Mathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007

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1 Mthemtik Ingo Blechschmidt 22. Jnur 2007 Inhltsverzeichnis I Mthemtik 2 1 Anlysis Stetigkeit und Differenzierbrkeit Stetigkeit Differenzierbrkeit Stz des Husmeisters Beispiel Ds bestimmte Integrl Spezielle Flächen Eigenschften des bestimmten Integrls Die Integrlfunktion Logrithmische Integrtion Vollständige Induktion (Beweisverfhren für Aussgen A(n); n N) Die Exponentilfunktion Einführende Beispiele Wie sieht der Funktionsterm von f us? Ableitung beliebiger Exponentilfunktionen. 9 1

2 2 1.6 Funktion und Umkehrfunktion Speziell [bei der Exponentilfunktion] Zusmmenhng zwischen der Ableitung von f und f 1 n sich entsprechenden Stellen Uneigentliche Integrle Prtielle Integrtion [Integrtion durch] Substitution Asymptote Teil I Mthemtik 1 Anlysis 1.1 Stetigkeit und Differenzierbrkeit Stetigkeit f stetig in x 0 ; lim x x0 f(x) = f(x 0 ); Differenzierbrkeit f(x) f(x f ist diffbr n der Stelle x 0 ; lim 0 ) x x0 x x 0 existiert; Dieser Grenzwert heißt Ableitung von f n der Stelle x 0 und wird mit f (x 0 ) bezeichnet. (Ist x 0 Rndpunkt von D f, so sind die Grenzwerte einseitige.) 1 Grenzwert von links und von rechts, wenn möglich

3 1 ANALYSIS Stz des Husmeisters f ist diffbr uf ], b[, stetig uf ], b] und lim x b f (x) existiert. f ist n der Stelle b von links diffbr, und es gilt: f l (b) = lim x b f (x); Bemerkungen: Eine entsprechende Aussge gilt für die rechtsseitige Diffbrkeit. f ist n der Stelle x 0 diffbr genu dnn, wenn gilt: f l (x 0) = f r(x 0 ); Beispiel Betrchtet werden die Funktionen f und g mit D f = ], b] ; D g = ]b, c[ ; und die Funktion h mit { f(x) für x ], b] ; h(x) = g(x) für x ]b, c[ ; d.h. D h = ], c[ ; f und g besitzen die Stmmfunktionen F und G. Beschreibe eine Vorgehensweise, um heruszufinden, ob h eine Stmmfunktion besitzt und gib gegebenflls eine n. Vorläufiges H: { F(x) für x < b; H(x) = G(x) für x > b; lim H(x) = H(b); x b lim H(x) = lim F(x); x b x b lim H(x) = lim G(x); x b+ x b+ 1. Fll: Einer der Grenzwerte existiert nicht.

4 1 ANALYSIS 4 2. Fll: Beide Grenzwerte existieren und stimmen überein. Diesen Grenzwerte nehmen wir ls H(b). 3. Fll: Beide Grenzwerte existieren etw ϕ und γ, ber stimmen nicht überein. Wir verwerfen ds lte H(x) und nehmen F(x) für x < b; ϕ für x = b; H(x) = G(x) + ϕ γ für x > b; }{{} Neues G(x) Überprüfung uf Differenzierbrkeit n der Stelle b: 1. Methode: Grenzwert des Differenzenquotienten H(x) H(b) lim x b x b H(x) H(b) lim x b+ x b F(x) H(b) = lim ; x b x b G(x) H(b) = lim ; x b+ x b Stimmen diese Grenzwerte überein, ist H Stmmfunktion von h, ndernflls nicht. 2. Methode: Stz des Husmeisters Nch Konstruktion ist H stetig n der Stelle b. lim x b F (x) = lim f(x); x b lim x b+ G (x) = lim g(x); x b+ Wenn die beiden Grenzwerte existieren und gleich sind, ist H(x) diffbr. Wenn ferner H (b) = f(b) gilt, ist H eine Stmmfunktion von h Ds bestimmte Integrl Ich geb euch immer so dumme Antworten, weil ihr mir in einer Vgheit Frgen stellt bei denen hb ich keine Chnce, richtig zu ntworten. Vor Newton ist ds Fllen eines Steines im whrsten Sinne des Wortes ungesetzlich gewesen viele sgen sogr, vor Newton sind Steine [gr] nicht gefllen.

