Informatik II Bäume. Beispiele. G. Zachmann Clausthal University, Germany Stammbaum. Stammbaum. Stammbaum

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1 lausthal Beispiele Stammbaum Informatik II. Zachmann lausthal University, ermany Zachmann Informatik - SS 06 Stammbaum Stammbaum / Parse tree, Rekursionsbaum Parse tree, Rekursionsbaum Unix file hierarchy bin lib etc Unix file hierarchy u Stammbaum (Evolution) Stammbaum (Evolution) aaclarke files mandel Point.java. Zachmann Informatik - SS 06 stock cs6 grades UI containment hierarchy zrnye submit tsp TSP.java tsp509.txt Reference: Zachmann Informatik - SS 06

2 Binärer Suchbaum (später) Definition Rekursiv: Ein Baum ist entweder ein einzelner Knoten, oder ein als Wurzel dienender Knoten w, der mit einer Menge von n t,,t d verbunden ist. w t t t d. Zachmann Informatik - SS Zachmann Informatik - SS 06 6 Terminologie bei n Baum Menge von Knoten und Kanten Knoten repräsentiert beliebiges Objekt Kante Verbindung zwischen zwei Knoten Pfad Folge unterschiedlicher, durch Kanten verbundener Knoten Wurzel ausgezeichneter Knoten, der keine Vorgänger hat Blatt Knoten ohne Nachfolger Vater Vorgänger eines Knotens Kind Nachfolger eines Knotens Innerer Knoten Nicht-Blatt eschwister Knoten mit gleichem Vater rad eines Knotens = Anzahl von direkten Söhnen Ordnung = maximaler rad aller Knoten ("Baum der Ordnung n" = "n-ary tree") geordnet Reihenfolge unter eschwistern (gemäß irgend einer Ordnungsrelation) Teilbaum Knoten mit all seinen Nachfolgern (direkte & indirekte) Linker Teilbaum linker Sohn + Teilbaum, der daran hängt Level eines Baumes 0 Wurzel Wurzel des Teilbaumes ein Teilbaum (subtree). Zachmann Informatik - SS Zachmann Informatik - SS 06 8

3 Baumtiefe Eigenschaften Definition: Tiefe eines Knotens. Von der Wurzel gibt es zu jedem Knoten genau einen Pfad Länge des Pfades von der Wurzel zu dem Knoten eindeutig, da es nur einen Pfad bei n gibt dabei zählt man die Knoten entlang des Pfades - Wurzel: Tiefe (manchmal auch Tiefe 0) -. Schicht: Tiefe, etc. Definition: Tiefe eines Baumes leerer Baum: Tiefe 0 ansonsten: Maximum der Tiefe seiner Knoten. Für je zwei verschiedene Knoten existiert genau ein Pfad, der sie verbindet. jeder beliebige Knoten kann Wurzel sei. Ein Baum mit n Knoten hat n- Kanten Beweis von Eigenschaft durch Induktion: Induktionsanfang: n= 0 Kanten Induktionsschritt: n> - Baum hat k Kinder, mit je n i Knoten und n + + n k = n- - Per Induktionsannahme hat jeder Teilbaum n i - Kanten - Zusammen also n--k Kanten - Dazu k Kanten von den Wurzeln der Teilbäume zur Wurzel Behauptung. Zachmann Informatik - SS Zachmann Informatik - SS 06 0 Binärbäume Vollständige Wichtiger Spezialfall: jeder Knoten hat höchstens zwei Kinder = Baum der Ordnung = Binärbaum alternative rekursive Definition: ein Binärbaum ist entweder leer oder besteht aus einem Knoten (Wurzel) und zwei Binärbäumen (linker und rechter Teilbaum) Wichtige (einfache) Eigenschaft: In einem Baum, in dem jeder Knoten entweder genau Kinder hat oder keines (Blatt), gilt: linker Teilbaum # Blätter = # innerer Knoten + Wurzel rechter Teilbaum Definition: Ein vollständiger Baum ist ein binärer Baum B mit folgenden Eigenschaften: für jedes k mit k < Tiefe(B) gilt, die k-te Schicht ist voll besetzt; und, die letzte Schicht ist von links nach rechts bis zu einem Knoten P besetzt Achtung: manchmal abweichende Def.: jede Schicht muß besetzt sein! Die Höhe eines vollständigen binären Baumes mit n Knoten ist P. Zachmann Informatik - SS 06. Zachmann Informatik - SS 06

