5 Sphärische Trigonometrie

Transkript

1 $Id: sphaere.tex,v /06/24 23:05:24 hk Exp hk $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.2 Sphärische Dreiecksberechnung Wir behandeln gerade die Berechnung sphärischer Dreiecke und haben zu diesem Zweck bereits die beiden Formen des sphärischen Cosinussatzes hergeleitet. Damit fehlt uns nur noch der sphärische Sinussatz und zu dessen Beweis im sphärischen Dreieck ABC auf einer Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 hatten wir das Lot von C auf die Ebene M AB gefällt, den Lotfußpunkt mit Z bezeichnet und dann die Höhe CZ = R sin a sin β, wobei wir wieder unsere Standardbezeichnungen im A sphärischen Dreieck verwenden. Vertauschen wir hier die Rollen der Punkt A und B, so bleiben C und die Ebene MAB unverändert und wir erhalten auch CZ = R sin b sin α. Diese Konstruktion werden wir gleich zweimal verwenden, einmal zum Beweis des Sinussatzes und ein weiteres Mal zur Berechnung des sogenannten Eckensinus. Wir beginnen mit dem sphärischen Sinussatz. Satz 5.6 (Der sphärische Sinussatz) Sei = ABC ein sphärisches Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Dann gilt sin a sin α = sin b sin β = sin c sin γ. M b R P α C Z B Beweis: Unsere obige Überlegung zeigt sin a sin β = sin b sin α, und dies ergibt sin a sin α = sin b sin β. Wenden wir dieses Ergebnis dann im Dreieck BCA an, so ergibt sich auch sin b sin β = sin c sin γ 20-1

2 und der sphärische Sinussatz ist bewiesen. Wie schon gesagt wollen wir unsere obige Figur noch zu einer zweiten Rechnung verwenden, mit den obigen Bezeichnungen bilden wir den Simplex T := co({m, A, B, C}) und wollen das Volumen von T in Termen des sphärischen Dreiecks bestimmen. Hierzu betrachten wir in der Ebene durch M, A, B das euklidische Dreieck Λ := MAB. In diesem Dreieck ist der Winkel bei M gerade der Winkel zwischen MA und MB, also die Seite c des sphärischen Dreiecks. Die Höhe h in Λ auf der Seite MA ist nach 1.Satz 8 gleich h = MB sin c = R sin c, die Fläche F von Λ ist also F = 1 2 MA h = 1 2 R2 sin c. Der Simplex T ist nun ein Kegel über dem Dreieck Λ mit der Höhe CZ, und somit folgt vol(t ) = 1 3 F CZ = 1 6 R3 sin b sin c sin α. Damit ergibt sich nun der sogenannte Eckensinus des sphärischen Dreiecks. Lemma 5.7 (Der Eckensinus eines sphärischen Dreiecks) Seien K eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 und = ABC ein sphärisches Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln α, β, γ bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Der Eckensinus von ist die Größe S := sin a sin b sin γ = sin a sin c sin β = sin b sin c sin α, und dann ist das Volumen des Simplex T := co({m, A, B, C}) gegeben als vol(t ) = 1 6 R3 S. Beweis: Wir haben bereits vol(t ) = 1 6 R3 sin b sin c sin α eingesehen, und nach dem sphärischen Sinussatz Satz 6 ist sin a sin α = sin b, also auch sin a sin c sin β = sin b sin c sin α. sin β Analog folgt auch sin b sin c sin α = sin a sin b sin γ. 20-2

