Das Zahlenwahlspiel. Inhaltsverzeichnis. 1. Einleitung: Vorstellung des Spiels und Aufbau der Arbeit..S. 3
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- Helmuth Burgstaller
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1 Europa Universität Viadrina Seminar: Spieltheorie und Verhalten Dozent: Prof. Dr. Bolle WS 2008/09 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung: Vorstellung des Spiels und Aufbau der Arbeit..S Theoretischer Hintergrund Lösung des Spiels durch die Eliminierung dominierter Strategien...S Analyse eines Experiments Tatsächliches Verhalten der Spieler..S Das Modell des Iterated Best Reply.S Das Phänomen des falschen Konsenses... S. 6 Das Zahlenwahlspiel 4. Ausblick und Fazit: Ökonomische Relevanz des Zahlenwahlspiels...S. 7 Anhang: Abbildung A und Abbildung B......S. 8 Literaturverzeichnis......S. 9 Studiengang: Master of European Studies 1. Semester 2
2 1. Einleitung: Vorstellung des Spiels und Aufbau der Arbeit Das Zahlenwahlspiel ist ein experimentelles Spiel der Spieltheorie, welches dazu dient das Verhalten der Spieler zu analysieren. Jeder Spieler muss dabei eine Zahl aus einem vorgegebenen Zahlenintervall wählen (z. B ). Ziel des Spiels ist es, eine Zahl zu wählen, welche am nächsten an einem Wert p (in den hier genannten Beispielen wird mit p=2/3 gearbeitet) des Durchschnitts aller gewählten Zahlen ist. Das Zahlenwahlspiel gehört somit zu den so genannten guessing games (Nagel, 1995), in denen es darum geht, das Verhalten der Mitspieler richtig einzuschätzen. Die erste experimentelle Studie zu diesem Spiel wurde von Rosemarie Nagel 1995 durchgeführt. 1 In dieser Arbeit wird zunächst der theoretische Lösungsweg des Spiels aufgezeigt und dann anhand der Vorstellung eines Experiments überprüft, wie sich Spieler im Praxistest tatsächlich verhalten. Im Zuge dessen wird das Modell des Iterated Best Reply vorgestellt werden, welches das Verhalten der Spieler analysiert und das Abweichen der Spieler von der Verhaltensempfehlung (dem Nash-Gleichgewicht) erklärt. In diesem Zusammenhang wird in dieser Arbeit auch kurz auf das psychologische Phänomen des falschen Konsenses eingegangen. Abschließend sollen in einem Ausblick kurz die Bezüge zur Ökonomie dargestellt werden. 2. Theoretischer Hintergrund Lösung des Spiels durch die Eliminierung dominierter Strategien Das Zahlenwahlspiel lässt sich auf eine einfache Formel bringen: N ist dabei die Anzahl der Spieler (i = 1,, n) und xi die von Spieler i gewählte Zahl. Gewonnen hat der Spieler, dessen ausgewählte Zahl die geringste Differenz zu Y aufweist. Das Spiel ist durch die sukzessive Eliminierung dominierter Strategien theoretisch lösbar. 2 Der theoretisch höchst mögliche Durchschnitt aller gewählten Zahlen ist 100, darum sind alle Zahlen über 66 2/3 (2/3 von 100) von Zahlen die kleiner sind als 66 2/3 dominiert und können eliminiert werden. Nun ergibt sich ein neues Spiel mit verkleinertem Zahlenbereich [0, 66 2/3], in dem sich erneut dominierte Zahlen ausmachen und eliminieren lassen. Dies lässt sich immer weiter fortsetzen, bis alle Zahlen außer 0 eliminiert sind. 0 ist somit auch das einzige Nash-Gleichgewicht in einem Zahlenintervall von und folglich die theoretische Lösung des Spiels. 3 Folgende schematische Darstellung verdeutlicht, welche rationalen Schritte ein Spieler nachvollziehen muss, um durch die sukzessive Eliminierung dominierter Strategien das Nash-Gleichgewicht zu erreichen. 4 Voraussetzung dafür, dass alle Spieler tatsächlich so handeln, sind die Annahmen der klassischen Spieltheorie, das heißt dass alle Spieler gewinnen wollen, dass alle Spieler sich rein rational verhalten und dass die Rationalität aller Spieler allgemeines Wissen, d. h. Common Knowledge ist. Würden diese Voraussetzungen erfüllt werden, würde es sich für keinen einzelnen Spieler lohnen von der Verhaltenempfehlung, dem Nash-Gleichgewicht, abzuweichen und alle Spieler würden 0 wählen. Dies lässt sich auf die Praxis jedoch nicht übertragen. Seit 1995 wurden verschiedene Experimente zu dem Zahlenwahlspiel durchgeführt, um das Verhalten der Spieler zu untersuchen. Vergleicht man dabei die Ergebnisse von Zahlenwahlspiel-Experimenten mit Versuchspersonen, die in diesem Bereich wissenschaftlich qualifiziert sind und Experimenten mit Studenten der Ökonomie, so wird ersichtlich, dass Spieltheoretiker natürlich überwiegend dazu tendieren eine sehr kleine Zahl zu wählen, also sich mehr der Verhaltensempfehlung annähern. 