4 Nummerierung der Knoten Speichern eines vollständigen Baumes im Array Von oben nach unten, von links nach rechts, beginnend bei Beobachtung: ein Knoten i hat immer die Nachfolger i und i+ Vater ist immer Knoten Nummer i/ Fazit: Knoten können in einem Array abgelegt werden Achtung: Indizierung beginnt bei 0 Knoten i in Array-Element A[i-] Frage: funktioniert ein ähnliches Schema auch, wenn man die Knoten selbst mit 0 beginnend nummeriert? aus Sicht des Knotens i (Adresse ist nicht als Referenz im Knoten gespeichert) Knoten i: A[i-] A[ i/- ] A[ *i- ] A[ *i ] Nummerierung beginnt bei bzw. mit j=i- A[j] A[ (j-)/ ] A[ *j+ ] A[ *j+ ] Nummerierung beginnt bei 0 Alternative: A[0] frei lassen, A[] speichert Knoten Nummer. Zachmann Informatik - SS 06. Zachmann Informatik - SS 06 Maximale Anzahl Knoten Wie groß ist die maximale Anzahl der Knoten eines vollständigen Baumes gegebener Höhe? Anzahl Baum Höhe innere Knoten Blätter Satz: Ein maximal vollständiger binärer Baum der Höhe h enthält h- Blätter und h - Knoten und h- - inneren Knoten. h h- - h- Σ = h - Beweis:. Induktionsanfang: h= Der Baum besteht nur aus der Wurzel, die auch das einzige Blatt ist: - = 0 = Blatt - = - = Knoten. Induktionsschritt: h h' = h + Höhe h Höhe h' = h + h- Blätter. h- = h = h'- Blätter Beh. h - Knoten h - innere Knoten + h Blätter = h+ - = h' -. Zachmann Informatik - SS Zachmann Informatik - SS 06 6

5 Implementierung in Python Binary Tree Anwendung: Parse-Tree von Ausdrücken Nicht mehr Nachfolger, sondern, einen linken und einen rechten Knoten hat (mind.) Instanzvar.: Eine Referenz zu item Eine Referenz zu left Tree Eine Referenz zu right Tree class Tree: def init ( self, item, left =, right = ): self.item = item self.left = left self.right = right Abstrakte Repräsentation der Ausdrücke Anwendung: ompiler, omputerlinguistik a = Tree(0) b = Tree() c = Tree("*",a,b) d = Tree(7) e = Tree("+",c,d) c e + * d 7 a 0 b. Zachmann Informatik - SS Zachmann Informatik - SS 06 8 Parse-Tree-Auswertung: Implementierung in Python Preorder Traversierung * Auswertung eines Parse-Tree: Wenn String ein Integer ist, gebe es aus + Wie schreiben wir die Information? schreibe den Operator / die Zahl + 8 Sonst, werte rekursiv beide Unterbäume aus und gebe die Summe oder das Produkt aus * 7 0 ((0 * ) + (7)) = 7 class ParseTree: def eval(self): if self.item == "+" : return self.left.eval() + self.right.eval() elif self.item == "*" : return self.left.eval() * self.right.eval() else return self.item schreibe rekursiv den linken Unterbaum schreibe rekursiv den rechten Unterbaum Keine Klammern! 5 def tostring(self) : if self.item == "+" self.item == "*" : return str(self.item) + " " + self.left.tostring() + " " + self.right.tostring() else : return str(self.item) + * Preorder Traversierung: * * (( + 5) + (6 * 7)) * 8. Zachmann Informatik - SS Zachmann Informatik - SS

6 Konstruktion eines Parse-Tree Wie lesen und konstruieren wir den Baum? Lese den String von Standard-Input Falls ein + oder ein * Operator gelesen wird, konstruiere rekursiv den linken und rechten Unterbaum class ParseTree: def init ( self, terminals ): # remove next (front) terminal self.item = terminals.pop() if self.item == "+" or self.item == "*" : self.left = ParseTree(terminals) self.right = ParseTree(terminals) a = string.split( sys.stdin.read() ) parsetree = ParseTree( a ) %./parsetree * * * * (( + 5) + (6 * 7)) * 8 Beachte: Vorrangregeln (Präzedenzregeln) und Klammern sind in der Baumdarstellung überflüssig nur notwendig in Infix-Notation Sog. "polnische Notation", erfunden 90 von Jan Lukasiewicz HP900A (968) erster Desktop-omputer. Zachmann Informatik - SS 06. Zachmann Informatik - SS 06 6

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