3 Damit können wir zur sphärischen Dreiecksberechnung kommen, d.h. von den sechs Größen C γ a, b, c, α, β, γ sind drei vorgegeben und die anderen b a sollen berechnet werden. Im Unterschied zum ebenen Fall legen zwei der Winkel den dritten Winkel nicht fest, es gibt jetzt also sechs verschiedene Aufgabentypen SSS, SWS, SSW, WSW, WWS α A β B und WWW. Da wir den ebenen Fall in 1.4 recht c ausführlich behandelt haben und das Vorgehen im sphärischen Fall weitgehend analog ist, wollen wir uns hier kürzer fassen. Wir gehen hier nur das prinzipielle Vorgehen durch, wenn man sich die Lage genauer anschaut, so gibt es auch wieder notwendige Ungleichungen zu beachten damit überhaupt eine Lösung existiert und in einigen Fällen ist die Lösung nicht eindeutig. Durch eventuellen Übergang zum Polardreieck kann man die Zahl der Aufgabentypen auf 3 verringern, da beispielsweise SSW gleichwertig zu WWS im Polardreieck ist. Gehen wir die Fälle durch. 1. Bei SSS sind a, b, c bekannt und die Winkel berechnen sich mit dem Seitencosinussatz Satz 3 zu cos a cos b cos c cos α = sin b sin c und so weiter. Sind beispielsweise a = 50, b = 82, c = 102 gegeben, so liefert die obige Formel und ihre Varianten für β und γ cos α 0, , also α 46, , cos β 0, , also β 68, , cos γ 0, , also γ 113, Bei SWS sind beispielsweise a, b, γ gegeben und erneut mit dem Seitencosinussatz cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ kann die dritte Seite c berechnet werden. Die anderen Winkel kann man dann wie im SSS Fall oder auch mit dem sphärischen Sinussatz berechnen. Nehmen wir beispielsweise a, b, γ aus dem obigen Beispiel, so wird cos c 0, , und somit c 101, Genau wie in der ebenen Situation ist der Fall SSW komplizierter. Seien etwa a, b, α gegeben und wir wollen die Seite c bestimmen. Wenn wir diese haben, so können wir erneut wie im SSS Fall weitermachen oder den sphärischen Sinussatz verwenden. Wir führen zunächst den Hilfswinkel δ durch die Beziehung tan δ = tan b cos α 20-3

4 ein. Der sphärische Cosinussatz cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α impliziert cos a cos δ cos b = cos c cos δ+tan b cos α sin c cos δ = cos c cos δ+sin c sin δ = cos(c δ), woraus sich c berechnen läßt. Nehmen wir etwa die Werte von a, b, α des obigen Beispiels, so wird tan δ = tan b cos α 4, und δ 78, , und weiter cos(c δ) = also ist schließlich cos a cos δ cos b 0, , d.h. c δ 23, , c 101, Die restlichen drei Fälle behandeln wir nicht mehr, da sich diese durch Übergang zum Polardreieck auf die obigen Situationen zurückführen lassen. 5.3 Kleinkreise als sphärische Kreise Man kann die Theorie der ebenen Dreiecke weitgehend auf den sphärischen Fall übertragen, zum Beispiel gibt es wieder Höhen, Umkreise, Inkreise und so weiter. Wir wollen dies nicht systematisch betreiben und nur die Berechnung des Umkreises vorführen um einen Eindruck von den verwendeten Methoden zu erhalten. Es sei im folgenden wieder eine Kugel K mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 gegeben. Bevor wir den Umkreis besprechen können, müssen wir ein wenig vorbereitendes Material bereitstellen. Wir beginnen mit dem sogenannten sphärischen Satz des Pythagoras. Angenommen wir haben ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck ABC etwa mit rechten Winkel in C, d.h. γ = π/2. Der Seitencosinussatz Satz 3 ergibt dann wegen cos(π/2) = 0 cos c = cos a cos b und dies ist schon der sphärische Satz des Pythagoras, der Cosinus der Hypothenuse ist das Produkt der Cosinuswerte der Katheten. Mit Winkelcosinussatz und sphärischen Sinussatz lassen sich übrigens noch einige weitere Formeln für das rechtwinklige sphärische Dreieck herleiten, aber uns reicht der sphärische Pythagoras. Genau wie in der Ebene aus dem Satz des Pythagoras die Beschreibung der Geraden als Mittelsenkrechten folgt, können wir jetzt die Großkreise als sphärische Mittelsenkrechten erkennen. Wir betrachten zwei Punkte A, B auf K und die Mittelsenkrechte m zwischen diesen beiden Punkten ist m := {P K : AP = BP }, und wir behaupten das dies der auf dem Großkreis AB senkrechte k Großkreis durch den Mittelpunkt M von AB ist. 20-4