5 Dennoch wählten auch in diesem Experiment nicht alle Spieler das Nash-Gleichgewicht. Im Folgenden soll hier eine Experimentreihe aus drei verschiedenen wissenschaftlichen Zeitschriften vorgestellt und näher untersucht werden, um so eine Erklärung für das Verhalten der Spieler zu finden. 3. Analyse eines Experiments Tatsächliches Verhalten der Spieler Im Juni 1997 wurden Leser der Financial Times in Großbritannien und der Expansión in Spanien dazu eingeladen, sich an dem Zahlenwahlspiel zu beteiligen und eine Gewinnsumme ausgeschrieben. Im November 1997 erschien dieser Aufruf auch in der deutschen Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft. Ziel dieser Studie war es, das Verhalten einer breiten Öffentlichkeit zu untersuchen, also Spieler mit unterschiedlichem Bildungsniveau zu erreichen und das Experiment auch außerhalb der Universität auszuprobieren. Durchgeführt wurde die Studie von den renommierten Spieltheoretikern Richard Thaler (betreute das Experiment in der Financial Times), Antoni Bosch-Domènech (Experiment in der Expansiòn), Rosemarie Nagel (ebenfalls in der Expansiòn, aber auch für das Experiment in 1 Vgl. Duffy, Nagel, 1997, S Vgl. Riechmann, 2008, S Vgl. Bosch-Domènech, Montalvo, Nagel, Satorra, 2002, S Die Abbildung zeigt gleichzeitig, welche Argumentationstiefe (R) ein Spieler mit der Wahl seiner Zahl erreicht hat. Darstellung aus: Alba-Fernández, Braňas-Garza, Jiménez-Jiménez, Rodero-Cosano, 2006, S Vgl. Abbildung B im Anhang, S. 8. 4
3 Spektrum der Wissenschaft verantwortlich) und Reinhard Selten (betreute die Studie in Spektrum der Wissenschaft). Trotz kleiner Unterschiede in der Durchführung der Experimente (bei der Studie der Financial Times konnten nur ganze Zahlen gewählt werden, bei dem Experiment in der Expansión war ein anderer Zahlenintervall [1,100] gegeben), sind die Ergebnisse dieser unterschiedlichen Experimente doch überraschend ähnlich. 6 Deutlich wird zunächst, dass tatsächlich viele Spieler die Null wählen, die Null aber in keinem der Experimente die Gewinnzahl darstellte. Das heißt die Wahl des Nash-Gleichgewichts offeriert keine Gewinnchancen, da nicht alle Spieler streng rational handeln. Die klassischen Rationalitätsannahmen der Spieltheorie werden also im Experiment nicht erfüllt. In allen drei Studien lassen sich jedoch deutliche Spitzen an den Punkten um die Zahlen 33, 22 und zum Teil auch die 15 feststellen. Wie lassen sich die Höhepunkte um diese Werte und somit auch das Verhalten der Spieler erklären? Als Antwort auf die Ergebnisse der Experimente mit dem Zahlenwahlspiel entwickelten Nagel (1995), Stahl (1996), Ho (1998) u. A. das Modell des Iterated Best Reply (IBR), in dem sie die Spieler nach ihrer Denktiefe (depth of reasoning) unterschieden. 7 Dieses Modell erklärt auch die Ergebnisse der Experimente in den drei Zeitschriften Das Modell des Iterated Best Reply Bei dem Modell des Iterated Best Reply geht man davon aus, dass an der Zahlenwahl eines Spielers seine Denk-, bzw. Argumentationstiefe erkannt werden kann und unterscheidet verschiedene Stufen der Denktiefe, die so genannten levels of reasoning. Level 0 Spieler wählen dabei wahllos ihre Zahl, das kann eine persönliche Glück- oder Lieblingszahl sein. Spieler die davon ausgehen, dass alle anderen Spieler so vorgehen, also alle anderen Spieler Level 0-Spieler sind, wählen den Durchschnitt aller möglichen Zahlen (bei einem Intervall von wäre der Durchschnittswert 50) und nehmen diesen mal p=2/3. Diese Spieler, die nach dem IBR-Modell einen level of reasoning der Stufe 1 anwenden, wählen demnach die Zahl 33,33. Level 2 Spieler rechnen damit, dass alle anderen Spieler diesen ersten logischen Schritt nachvollziehen, gehen demzufolge in ihrer Argumentation einen Schritt weiter und wählen ihre Zahl um den Wert 22,22, also 50p². Dies lässt sich natürlich immer weiter denken, Level k Spieler wählen demnach die Zahl 50pk usw. Ein Spieler, der unendlich viele levels of reasoning erreicht, würde folglich das Nash-Gleichgewicht 0 wählen. 