Zum Begriff des Erwartungswertes

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1 Zum Begriff des Erwartungswertes Wie man den Erwartungswert in der Schule einführt! Christopher Hirsch Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 13. Juli 2010

2 Das Wissensquiz 1. Die Aufgabe Der Sender RTV 10 möchte in Deutschland eine Konkurrenzsendung zu Wer wird Millionär ausstrahlen: das Wissensquiz. Allerdings muss der Produzent noch überprüfen, ob die erwarteten Werbeeinnahmen ausreichen, um die Preisgelder zu finanzieren. In den Ländern, in denen die Sendung bisher ausgestrahlt wurde, wurde gezählt, welche Gewinne die Kandidaten jeweils erzielt haben. Pro Sendung spielten durchschnittlich zwei Kandidaten. Lassen sich die Preisgelder der Kandidaten finanzieren, wenn pro Sendung Werbeeinnahmen von e zur Verfügung stehen?

3 Das Wissensquiz Gewinnstufe Anteil der Kandidaten e 2,0% e 3,0% e 7,5% e 14,8% e 22,0% e 20,0% e 19,2% e 6,7% e 4,3% e 0,5% den Schülern muss die Gelegenheit gegeben werden sich an der Lösung der Aufgabe zu Probieren, noch bevor der Lehrer den neuen Begriffe des Erwartungswertes einführt

4 Das Wissensquiz ein wichtiges Ziel ist, dass Schüler erkennen, dass sich viele Aufgaben ohne Kalküle lösen lassen auch danach sollten sich die Schüler fragen, ob es notwendig ist, Kalküle zu verwenden oder, ob Nachdenken nicht schneller und sicherer zum Ziel führt

5 Lösung ohne das Kalkül: Erwartungswert Schüler kennen die Begriffe Zufallsgrösse und Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgrösse aufbauend auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung ist folgende Überlegung naheliegend: Von Kandidaten ausgehend, wie viele Kandidaten gewinnen 1 500e, 3 000e, 5 000e, usw.? Gewinn 1 500e 3 000e 5 000e e... Anzahl der Kandidaten Preisgelder für Kandidaten summieren sich zu: 1 500e e e e 5 = e Fehler im Text

6 Lösung ohne das Kalkül: Erwartungswert im Durchschnitt gewinnt jeder Kandidat e:1 000=84 375e e sind der Gewinn die der Sender RTV 10 pro Kandidat erwarten sollte

7 Hinführung zum Erwartungswert Trick: Schreibe die Gleichung wie folgt um 1 500e e e e 5 = e = Somit kommt man mit folgender Rechnung auf den gleichen Wert: 1 500e e = e e = e e =

8 Hinführung zum Erwartungswert Leichtes Umschreiben führt zu: e e e e e = = e }{{} e e e +... relativehaeuf e + } {{} e = = e relativehaeuf. also kann man jeden Wert der Zufallsgrösse direkt mit der relativen Häufigkeit multiplizieren anschließendes Aufsummieren der Produkte liefert den durchschnittlichen Gewinn pro Kandidat

9 Hinführung zum Erwartungswert ist die Äquivalenzschreibweise: 0, 02 2% bekannt, kann die Gleichung auch geschrieben werden, als: 1 500e 2% e 3% e 7, 5% e 0, 5% = 8 437, 50e Definition Nimmt die Zufallsgrösse X die Werte x 1, x 2, x 3,... x n mit den Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2, p 3,...,p n an, so heißt E(X ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p x n p n der Erwartungswert der Zufallsgrösse X.

10 Erwartungswert - Bewertung der Aufgabe gute und ausreichende Formulierung des Begriffes Erwartungswert im Schulgebrauch es ist fraglich, ob die Schüler anhand des obigen Beispiels die Notwendigkeit der Einführung des neuen Begriffes verstehen Aufgabe ist leicht mit Überlegung zu lösen

11 Erwartungswert Wahrscheinlichkeit p i E[X ] Var[X ]) Abbildung: Punktediagramm der Tabelle aus dem Text. Es besteht eine starke Asymmetrie, da die Differenz der Punkte immer stärker zunimmt.

12 Erwartungswert und Varianz Wahrscheinlichkeit p i Abbildung: Punktediagramm der Tabelle aus dem Text. Einfach Logarithmisch aufgetragen. Durchgezogene Linie ist eine Gaußfunktion mit den berechneten Parametern. Die Funktion hat die Gestalt: f (x) = 1 µ)2 (x e σ 2 2πσ µ wurde berechnet: µ = E[log(X )] = 10 i=1 log(x i)p i σ wurde berechnet: σ 2 = E[(logX ) 2 ] [E(logX )] 2 µ σ 10,51 1,34

13 Erwartungswert und Varianz Wahrscheinlichkeit p i Abbildung: Punktediagramm der Tabelle aus dem Text. Auf der Abszissenachse ist die Nummerierung der Gewinnstufe abgetragen siehe Tabelle aus dem Text. Durchgezogene Linie ist eine Gaußfunktion mit den berechneten Parametern. µ wurde berechnet: µ = E[X ] = 10 i=1 i p i σ wurde berechnet: σ 2 = E[X 2 ] (E[X ]) 2 µ σ 5,51 1,78

14 Erwartungswert und Varianz Zusammenfassende Tabelle µ σ ,51 1,34 5,51 1,78 durch leichte Variierung der Bedingungen gehen Informationen über den Erwartungswert verloren durch Logarithmierung der Skala erhält man Glockenverlauf, jedoch ist kein Rückschluss mehr möglich auf den Erwartungswert unserer Zufallsgröße Führt man eine andere Zufallsgrösse ein, wie es im dritten Diagramm gezeigt wurde: Gewinnstufe in e Nummer der Gewinnstufe ist kein Rückschluss mehr auf den Erwartungswert unserer Zufallsgröße möglich

15 Der Begriff der Varianz V (X ), bzw. der Standardabweichung σ(x ) kann durch die Tschebyscheffsche Ungleichung eindrucksvoll veranschaulicht werden: P( X E(X ) kσ(x )) 1 k 2 mögliche Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Sender mit seiner Schätzung für den ersten Kandidaten um e neben dem erwarteten Wert liegt? Berechne das k aus obiger Gleichung: σ k = e Mit σ = e erhält man: k = 1.52 Und damit: P( X E(X ) ) P( X E(X ) ) 0.43 = 43%

16 Visualisierung der Tchebyschewschen Ungleichung Wahrscheinlichkeit p i Abbildung: Graphische Darstellung der Tschebyscheffschen Ungleichung: Funktion f (x i ) = σ2 x 2 i Wahrscheinlichkeit p i Abbildung: Graphische Darstellung der Tschebyscheffschen Ungleichung im Intervall, des schwarzen Kastens links