5 1 ANALYSIS Spezielle Flächen F = {P (x, y) x [, b] y [0, f(x)] f stetig uf [, b]} ; Wie lässt sich der Inhlt der Fläche, A (x), bestimmen? Wie betrchten ds Änderungsverhlten von A (x): A (x) + h min f(x) A (x + h) A (x) + h mx f(x); [x,x+h] [x,x+h] A (x) h min f(x) A (x h) A (x) h mx f(x); [x h,x] [x h,x] min f(x) A(x+h) A(x) mx f(x); [x,x+h] h [x,x+h] f(x) A (x) f(x); Weil die einen Doofen von den nderen Doofen gerne gelobt werden Die Flächenfunktion ist eine Stmmfunktion der Rndfunktion, und zwr die Stmmfunktion, für die gilt: A () = 0; Für f(x) 0 uf [, b] soll sein: f(x) dx := [B. S. 41] [B. S. 46: F (x) = d dx f(x) dx 0; f integrierbr über [, b] und dort F = f. Dnn gilt: x k f(t) dt = f(x);] f(x) dx = F(b) F(); Eigenschften des bestimmten Integrls kf(x) dx = k f(x) dx; k R;

6 1 ANALYSIS 6 J ich bin nicht meine Skizze Ich bin nicht ml meine Stimme sonst würde ich j meine Stimme heißen [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx; f(x) dx + c c f(x) dx = f(x) dx; f(x) dx =: b f(x) dx; < b; b [in der Ableitung steckt die Richtung] Die Integrlfunktion f stetig uf [, b]. k [, b] ; φ: x x k Es gilt: φ = f; f(t) dt; x [, b] ; Ist dir der logische Irrsinn deiner Aussge bewusst? Brrr... d bruch ich ne mentle Dusche Logrithmische Integrtion (ln f(x)) = 1 f(x) f (x) = f (x) f(x) ; f(x) > 0; x D f ;

7 1 ANALYSIS Vollständige Induktion (Beweisverfhren für Aussgen A(n); n ) 1. Schritt: Induktionsnfng: Die Aussge wird für n = 1 bewiesen. 2. Schritt: Induktionsschritt von n uf n + 1 Unter der Vorussetzung, dss die Aussge für n gilt, wird bewiesen, dss die Aussge für n + 1 gilt. Im Grunde geht es um die Frge Ws ist Relität Weil sie wissen, dss Sprechen Relität schfft. Wenn ich mich d hineinintegriere [in nicht-lgebrischen Kontext], dnn [... ] Und ds [ws mn ufgeschrieben ht] strrt mich n Meine Hnd ist nicht deine Hnd Und plötzlich entdecke ich hier jemnden von dem ich nie wusste, [dss] er [hier] wohnt *monotone, befehlende Stimme* Die Kretivität ist per Gesetz durchzuführen Die Exponentilfunktion Einführende Beispiele [... ] Allgemeine Struktur der uftretenden Gleichungen: f(x) = f(x 0 ) + f(x 0 )k (x x 0 ) ; x x 0 ; mit einer Funktion f: R R; Bemerkungen: Wird der Zins dem Kpitl zugeschlgen, gilt die ngegebene Gleichung nur bis zum Zeitpunkt t Z des Zuschlgs. Für t > t Z muss K(t 0 ) durch K(t Z ) ersetzt werden. Für je zwei geeignete Zeitpunkte t 1 und t 2 mit t 1 < t 2 gilt lso: K(t 2 ) = K(t 1 ) + K(t 1 )k (t 2 t 1 ) ;

8 1 ANALYSIS 8 [Einschub:] f f(x) f(x (x 0 ) = lim 0 ) x x0 x x 0 ; f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 ; f (x 0 ) (x x 0 ) f(x) f(x 0 ); f (x 0 ) x f (x 0 ) x 0 f(x) f(x 0 ); f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )x f (x 0 )x }{{} 0 ; f(x) = k=0 bei negtiven k]) t(x) f (k) (x 0 ) (x x 0 ) (k) k! ; (Tylorreihe, [Lgrngereihe Auch in den restlichen Beispielen gilt die jeweilige Gleichung für t = t 0 + t bzw. x = x 0 + x nur für entsprechend kleine t bzw. x. Beim rdioktiven Zerfell etw muss nch einer Zeitduer t Zerfllsduer die Zhl der nicht zerfllenen Atome ktulisiert werden. Überträgt mn obige Überlegung uf f, ergibt sich für beliebige x 1, x 2 unter der Vorussetzung der Differenzierbrkeit f(x 2 ) = f(x 1 ) + kf(x 1 ) (x 2 x 1 ) ; f(x lim 2 ) f(x 1 ) x 2 x x 2 x 1 1 = lim x 2 x 1 kf(x 1 ) = kf(x 1 ); Wie sieht der Funktionsterm von f us? Zurück: k = 1; f (x) = f(x); Geometrische Bedeutung: Steigung und Funktionswert n einer Stelle sind gleich. f(x) = k x k = 0 + k x k ; k=0 k=1 f (x) = 0 + k kx k 1 = j+1 (j + 1) x j ; k=1 j=0 f(x) = 1 + x + x2 2 + x x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + = f(x) > 0 für lle x R; n=0 x n n! ;