8 Generell gehen die einzelnen Spieler (oft fälschlicherweise) davon aus, dass sie eine tiefere 6 Die Ergebnisse der Experimente sind in der Abbildung A im Anhang, S. 8, schematisch dargestellt. 7 Vgl. Bosch-Domènech, Montalvo, Nagel, Satorra, 2002, S Vgl. Ebd. 5 Verständnisebene erreicht haben als ihre Mitspieler. Das heißt, wenn ein Spieler zum Beispiel davon ausgeht, dass alle seine Mitspieler Level 2-Spieler sind, wird dieser Spieler einen Schritt weitergehen und eine Zahl um 14,8 (50p³) wählen. Folgender Graph 9 verdeutlicht das IBR-Modell, K ist dabei der vom Spieler erreichte level of reasoning. Mit Hilfe des IBR-Modells lassen sich die Höchstwerte um die Werte 33, 22 und 0 (reasoning level 1, 2 und Zahlenwahlspiel erklären. 10 ) bei den Ergebnissen der oben vorgestellten Experimente mit dem Das Spieler zum Teil tatsächlich dieser Argumentationskette folgten, lässt sich auch an Kommentaren erkennen, welche von manchen Teilnehmer bei den Experimenten in Spektrum der Wissenschaft und Expansión zur Erklärung ihrer Zahlenwahl eingesandt wurden Das Phänomen des falschen Konsenses Bei den oben aufgeführten Experimenten lässt sich das Phänomen des falschen Konsenses beobachten. Das heißt, Spieler überschätzen das Ausmaß in dem sie anderen Spieler ähneln. Dies wird deutlich an den eingesandten Kommentaren des oben betrachteten Experiments. Spieler, die in diesen Kommentaren ihre Argumentation darlegten und unendliche viele levels of reasoning nachvollzogen, also das Nash-Gleichgewicht erkannten, und gleichzeitig auch erfassten, dass vermutlich nicht alle anderen Spieler diese Denkprozesse nachvollziehen würden, unterschätzen das Ausmaß der Abweichung und wählten eine sehr kleine Zahl, die oftmals weit unter der Gewinnzahl lag (77% von den so argumentierenden Spielern wählte eine Zahl unter 10, unter allen Einsendern entschieden sich jedoch nur 35% für so kleine Werte). 12 In der Schlussfolgerung zeigt dies, dass selbst rationale Spieler, die von der Irrationalität ihrer Mitspieler ausgehen, durch das Phänomen des falschen Konsenses davon ausgehen, dass ein Großteil der Mitspieler eine ähnliche Argumentation vollzieht wie sie selbst. 9 Abbildung aus: Alba-Fernández, Braňas-Garza, Jiménez-Jiménez, Rodero-Cosano, 2006, S Man beachte dabei die verschiedenen Ausgangspunkte des IBR-Modells und der Theorie der sukzessiven Eliminierung dominierter Strategien. Das IBR-Modell geht von dem Durchschnittswert aller Zahlen des Intervalls aus, also 50, während bei dem spieltheoretischen Lösungsweg von dem theoretisch höchst möglichen Durchschnitt, also 100, ausgegangen wird. Vgl. hierzu auch die Abbildung auf S Vgl. Bosch-Domènech, Montalvo, Nagel und Satorra, 2002, S Vgl. Selten, Nagel, 1998, S
4 4. Ausblick und Fazit: Ökonomische Relevanz des Zahlenwahlspiels Das Zahlenwahlspiel kann in seiner Struktur als eine Weiterentwicklung der Beobachtung von John Maynard Keynes gesehen werden, 13 welcher 1936 in seinem Hauptwerk Die allgemeine Theorie der Beschäftigung, des Zinses und des Geldes die Analogien zwischen dem Verhalten von professionellen Börsenspekulanten und Schönheitswettbewerben in den Zeitungen seiner Zeit erkannte: Professionelle Geldanlage läßt sich mit Zeitungswettbewerben vergleichen, bei denen unter 100 abgebildeten Gesichtern die sechs schönsten auszuwählen sind, wobei der Preis an denjenigen geht, dessen Auswahl der durchschnittlichen