1. Kondensierte Materie

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1 1. Kondensiete Mateie Die Physik de kondensieten Mateie bescheibt gebundene Mateie wie Festköpe und Flüssigkeiten. Im Vegleich zu Gasen, ist die Atomdichte ρ bei kondensiete Mateie deutlich höhe, wie folgende Beispielechnung zeigt. Ein Mol Wasse besitzt eine Masse von 18 g und nimmt somit ein Volumen von 18 cm³ ein. Fü die Atomdichte egibt sich Atome cm Ein Mol ideales Gas nimmt hingegen ein Volumen von,4 l ein. Hie liegt die Atomdichte bei nm Atome 0,03 3 3,4dm Offensichtlich nimmt beim Übegang vom Gas zu kondensieten Mateie die Dichte um -3 Gößenodnungen zu. De Übegang efolgt unstetig und wid als Phasenübegang bezeichnet. Aufgund de hohen Dichte wechselwiken die Atome in kondensieten Mateie nicht meh nu duch seltene zufällig Stöße, sonden es liegt eine intensive Wechselwikung de Atome, insbesondee de Elektonenhüllen de beteiligten Atome, vo. nm Abbildung 1: schematisches Phasendiagamm, Phasenübegang ot Im schematischen Phasendiagamm in Abbildung 1 ist de Phasenübegang ot gekennzeichnet. Zusätzlich sind Tipelpunkt und kitische Punkt eingezeichnet. Zum besseen Veständnis des Phasenübegangs betachten wi die Gibbs-Enegie G (Feie Enthalpie) bei konstantem Duck und konstante Tempeatu:! G H TS min (1.1) U pv 1

2 Hiebei bezeichnet H die Enthalpie, S die Entopie und U die innee Enegie. Die Wechselwikungsenegie folge aus einem Potential wie in Abb. angedeutet. Offensichtlich ist die Gesamtenegie de k.m. geinge als im Gas aufgund de attaktiven Wechselwikung zwischen den Atomen Abbildung : innee Enegie Die Entopie eines Gases ist abhängig von de Anzahl de Anodnungsmöglichkeiten ω. Diese ist wiedeum abhängig vom Volumen V und von de Teilchenzahl N: Fü die Entopie gilt: S kln (1.) SGas S0 Nk lnv (1.3) Aufgund des vegleichsweise goßen Volumens ist also die Entopie des Gases elativ hoch. Im Vegleich dazu ist die Entopie bei kondensiete Mateie nahezu venachlässigba: Sk.M. 0 Insgesamt gilt also bei de Kondensation: U 0, S 0, V 0

3 Abbildung 3: Phasenübegang Gas/kondensiete Mateie In Abbildung 3 sind die Gibbs-Enegien fü das Gas und die kondensiete Mateie schematisch dagestellt. dagestellt. Aufgund de höheen Entopie hat die Geade des Gases die höhee Steigung und aufgund de höheen inneen Enegie und des höheen Volumens beginnt sie bei T=0 obehalb des Gaphen de k. M. De Phasenübegang efolgt am Schnittpunkt bei de Tempeatu T P.Ü.. (vegleiche (1.1)). Hingegen efolgt die Umwandlung von flüssig nach fest im Allgemeinen kontinuielich, stellt also keinen Phasenübegang da. In einem solchen Fall wid fü die Untescheidung zwischen flüssig und fest eine willküliche Genze de Viskosität η definiet: Poise flüssig Poise fest Ein echte Phasenübegang von flüssig nach fest liegt alledings vo, wenn die feste Phase kistallin ist, da die spontane Symmetiebechung von de amophen Flüssigkeit in den peiodisch geodneten Kistall notwendig unstetig efolgt. De Volumenunteschied zwischen Flüssigkeit und Kistall ist jedoch venachlässigba. Dennoch gilt auch hie: De Kistall hat im Vegleich zu Schmelze die geingee Entopie und die geingee Enegie. Woaus mit Hilfe eines Diagamms wie in Abb. 3 notwendig ein Phasenübegang folgt. 3