5 Ist P k, so liefert der sphärische Pythagoras angewandt in den beiden rechtwinkligen Dreiecken AMP und BMP wegen AM = BM cos AP = cos MP cos AM = cos MP cos BM = cos BP, P h also ist AP = BP und somit P m. Ist umgekehrt P m, so fälle das Lot von P auf AB und bezeichne den Lotfußpunkt mit M. Eine erneute Anwendung des sphärischen Pythagoras gibt dann A p M q B cos AM = cos AP cos MP = cos BP cos MP = cos BM, also ist AM = BM und somit ist M der Mittelpunkt von AB und P k. Als letzten noch einzuführenden Begriff benötigen wir die sphärischen Kreise. Wir hatten schon erwähnt das die Großkreise auf der Sphäre den Geraden der Ebene entsprechen und weiter werden wir jetzt einsehen das die Kleinkreise auf der Sphäre R den ebenen Kreisen entsprechen. Seien ein Punkt r A auf K und ein Winkelradius 0 < r < π/2 gegeben. Der spärische Kreis mit Mittelpunkt A und M d Winkelradius r ist dann analog zum euklidischen Kreis als P h A k := {P K : AP = r} e definiert. Der Kegel mit Spitze in M und halbem Öffnungswinkel r schneidet K im sphärischen Kreis k. Dann ist k = K e ein Kleinkreis wobei e die auf MA senkrechte Ebene im Abstand d = R cos r zu M ist. Insbesondere ist k ein euklidischer Kreis in der Ebene e dessen Mittelpunkt MA e und dessen Radius h = R sin r ist. Diese Überlegung zeigt: Lemma 5.8 (Sphärische Kreise) Seien K eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R > 0. Weiter seien A K, 0 < r < π/2 und bezeichne k den sphärischen Kreis mit Mittelpunkt A und Winkelradius r. Dann ist k ein Kleinkreis k = K e wobei e die auf MA senkrechte Ebene im Abstand R cos r zu M ist und k ist ein euklidischer Kreis in e mit dem Radius R sin r und Mittelpunkt MA e. Beweis: Dies haben wir gerade eingesehen. 20-5

6 Nun sei = ABC ein spärisches Dreieck bezeichnet gemäß der Standardkonvention. Wir bilden dann die Mittelsenkrechten m a auf a und m b auf b und nennen ihren Schnittpunkt Z. Die obige Beschreibung der Mittelsenkrechten liefert ZB = ZC und ZA = ZC, also ist auch ZA = ZB und Z liegt auf der Mittelsenkrechten m c auf c. Damit schneiden sich die drei Mittelsenkrechten von in einem Punkt Z der von allen Ecken des Dreiecks denselben Abstand hat, also der Umkreismittelpunkt von ist. Damit haben wir den Existenzteil des folgenden Satzes bewiesen. Satz 5.9 (Umkreis eines sphärischen Dreiecks) Seien K eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius R > 0 und = ABC ein spärisches Dreieck auf K bezeichnet gemäß der Standardbezeichnungen. Dann schneiden sich die drei Mittelsenkrechten von im Umkreismittelpunkt von und der Umkreis von hat den Winkelradius ϱ gegeben durch tan ϱ = 4 sin a 2 sin b 2 sin c 2 sin a sin b sin γ. Beweis: Die erste Aussage haben wir bereits eingesehen, und wir bezeichnen den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Z. Der Umkreis von ist dann der sphärische Kreis mit Mittelpunkt Z und Winkelradius ϱ und nach Lemma 8 ist k = K e ein Kleinkreis, wobei e die auf MZ senkrechte Ebene im Abstand d = R cos ϱ zu M ist, und weiter ist k in e ein euklidischer Kreis mit Radius U = R sin ϱ. Sei N := MZ e der euklidische Mittelpunkt von k, also MN = d. Wegen A, B, C in k ist k auch der Umkreis des euklidischen Dreiecks Λ := ABC in e, d.h. U ist auch der Umkreisradius von Λ. Ist F := A(Λ) die Fläche des Dreiecks Λ, so gilt nach 1.Satz 18 U = ã b c 4F, wobei ã, b, c die Seitenlängen von Λ sind. Wenden wir den Cosinussatz 1.Satz 4 im Dreieck MAB an, so ergibt sich c 2 = 2R 2 (1 cos c) = 4R 2 sin 2 c 2, also c = 2R sin c 2. Analog sind also ã = 2R sin a 2 und b = 2R sin b 2, U = 2R3 sin a sin b sin c F 20-6

