PERIODISCHE STRUKTUR DES FESTKÖRPERS. A. Reziproke Gitterbeziehung zwischen fcc- und bcc Gitter

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1 II. PERIODISCHE STRUKTUR DES FESTKÖRPERS A. Reziproke Gitterbeziehung zwischen fcc- und bcc Gitter 1. Zeigen Sie für das kubisch flächenzentrierte Gitter in Fig. 1 mit der Kantenlänge a: Das Volumen der primitiven Einheitszelle entspricht gerade a 3 /4. In einer nichtprimitiven Einheitszelle des kubisch flächenzentrierten Gitters in Fig. 1 mit der Kantenlänge a und dem Volumen a 3 liegen vier Gitterpunkte. Abbildung 1: fcc-gitter (kubisch flächenzentriert). Die primitiven Gittervektoren des in Fig. 1 dargestellten fcc-gitters sind a 1 = a 2 ( e x + e y ), (1) und Damit erghält man für das Spatprodukt a 2 = a 2 ( e y + e z ) (2) a 3 = a 2 ( e z + e x ) (3) a 1 ( a 2 a 3 ) = a3 4. (4) Die in Fig. 1 dargestellte nichtprimitive Einheitszelle des fcc-gitters umfasst also das Vierfache des Volumens der primitiven Einheitszelle und daher vier Gitterpunkte. 2. Wiederholen Sie 1) für das kubisch raumzentrierte Gitter in Abb Berechnen Sie das reziproke Gitter des fcc-gitters in 1. Zeigen Sie im Vergleich mit Fig. 2, dass es sich um ein bcc-gitter mit der Kantenlänge A = 4π/a der nichtprimitiven Einheitszelle handelt. Wie verhält es sich mit dem kubisch raumzentrierten Gitter? Die primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters sind g 1 = 2π a 2 a 3 a 1 ( a 2 a 3 ) = 2π a ( e x + e y e z ) (5)

2 A Reziproke Gitterbeziehung zwischen fcc- und bcc Gitter 2 Abbildung 2: bcc-gitter (kubisch raumzentriert). und analog g 2 = 2π a ( e x + e y + e z ), (6) g 3 = 2π a ( e x e y + e z ). (7) Die primitiven Gittervektoren des in Fig. 2 dargestellten bcc-gitters sind a 1 = A 2 ( e x + e y e z ), (8) a 2 = A 2 ( e x + e y + e z ) (9) und a 3 = A 2 ( e x e y + e z ). (10) Aus dem Vergleich der letzten sechs Gleichungen ergibt sich A = 4π/a.

3 A Reziproke Gitterbeziehung zwischen fcc- und bcc Gitter 3 B. Hexagonales Gitter, hexagonal dichteste Kugelpackung und Wurtzitstruktuer 1. Bestimmen Sie für dass in Abb. 3 (a) dargestellte hexagonale Bravais Gitter einen möglichen Satz von primitibven Gittervektoren. Abbildung 3: a) Hexagonales Bravais-Gitter, b) hexagonal dichteste Kugelpackung (kein Bravais-Gitter) c) Konstruktion zur berechnung von c/a (s. Aufgabe 5). Ein möglicher Satz von primitiven Vektoren ist a 1 = a(1, 0, 0) a 2 = a 2 (1, 3, 0), und a 3 = c(0, 0, 1) (11) 2. Die hexagonal dichteste Struktur (hcp, hexagonal close-packed) entsteht, wenn gleichgroße starre Kugeln mit möglichst großer Packungsdichte angeordnet werden. In einer Ebene berührt dabei jeweils eine Kugel sechs benachbarte Kugeln (Kugelverteilung A). In der Schicht darüber werden die Kugeln in die Vertiefungen gesetzt, die sich zwischen jeweils 3 Kugeln der Schicht A ergeben (Kugelverteilung B). F r die dritte Schicht gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten: Die Kugeln werden so positioniert, dass sie nun oberhalb der Vertiefungen der ersten Lage liegen, welche in der zweiten Schicht gerade nicht besetzt wurden (Kugelverteilung C). Es ergibt sich daraus eine Stapelfolge ABCABC... Diese Stapelung führt zur fcc- Struktur. Die Kugeln werden genauso angeordnet wie in der ersten Ebene, so dass sich die Stapelfolge ABABAB.. ergibt. Diese Anordnung entspricht der hcp-struktur