9 1 ANALYSIS 9 f (x) = f(x); f(0) = 1 = f (0); 6 f 5 4 y x f(x) lässt sich uch in der ( Form e x schreiben, lso ds Exponentilfunktion mit e = lim x x x) (EULERsche Zhl, 2,7). f: R R +, x e x (ntürliche Exponentilfunktion) Auch ϕ(x) = e x, 0 erfüllt die Bedingungen. lim x ex = lim x ex = 0; (x-achse ist Asymptote für x ) k R \ {0} ; f k (x) = e kx ; f k (x) = ekx (kx) = ke kx = kf k (x); Rechengesetze für Potenzen vgl. B. S Ableitung beliebiger Exponentilfunktionen g(x) = b x ; b > 0; x R; g(x) = ( e ln b) x = e x ln b ; g (x) = x x ln b ln b = ( e ln b) x ln b = bx ln b;

10 1 ANALYSIS Funktion und Umkehrfunktion Eine Funktion f: A B ordnet jedem x A (Definitionsmenge) genu einen Wert y B (Zielbereich) zu; mn schreibt dfür y = f(x) und nennt f(x) den Funktionsterm von f für ds Argument (die Vrible) x. Ist jedes y B uch Funktionswert von f, so heißt f surjektiv. Folgt für lle x 1, x 2 A mit x 1 x 2, dss f(x 1 ) f(x 2 ), so heißt f injektiv. Die Menge ller Funktionswerte von f heißt Wertemenge von f. Die Umkehrfunktion von f soll jedem Element us B sein (genu ein) Element us A zuordnen. Dzu muss f bijektiv 2 sein. f: A B :f 1 ; Für lle A gilt: f 1 (f()) = ; Für lle b B gilt: f(f 1 (b)) = b; Speziell [bei der Exponentilfunktion] f: R R +, x e x ; f ist echt monoton steigend uf der Definitionsmenge, lso injektiv Mthemtik ist wie ein Brennspiegel, die nur betrchtet, ws eh schon d ist D ist die lte Frge, mit wem sprech ich denn, wenn ich mit spreche...? Und wer bin ich wirklich...? Für jedes y R + gibt es ein x R mit f(x) = e x = y. Also ist f surjektiv. f ist umkehrbr. Umkehrfunktion f 1 von f: f 1 : R + R, y = e x x = ln y; Trägt mn uch die Argumentwerte von f 1 uf der Rechtswertchse und die Funktionswerte von f 1 uf der Hochwertchse uf (Spiegelung n der Winkelhlbierenden des 1. und 3. Qudrnten), ergibt sich der Grph von f 1. f 1 : R + R, x ln x; 2 injektiv und surjektiv

11 1 ANALYSIS Zusmmenhng zwischen der Ableitung von f und f 1 n sich entsprechenden Stellen (f 1 ) (x 0 ) = 1 f (f 1 (x)) Kurz: (ln x) = 1 x ; Folgerungen: speziell = 1 f(f 1 (x 0 )) = 1 x 0 ; 1. Fll: x > 0: 1 dx = ln x + C = ln x + C; C R; x 2. Fll: x < 0: 1 dx = ln x + C = ln x + C; C R; x 1 x dx = ln x + C; C R; Uneigentliche Integrle F 0 (α) = α e x dx = [ e x ] α 0 = 1 e α ; 0 lim F 0(α) = 1; α Uneigentliches Integrl mit unbeschränktem Integrtionswert: α lim e x dx =: e x dx; α 0 0 [Knn konvergieren oder bestimmt oder unbestimmt divergieren.] es ist nicht schön, dss so hinzuschreiben, ber wir mchen jetzt j grd Physik... β γ lim f(x) dx + lim f(x) dx =: f(x) dx; α α γ β ein schlechter Kuchen ist nichts schlimmes lngsm kommen wir dzu, Mthemtik zu mchen, ber ds Abitur kommt uns dzwischen... mein Ziel besteht drin, mich überflüssig zu mchen

12 1 ANALYSIS Prtielle Integrtion (uv) = u v + u v ; u v = (uv) u v; u v dx = (uv) dx u v dx = uv + C u v dx; [Integrtion durch] Substitution Kettenregel: φ(t) = F (g(t)); φ(t) = F (g(x)) g (t); f(g(t))g (t) dt = F (g(t)) + C = f(x) dx mit x = g(t); Asymptote ist Asymptote von f für x lim [f(x) (x)] = 0; x [Speziell für rtionle Funktionen:] f(x) = r(x) : q(x) = k(x) [Polynomdivision!] }{{} (x) + z(x) q(x) ; wer ht ds [Tfelbild] gemcht? der Herr Gräupner h, j, ist gut *lobend*