1 x x2 3 mit D f = IR. Teilaufgabe 1.1 (5 BE) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und geben Sie das Symmetrieverhalten von G f.

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1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 0 Mathematik Nichttechnik - A II - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f( x) x x mit D f = IR. Teilaufgabe. (5 BE) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f und geben Sie das Symmetrieverhalten von G f an. f( x) = 0 Substitution: x = u Umformung: x x u u = 0 = 0 u u 7 = 0 u u 7 = 0 auflösen u Resubstitution: x = auflösen x x x x = auflösen x x x G f ist achsensymmetrisch zur y-achse, da der Funktionsterm nur gerade Potenzen von x enthält. Teilaufgabe. (6 BE) Ermitteln Sie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen der Funktion f.. Ableitungsfunktion: f' ( x) x x Horizontale Tangenten: f' ( x) = 0 x x = 0 x x 6 = 0 x E 0 x 6 = 0 auflösen x 6 x E 6 x E 6 6 AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von

2 Nachweis der Art über eine Monotonietabelle: x = 6 x = 0 x = 6 streng monoton steigend: sms streng monoton fallend: smf f 6 f'(x) pos neg pos neg G f sms smf sms smf HP ( 6 / ) f( 0) TP( 0 / ) f 6 HP TP HP HP ( 6 / ) Teilaufgabe. (6 BE) Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph der Funktion f rechts- bzw. linksgekrümmt ist und berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte.. Ableitungsfunktion: f'' ( x) x Flachpunkte: f'' ( x) = 0 x = 0 auflösen x x W x W Vorzeichentabelle: x = x = rechtsgekrümmt: rk linksgekrümmt: lk f'(x) neg pos neg G f rk lk rk 7 f 0. WP ( / 0. ) 7 f 0. WP ( / 0. ) WP WP G f ist rechtsgekrümmt in ] ; ] und in [ ; [, G f ist linksgekrümmt in [ ; ]. AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von

3 Teilaufgabe. (5 BE) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Bereich.5 x.5 mithilfe vorliegender Ergebnisse in ein Koordinatensystem. y-achse 0 Graph von f Nullstellen Extrempunkte Wendepunkte Randpunkte x-achse Teilaufgabe.0 Gegeben sind nun die reellen Funktion f a ( x) x = x a mit D = IR und a IR +. fa Für a = erhält man die Funktion aus Aufgabe. Die Ergebnisse aus Aufgabe können bei den folgenden Aufgaben verwendet werden. Teilaufgabe. ( BE) Ermitteln Sie die Koordinaten aller relativen Extrempunkte des Graphen der Funktion f a in Abhängigkeit von a. Funktionsterm: fa( x a) x x a. Ableitungsfunktion: fa' ( x a) x x unabhängig von a x-werte der Extrempunkte stimmen mit denen aus Aufgabe. überein. AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von

4 a fa 6 a HP ( 6 / a) fa( 0 a) a TP ( 0 / a ) fa 6 a a HP ( 6 / a) Teilaufgabe. (6 BE) Bestimmen Sie nur mithilfe der Ergebnisse aus. die Anzahl und Vielfachheiten der Nullstellen von f a in Abhängigkeit von a. Für a liegen die beiden Hochpunkte über die x-achse. vier einfache Nullstellen Für a = liegen die beiden Hochpunkte auf die x-achse. zwei zweifache Nullstellen Für a lieen die beiden Hochpunkte unter die x-achse. keine Nullstellen Folgende graphische Darstellung ist in der Prüfung nicht verlangt. y-achse x-achse Graph für a < Graph für a = Graph für a > AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von

5 Teilaufgabe.0 Gegeben ist weiterhindie Funktion p durch px ( ) x mit D p = IR. Teilaufgabe. ( BE) Zeigen Sie, dass p genau zwei gemeinsame Nullstellen mit der Funktion f aus Aufgabe hat. Zeichnen Sie den Graphen von p im Bereich x in das Koordinatensystem aus Teilaufgabe.. px ( ) = 0 x = 0 auflösen x Das sind die Nullstellen von. y-achse 0 x-achse Fläche Graph von f Graph von p Gemeinsame Nullstellen Teilaufgabe. (5 BE) Die Graphen der Funktionen f (aus Aufgabe ) und p schließen drei Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Maßzahl desjenigen Flächenstücks, das den Ursprung enthält, auf zwei Nachkommastellen genau. Stammfunktion: ( px ( ) f( x) ) dx x 5 5 5x x Flächenmaßzahl: A 0 ( px ( ) f( x) ) dx A AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 5 von

6 Teilaufgabe. ( BE) Die in. beschriebene Fläche stellt die Form eines Firmenlogos dar. Es soll aus einer dünnen Styroporplatte ausgesägt werden. die Platte wird durch die Geraden mit den Gleichungen x =, x =, y = und y = von außen begrenzt. Berechnen Sie den Anteil des Abfalls nach dem Aussägen in Prozent. Firmenlogo Äußere Fläche: A Viereck A Viereck Abfall: A Viereck A 5 A Viereck A 6.7 % A Viereck 0 Teilaufgabe (7 BE) Gegeben ist die reelle Funktion H durch Hx ( ) = x ax bx cx d 0 mit a, b, c, d IR. H ist eine Stammfunktion der ganzrationalen Funktion h. Bestimmen Sie den Funktionsterm Hx ( ), wenn der Graph der Funktion h punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft und W Hx ( ab c d) x ax bx 0 ein Wendepunkt des Graphen G H ist. cx d hx ( ab c) x 0 a x b x c G h ist punktsymmetrisch, also a = 0 c = 0 hx ( 0b 0) b x x 7 Hx ( 0b 0 d) bx x 0 d W Wendepunkt von H: H'' ( x) = 0 h' ( x) = 0 AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 6 von

7 h' ( x b) b x h' ( b) = 0 b = 0 auflösen b b = H0 0 d = d 5 = auflösen d d = Teilaufgabe 5.0 Der Gepäckraum eines Flugzeugs kann im Querschnitt mithilfe der Funktion px ( ) x 5 beschrieben werden. Das Gepäck soll dabei in Containern mit rechteckiger Querschnittsfläche untergebracht werden (vgl. Abbildung). Die Längeneinheit ist Meter und kann bei den Berechnungen weggelassen werden. Teilaufgabe 5. ( BE) Stellen Sie eine Gleichung für die Querschnittsfläche Ax ( ) der Container in Abhängigkeit von x auf und bestimmen Sie eine im Sachzusammenhang sinnvolle Definitionsmenge. [ Teilergebnis: Ax ( ) = x 5 x ] Ax ( ) x x 5 Ax ( ) 5x x Nullstellen der Parabel: x 5 = 0 auflösen x 5 5 obere Grenze für x Definitionsmenge: x ] 0 ;.5 [ AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite 7 von

8 Teilaufgabe 5. (6 BE) Berechnen Sie x so, dass die Querschnittsfläche der Container den größten Inhalt annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall auch die Breite und Höhe der Container. A' ( x) 5 x A' ( x) = 0 5 x = 0 auflösen x Rel. Extremum: x E x 6 E. Funktionswert: y E Ax E y 5 E Vergleich mit den Randwerten: lim x 0 5x x 0 lim 5 x 5x x 0 Absoluter Hochpunkt (. / 6.0 ) Breite des Containers: b =.m Höhe des Containers: h p x E m h.0 m AP 0, Mathematik Nichttechnik. Klasse, A II - Lösung Seite von

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