Präferenz aller Teilnehmer am nächsten kommt; deshalb darf man nicht solche Gesichter benennen, die man selbst am schönsten findet, sondern diejenigen, von denen man glaubt, daß sie bei den anderen Teilnehmern, die alle das Problem aus demselben Blickwinkel betrachten, am ehesten Gefallen finden. Unter dieser Voraussetzung werden also nicht etwa diejenigen gewählt, die nach Einschätzung des jeweiligen Teilnehmers wirklich die schönsten sind, und nicht einmal diejenigen, die die Durchschnittsmeinung tatsächlich für die schönsten hält. Wir haben den dritten Grad erreicht, in dem wir unsere Intelligenz anstrengen, zu antizipieren, was nach der Durchschnittsmeinung zu erwarten ist. Und es gibt manche, glaube ich, die den vierten, fünften oder einen höheren Grad anwenden. 14 Wichtig bei dem Zahlenwahlspiel ist es nicht, das Spiel theoretisch lösen zu können (also das Nash-Gleichgewicht zu finden), sondern seine Mitspieler richtig einschätzen zu können. Die klassischen spieltheoretischen Annahmen erweisen sich in Experimenten als nicht auf die Realität übertragbar, da nicht alle Spieler rational handeln und so auch die Rationalität aller Spieler nicht als Common Knowledge vorausgesetzt werden kann. Darum muss ein erfolgreicher Spieler sich in die anderen Spieler hineinversetzen und die Level der Denk- und Argumentationstiefen seiner Mitspieler einschätzen können. In dieser Funktion lässt sich das Spiel natürlich auch auf reale Situationen in der Wirtschaft übertragen. Wie aus dem oben aufgeführten Zitat von Keynes hervorgeht, sollte auch bei Börsenspekulationen immer das Einschätzen des Verhaltens der anderen Marktteilnehmer im Vordergrund stehen. Schließlich können die Kurse an der Börse steigen, nur weil die Spekulanten davon ausgehen, dass diese steigen werden und die Aktien kaufen. Das Zahlenwahlspiel weist folglich in seiner Struktur Ähnlichkeit zu vielen Interaktionssituationen in der Ökonomie auf. 15 So spielt zum Beispiel das richtige Einschätzen des Verhaltens der anderen Marktteilnehmer auch bei Preisentscheidungen und Produktplatzierungen im Duopol, Oligopol und Kartell eine wichtige Rolle. Zusammenfassend bleibt festzuhalten, dass das Zahlenwahlspiel seine Relevanz insbesondere dadurch gewinnt, dass sich das Verhalten der Spieler, d.h. die logisch vollzogenen Argumentationsschritte der einzelnen Spieler und damit auch die Erwartungen eines Spielers an seine Mitspieler, in diesem Spiel so gut analysieren lässt. Anhang Abbildung A: Ergebnisse der Experimente 16 Abbildung B: Experimente mit verschiedenen Versuchspersonengruppen Vgl. Sbriglia, 2008, S Keynes, 1936, hier entnommen aus Nagel, Selten, 1998, S Vgl. Nagel, Selten, 1998, S Selten, Nagel, S Bosch-Domènech, Montalvo, Nagel, Satorra, 2002, S
5 Literaturverzeichnis Alba-Fernández, V., P. Bra ňas-garza, F. Jiménez-Jiménez, J. Rodero-Cosano: Teaching Nash Equilibrium and Dominance: A Classroom Experiment on the Beauty Contest. In: Journal of Economics Education. Sommer Bosch-Domènech, A., J. G. Montalvo, R. Nagel and A. Satorra: One, Two, (Three), Infinity, : Newspaper and Lab Beauty-Contest Experiments. In: The American Economic Review. Ausgabe Dezember (Vol. 92, Nummer 5) S Bosch-Domenech, A., J. G. Montalvo, R. Nagel and A. Satorra: Finite Mixture Analysis of Beauty Contest Data from Multiple Samples. Research Paper veröffentlicht an der Universität Pompeu Fabra in Barcelona, 27. Januar Duffy, J. und R. Nagel: On the Robustness of Behaviour in Experimental Beauty Contest Games. In: The Economic Journal. Ausgabe 107, November S Riechmann, T.: Spieltheorie. 2. vollständig überarbeitete Auflage. München (Verlag Franz Vahlen): Sbriglia, P.: Revealing the depth of reasoning in p-beauty contest games. In: Experimental Economics. Ausgabe Juni 2008 (Vol. 11, Nummer 2) S Selten, R. und R. Nagel: Das Zahlenwahlspiel Ergebnisse und Hintergrund. In: Spektrum der Wissenschaft. Ausgabe 2 /
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