4 1.1 Natu de atomaen/molekulaen Wechselwikung Abbildung 4: Stuktu amophe Mateialien; a) Netzwekglas (z.b. Fensteglas), b) Statistische Kugelfüllung (z.b. weichmagnetische Bände) und c) Kettenveschlingung (z.b. polymee Themoplaste) Abbildung 5: Stuktu biologische Systeme; links: Die Pimästuktu eines Poteins besteht aus eine Kette von 0 veschiedenen Aminosäuen, die sich in den Seitenketten untescheiden. Zwei Aminosäuen sind in Fom von Kalottenmodellen dagestellt. Rechts: Modelle von dei kleinen globuläen Poteinen. Das aumfüllende Modell (a) zeigt die kompakte Stuktu, die Catoon-Repäsentation des Peptidückgates (b) das Faltungsmuste von Cytochom b 56 mit vie α-helices (blau), die duch kuze Schleifen (schwaz) vebunden sind. Das ot fluoeszieende Potein eqfp 611 (c) besteht fast ausschließlich aus β-faltblattstuktu, Flavodoxin (d) weist α-helikale und Faltblattbeeiche auf. Quelle: Nienhaus, Physik Jounal 3(004) 4/37 In diesem Abschnitt betachten wi die einzelnen Wechselwikungsmechanismen genaue. Sie alle beuhen letztlich auf de Coulombwechselwikung. Da die Atome abe keine Punktteilchen dastellen, sind je nach Situation veschiedene Mechanismen im Detail wiksam. Diese sind in Tabelle 1 mit den jeweils typischen Bindungsstäken aufgefüht. Tabelle 1: Wechselwikungsmechanismen im Detail Wechselwikung Bindungsstäke/Atom a) Van de Waals WW 0. ev b) Wassestoffbücken ev c) Kovalente Bindung 1-7 ev d) Ionische Bindung 5-10 ev e) metallische Bindung 1-5 ev Die schwachen WW a) und b) teten bei Flüssigkeiten und weiche Mateie auf. Die staken Mechanismen c), d) und e) hingegen sind entscheidend bei de Bildung von Festköpen. Typische 4

5 nicht-kistalline Stuktuen veschiedene Mateialien sind in Abbildung 4 und 5 schematisch dagestellt. Aufgund de veschiedenen Wechselwikungen findet man oft soga einen hieachischen Aufbau de Mateie. a) Van-de-Waals-Wechselwikungen Abbildung 6: schematische Dastellung de Van-de-Waals-Wechselwikung Die Van-de-Waals-Kopplung bescheibt die Bindung zwischen neutalen Atomen mit abgeschlossenen Elektonenschalen. Hiebei induziet ein fluktuieende Dipol in einem Atom einen Dipol im Nachbaatom (siehe Abbildung 6). Um die Gundzüge eines solchen Vogangs zu bescheiben, betachten wi zwei quantenmechanische hamonische Oszillatoen als Atommodelle, wie in Abbildung 7 dagestellt. Abbildung 7: zwei quantenmechanische hamonische Oszillatoen im Abstand Hiebei denken wi uns die Elektonen (weiß) übe eine Fede an den Ken (schwaz) gebunden. De Hamiltonopeato fü die zwei feien Atome lässt sich scheiben als 5

6 H o p1 m 1 o x p m o x, m m wobei ω 0 die Resonanzfequenz de Elektonenhülle bezeichnet und m die Elektonenmasse. Die elektostatische Wechselwikung zwischen den beiden benachbaten Atome wid mit Hilfe eines zusätzlichen Stötems beücksichtigt: Entwicklung von 1/(+dx) liefet: H 1 e e e e x x x x 1 1 e H x x Duch die Stöung H 1 weden die beiden Schwinge zu einem gekoppelten Pendel. Entspechend de symmetischen (s) und antisymmetischen (a) Eigenmoden nehmen wi eine Koodinatentansfomation vo: xs: 1 1 x1 x xa: x1 x x1: 1 1 xs xa x: xs xa p : 1 1 p p p : p p 1 s a s a Einsetzen und Sotieung nach symmetischen und antisymmetischen Schwingungsanteilen füht auf die folgende Gestalt des Hamiltonopeatos 1 1 e 1 1 e H ps mo x 3 s pa mo x 3 a m m symmetische Teil antisymmetische Teil Offensichtlich zefällt diese Hamiltonopeato des gekoppelten Systems in zwei unabhängige Oszillatoen mit den Fequenzen: e e s o 3 a o 3 m m m m e e 1 1 Die Entwicklung de Wuzel um 1 füht jeweils auf: s o 3 a o 3 mo mo 6

7 e 1 e s o mo m o e 1 e a o mo m o Hieaus egibt sich fü die Absenkung de Nullpunktsenegie de beiden Oszillatoen: e 1 A s a m 0 U Das entscheidende Egebnis ist die extem kuze Reichweite de Van-de-Waals-Wechselwikung, die 6 mit abfällt. Fü quantitative Rechnungen de Bindungsenegie ist eine übliche Scheibweise das Lennad-Jones-Potential : u ij , u j 4 ij ij (1.4) Hiebei bezeichnet ε eine Enegie und 0 einen Vegleichsabstand. De zweite Tem auf de echten Seite beücksichtigt die abstoßende Wechselwikung bei zu stake Annäheung de Atome aufgund des Pauli-Pinzips. Diese WW zeigt eine noch stäkee Abhängigkeit und wid aus numeisch paktischen Günden im Lennad-Jones Potential mit einem Exponenten von n=1 beschieben. (Andee sinnvolle Wete von etwa n=9 13 weden duchaus auch benutzt.) Ein entspechendes Potential ist schematisch in Abbildung 8 dagestellt. Abbildung 8: schematisches Lennad-Jones-Potential 7