7 Betrachte nun das Simplex T := co({m, A, B, C} und sei S := sin a sin b sin γ der Eckensinus von. Nach Lemma 7 ist dann vol(t ) = 1 6 R3 S. Andererseits können wir T als einen Kegel mit Grundfläche Λ und Höhe d auffasen, also ist vol(t ) = 1 3 F d, und es wird und somit F = 3 vol(t ) d = R3 S 2d, R sin ϱ = U = 4d sin a 2 sin b 2 sin c 2 S und wegen d = R cos ϱ ist schließlich tan ϱ = 4 sin a 2 sin b 2 sin c 2 sin a sin b sin γ. 5.4 Geographische Koordinaten N N b γ a P α c β P 2 P 1 M λ ϕ M ϕ2 Längengrad λ und Breitengrad ϕ Abstand auf Großkreis Wir betrachten wieder eine Kugel, die wir uns diesmal als die Erdkugel vorstellen. Wir wollen die Punkte auf K durch Koordinaten beschreiben. Eine Gerade durch den Mittelpunkt M der Kugel sei vorgegeben, im Fall der Erde nimmt man hierfür die 20-7

8 Rotationsachse der Erde. Die beiden Schnittpunkte der Achse mit K sind die beiden Pole, einen nennen wir Nordpol N, den anderen den Südpol N. Die Großkreise durch Nord- und Südpol, heißen dann die Längenkreise, oder Meridiane. Einer von diesen wird willkürlich als Nullmeridian ausgewählt, im Fall der Erde wurde hierfür der durch Greenwich laufende Meridian gewählt. Die erste geographische Koordinate λ eines Punktes P ist nun der Längengrad, dies ist der Winkel den der Meridian durch P mit dem Nullmeridian bildet. Dabei zählen wir die östliche Richtung als positiv, also mit steigenden Längengrad. Die Ebene senkrecht auf der Achse durch M schneidet die Kugel K in einem Großkreis der der Äquator genannt wird, die Ebene heißt entsprechend die Äquatorebene. Die zweite Koordinate eines Punktes P ist nun der Breitengrad ϕ, d.h. der Winkel den MP mit der Äquatorebene bildet. Die Punkte konstanten Breitengrades bilden einen zum Äquator parallelen Kleinkreis, einen sogenannten Breitenkreis. Für die folgenden Beispiele schauen wir uns zwei Punkte an, der Punkt und der Punkt P 1 ist Kiel mit λ 1 = 10 08, ϕ 1 = 54 20, P 2 ist Peking mit λ 2 = , ϕ 1 = Die Nachkommastellen bei solchen geographischen Koordinaten werden traditionell sexagesimal zur Basis 60 dargestellt, d.h. 28 meint 28/60 Grad, weitere Nachkommastellen werden dann mit mehreren Strichen markiert. In dezimales Gradmaß umgerechnet sind auf vier Nachkommastellen λ 1 = 10, 1333, ϕ 1 = 54, 3333, λ 2 = 116, 4666, ϕ 2 = 39, 9. Angenommen wir haben zwei Punkt P 1 mit Koordinaten λ 1, ϕ 1 und P 2 mit Koordinaten λ 2, ϕ 2. Um den Abstand dieser beiden Punkte auszurechnen, betrachte des sphärische Dreieck P 1 P 2 N mit Seiten wie im obigen Bild markiert. Gesucht ist die Seite c. Setzen wir den Meridian durch P 2 bis zum Äquator fort, so entstehen insgesamt 90 und der Teil zwischen P 2 und dem Äquator ist dabei der Breitengrad ϕ 2, also haben wir a = π 2 ϕ 2 und analog b = π 2 ϕ 1. Der Winkel γ ist der Winkel zwischen den Meridianen durch P 1 und P 2, und da der Längengrad der Winkel zum Nullmeridian ist, folgt γ = λ 2 λ 1. Damit haben wir genug Daten zusammen unser Dreieck zu berechnen. Mit dem Seitencosinussatz Satz 3 folgt cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ ( π ) ( π ) ( π ) ( π ) = cos 2 ϕ 2 cos 2 ϕ 1 + sin 2 ϕ 2 sin 2 ϕ 2 cos γ = sin ϕ 1 sin ϕ 2 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos(λ 2 λ 1 ). 20-8

