R R W L L W 5-17 Durhlufmöglihkitn Rfrnzispil nshulih Drstllung * / Norn - * / - WLR: LWR: usg i Pssg s Turms (Knotn) WLR: in Rihtung Sün LRW: LWR: LRW: n sinr Süsit in Rihtung Norn 5-18

10 Rkursiv un itrtiv Rlisirung Rkursiv Vrsion für Inorr-Trvrsirung (LWR) puli voi printinorr (inryno urrnt) { if (urrnt!= null) { printinorr(urrnt.lhil); Systm.out.println(urrnt.info); printinorr(urrnt.rhil); Itrtiv Vrsion: LWR - Zil: ffizintr usführung urh ign Stplvrwltung - Vorghnswis: Nimm, solng wi möglih, link zwigung un spihr n zurükglgtn Wg uf inm Stpl. ktion 1: stk.push(urrnt); urrnt = urrnt.lhil; - Wnn s links niht mhr witrght, wir r orst Knotn s Stpls usggn un vom Stpl ntfrnt. Dr Durhluf wir mit m rhtn Untrum s ntfrntn Knotns fortgstzt. ktion 2: Systm.out.println(((inryNo) stk.top()).info); urrnt = ((inryno) stk.top()).rhil; stk.pop(); 5-19 Itrtiv Vrsion: Durhlufispil * / - Stpl S urrnt ktion usg 5-20

11 Gfält inäräum Witr Vrssrung von itrtivn Durhluflgorithmn Mtho nutzt inn Fn, r i umknotn in r Folg r Durhlufornung vrknüpft. - Zwi Typn von Fän - Rhtsfn vrint jn Knotn mit sinm Nhfolgrknotn in Durhlufornung - Linksfn stllt Vrinung zum Vorgängrknotn in Durhlufornung hr Lösung 1. Explizit Spihrung von 2 Fän lss ThrinNo { ThrinNo lhil = null; ThrinNo rhil = null; Ojt info = null; ThrinNo lthr = null; ThrinNo rthr = null; /** Konstruktor */ ThrinNo(Ojt info) { this.info = info; ispil: Zwishnornung - / 5-21 Gfält inäräum (2) Lösung 2. Vrmiung von Runnz Ein zwit rt r Fälung kommt ohn zusätzlih Zigr us un rforrt hr gringrn Spihrpltzufwn. Di Wrtungs- un Durhluf-lgorithmn wrn liglih gringfügig komplxr. ohtung 1: inärum mit n Knotn ht n1 fri Zigr (null) ohtung 2: für i Zwishnornung könnn Fnzigr in innrn Knotn urh Folgn von umzigrn rstzt wrn I: nutz fri Zigr un umzigr für Fälung - pro Knotn zusätzlih oolsh Vriln Lfn, Rfn: lss OptThrinNo { OptThrinNo lhil = null; OptThrinNo rhil = null; Ojt info = null; ooln lthr = null; // tru, wnn lhil Fnzigr ooln rthr = null; // tru, wnn rhil Fnzigr /** Konstruktor */ OptThrinNo(Ojt info) { this.info = info; 5-22

12 Prozur für Trvrsirung in Zwishnornung mit optimirtr Fälung puli lss ThrinTr { privt OptThrinNo root = null;... // umurhluf itrtiv ür Fälung / puli voi printinorr () { OptThrinNo urrnt = null; - OptThrinNo prvious = null; if (root == null) rturn; // um lr urrnt = root; o { whil ((! urrnt.lthr) && (urrnt.lhil!= null)) urrnt = urrnt.lhil; // vrzwig nh links so lng wi mgl. Systm.out.println(urrnt.info); prvious = urrnt; urrnt = urrnt.rhil; whil ((prvious.rthr) && (urrnt!= null)) { Systm.out.println(urrnt.info); prvious = urrnt; urrnt = urrnt.rhil; whil (urrnt!= null); 5-23 Zusmmnfssung Dfinitionn - um, orintirtr um (Wurzl-um), gorntr um, inärum - vollstänigr, fst vollstänigr, striktr, usgglihnr, ähnlihr, äquivlntr inärum - Höh, Gr, Stuf / Pfläng, Gwiht Spihrung von inäräumn - vrkttt Spihrung - Flum-Rlisirung - squntill Spihrung um-trvrsirung - Prorr (WLR): Vorornung - Inorr (LWR): Zwishnornung - Postorr (LRW): Nhornung Gfält inäräum: Untrstützung r (itrtivn) um-trvrsirung urh Links/Rhts-Zigr uf Vorgängr/Nhfolgr in Trvrsirungsrihnfolg 5-24