4 B Hexagonales Gitter, hexagonal dichteste Kugelpackung und Wurtzitstruktuer 4 Die hcp-struktur kommt sehr häufig vor, etwa 35 darunter zum Beispiel Magnesium, Cobalt und Zink. a Die hcp-struktur ist kein Bravaisgitter, kann aber über das einfach hexagonale Bravaisgitter mit Basis beschrieben werden. Bestimmen Sie diese Basis. b Wie ist bei idealer Kugelform das Verhälthis c/a zu wählen? Die hexagonal dichteste Kugelpackung hcp läßth sich als einfach hexagonales Gitter mit einer Basis von Atomen bei r 1 = (0, 0, 0) und r 2 = 1 3 a a a 3 (12) auffassen (s. Abb. 3). Für ideale Kugeln ist wegen r 2 = a c 8 a = 3. (13) 3. Wie beschreiben Sie die in Abb. 4 dargestellte Wurtzitstruktur kristallographisch. Abbildung 4: Wurtzitstruktur. Die Wurtzitstruktur ist im Kontext der Halbleitertechnologie wichtig, weil die Gruppe III- Nitride wie GaN und InN und ihre Mischkristalle diesen Aufbau aufweisen. Diee werden für LEDs und Laserdioden alle Farben eingestzt. Die entstehenden Tetraeder, die wie im Diamant- und im Zinkblendegitter die Grundlage des Kristalls bilden sind jedoch nicht ganz symmetrisch. Vielmehr unterscheidet sich die Bindungslänge zum nächsten Atom entlang der Hauptsymmetrieachse des hexagonalen Kristalls - der c-richtung- von der Länge zu den drei anderen Nachbaratomen. Dieses führt grundsätzlich zu einem spontanen Polarisationsfeld des Kristalls, das Oberflächenladungen beim Volumenkristall jedoch abschirmen. Bei Temperatur nderungen macht sich das Feld als Pyrroelektrizität bemerkbar. C. Ebene Gitterwellen 1. Zeigen Sie die Orthonormalität und Vollständigkeit der ebenen Gitterwellen. Zur Demonstration der Orthonormalitätsrelation untersuchen wir das Skalarprodukt G G = 1 d 3 re i( G G ) r, (14) V c V c

5 C Ebene Gitterwellen 5 indem wir schreiben r = i u i a i (15) mit den primitiven drei Gittervektoren a i und den Entwicklungskoeffizienten u i. Dann ist x x x d 3 u 1 u 2 u 3 y y y (a 1 ) 1 (a 2 ) 1 (a 3 ) 1 r = u 1 u 2 u 3 d 3 u = z z (a 1 ) 2 (a 2 ) 2 (a 3 ) 2 (a 1 ) 3 (a 2 ) 3 (a 3 ) 3 d3 u = V c d 3 u. (16) Wir setzen weiterhin an u 1 z u 2 u 3 G = j m j g j und G = j m jvecg j (17) mit den primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters g j. Es folgt ( G G ) r = 2πi j (m j m j)u j. (18) Einsetzen von (??) und (??) in (??) erbringt G G = 1,1,1 0,0,0 d 3 ue iπ j (mj m j )uj = j 1 0 du i e i2π(mj m j )uj = j δ mj,m j = δ G, G. (19) Zur Festsetellung der Vollständigkeit schreiben wir eine vorgegebene gitterperiodische Funktion f( r) = f( r + R) in der Form f( r) = f(x 1, x 2, x 3 ) = F (u 1, u 2, u 3 ), (20) Die Funktion F (u 1, u 2, u 3 ) ist eine in allen Variablen periodische Funktion, F (u 1, u 2, u 3 ) = F (u 1 +N 1 2π, u 2 +N 2 2π, (u 3 +N 3 2π) für alle N i Z. Wir können daher mit einer Forurierreihe exakt schreiben mit F (u 1, u 2, u 3 ) = F m1,m 2,m 3 = 1,1,1 0,0,0 m 1,m 2,m 3 F m1,m 2,m 3 e i2π j mjuj, (21) d 3 uf (u 1, u 2, u 3 )e i2π j njuj. (22) Wir definieren nun G = j m j g j sowie F m1,m 2,m 3 = F G und bringen mit G r = 2πi j m ju j die Gleichung (??) in die Form f( r) = G F G e i G r, (23) wobei aus (??) mit (??) folgt F G = 1 V c V c d 3 rf( r)e i G r. (24)