9 Mit dieser Formel lassen sich Abstände von in Längengrad und Breitengrad gegebenen Punkten berechnen. In unserem obigen Beispiel Kiel Peking wird cos c 0, also c 1, Dies ist der Winkelabstand, um den metrischen Abstand zu kriegen müssen wir noch mit dem Radius unserer Kugel multiplizieren, also mit dem Erdradius R = 6371, 2km und der Abstand Kiel Peking längs des verbindenden Großkreises wird P 1 P 2 = Rc 7418, 4km. Auch die beiden Winkel α und β in unserem sphärischen Dreieck P 1 P 2 N haben eien Bedeutung. Unter dem Kurswinkel einer Kurve auf K in einem Punkt versteht man den Winkel zum durch den Punkt laufenden Meridian, dann sind α der Kurswinkel im Startpunkt der Strecke P 1 P 2 und β der Kurswinkel im Endpunkt P 2, man nennt α den Abfahrts- und β den Ankunftswinkel. Wir können diese beispielsweise mit dem sphärischen Sinussatz Satz 6 berechnen, es ist sin c sin γ 0, und somit sin a sin α = 0, = cos ϕ 2 0, und der Abfahrtswinkel wird α 53, Für den Ankunftswinkel berechnen wir analog β 37, N 0, b γ a P * α P 1 M 20-9

10 Wir wollen noch die geographischen Koordinaten des nördlichsten Punktes auf unserem Großkreis berechnen. Wir nennen diesen einmal P mit Längengrad λ und Breitengrad ϕ. Im nördlichsten Punkt ist der Großkreis parallel zum Breitenkreis durch P, also senkrecht auf dem Meridian durch P, wir haben also ein in P rechtwinkliges sphärisches Dreieck P 1 P N. Seiten und Winkel sind wie oben a = π 2 ϕ, b = π 2 ϕ 1 und γ = λ λ 1. Der Winkel α ist der schon berechnete Abflugswinkel. Der sphärische Sinussatz Satz 6 liefert also cos ϕ 1 = sin b = sin b sin π 2 = sin a sin α = cos ϕ sin α, cos ϕ = sin α cos ϕ 1 0, und der Breitengrad unseres nördlichsten Punktes wird ϕ 62, , d.h. ϕ = Zur Berechnung des Längengrades von P verwenden wir den Winkelcosinussatz Satz 5 cos α = sin π 2 sin(λ λ 1 ) sin ϕ cos π 2 cos(λ λ 1 ), also und somit sin(λ λ 1 ) = cos α 0, sin ϕ λ λ 1 42, , d.h. λ 52, =