Lösungsvorschlag zur 9.Aufgabe

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1 Lösungsvorschlag zur 9.Aufgabe Aufgabe 1 a) Erläutern Sie den Begriff rationale Zahl! Definition: Unter den rationalen Zahlen in Q versteht man die Menge Q= { m n, m Z, n N} also die Menge der Quotienten aus ganzen und natürlichen Zahlen. Rationale Zahlen sind bezüglich der Division und Subtraktion abgeschlossen. Rationale Zahlen sind abzählbar, d.h. jeder rationalen Zahl kann eine natürliche Zahl zugeordnet werden. Beispiele: 2 5 ; 3 2 ; 7; 1,57 Gegenbeispiele: 2, e, π Reelle Zahlen, die nicht zu Q gehören, heißen irrational. Rechenregeln für rationale Zahlen: Addition Gleichnamig machen Gleiche Vorzeichen? Ja: Nein: Multiplikation Beträge der Zähler und der Nenner jeweils multiplizieren Gleiche Vorzeichen? Ja: Nein: Beträge der Zähler addieren Beträge der Zähler subtrahieren + davor setzen - davor setzen Gleiches Vorzeichen davor setzen Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag davor setzen Die Rechenregeln aus Z bleiben in Q erhalten.

2 b) Schildern Sie verschiedene Vorstellungen für Bruchzahlen! Es gibt folgende Vorstellungen für Bruchzahlen: Teil (eines Ganzen) Ein Bruch kann als Teil eines Ganzen oder als Teil mehrerer Ganzer gesehen werden. Diese Bruchvorstellung lässt sich schön an einem Tortenmodell erklären. So kann man z.b. einer ganzen Torte darstellen, indem man die Torte in gleich große Teile teilt und 3 davon wegnimmt. 1 Ganze Torte einer Torte Resultat einer Division In der Algebra dienen Brüche meist zur Angabe von Quotienten natürlicher Zahlen. 3 Pizzen sollen an Personen verteilt werden. Jede Pizza wird in gleich große Stücke geteilt. Dann erhält jede Person 3 Stücke Pizza, d.h. jeder erhält der Pizza: 3:= Relativer Anteil Bei dieser Bruchvorstellung wird auf eine Größeneinheit ein Operator angewendet. (von c) Birte erbt von ihrer Tante von

3 Dabei teilt man zuerst durch und multipliziert dann das Ergebnis mal 3. Absoluter Anteil Diese Bruchvorstellung ist nur anwendbar, wenn nicht gerechnet wird. bedeutet drei von vier. Drei von vier Schülern sind gegen die Schweinegrippe geimpft. Verhältnis Durch Bruchzahlen können Wahrscheinlichkeiten, Maßstäbe oder Spielergebnisse ausgedrückt werden. Eine Fußballmannschaft hat das letzte Spiel 3 zu verloren. = 3:(3 zu ) Vergleichsoperator Diese Art der Bruchvorstellung dient zum Vergleich. Damit können auf Größen anzuwendende multiplikative Rechenanweisungen angegeben werden. Die Schachtel A enthält -mal so viele Bonbons wie die Schachtel B. A B Quasikardinalzahl Brüche können als quasikardinal aufgefasst werden, d.h. als Größe mit der Maßzahl a und der Größeneinheit. = 3 Viertel Quasiordinalzahl Diese Bruchvorstellung lässt sich nur mit Stammbrüchen verdeutlichen: z.b: jeder Vierte Jede vierte Perle einer Halskette ist schwarz.

4 2. Aufgabe Begründen Sie, warum man im Mathematikunterricht beide Darstellungen für Bruchzahlen gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche gründlich behandeln sollte. Bei den Darstellungen für Bruchzahlen gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche handelt es sich um zwei verschiedene Schreibweisen für ein mathematisches Objekt. Beide Darstellungen sind den Schülerinnen und Schülern aus dem Alltag bekannt. Es ist bedeutend die Beziehung zwischen gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen aufzuzeigen und damit ihre Wertgleichheit hervorzuheben. Für jede der Bruchdarstellungen gibt es eine Reihe an Vorteilen, weshalb sie im Unterricht behandelt werden sollte. Diese werden im Folgenden erläutert. Warum gewöhnliche Brüche? - Gewöhnliche Brüche bieten eine Grundlage für die Wahrscheinlichkeitsrechnung. - Gewöhnliche Brüche sind für das Lösen von Gleichungen erforderlich. - Gewöhnliche Brüche stellen immer einen exakten Wert dar (keine Periodizität) - Die Vorstellung eines Teils vom Ganzen oder eines Verhältnisses zu einem Ganzen ist direkt sichtbar. - Gewöhnliche Brüche ermöglichen eine Grundlage für das Rechnen mit Bruchtermen. - Das Rechnen mit gewöhnlichen Brüchen ist meist genauer, da sich keine Rundungsfehler einschleichen. - Gewöhnliche Brüche begegnen den Schülerinnen und Schülern im Alltag, z.b. eine viertel Stunde; ein halber Kuchen. - Das Verständnis für Prozentangaben ist ohne gewöhnliche Brüche schwer. Warum Dezimalbrüche? - Dezimalbrüche gelten als natürliche Erweiterung der Stellenwertschreibweise, sie ist den Schülern vertraut. - Die Rechenverfahren der Dezimalbrüche stimmen bis auf die Kommasetzung mit denen der natürlichen Zahlen überein. - Die Dezimalbruchschreibweise erleichtert den Schülerinnen und Schülern den Größenvergleich.

5 - Den Schülerinnen und Schülern begegnen Dezimalbrüche im Alltag, z.b. 3,99 ; 0,75ml; 7,8 km. 3. Aufgabe Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, in der die Multiplikation gewöhnlicher Brüche behandelt wird. Bei der beschriebenen Unterrichtseinheit handelt es sich um eine Einführungsstunde zum Thema Multiplikation von gewöhnlichen Brüchen. Dieses Thema wird in der 6. Jahrgangsstufe behandelt. Voraussetzungen - Die Schüler können Brüche mit natürlichen Zahlen multiplizieren. - Die Schüler wissen, dass Bruch mal natürliche Zahl Bruchteil von natürlicher Zahl bedeutet. - Die Schüler können Brüche erweitern und kürzen. - Die Schüler können Bruchteile zeichnerisch darstellen. Lernziele Am Ende der Unterrichtseinheit sollen die Schüler - wissen, dass Bruch mal Bruch Bruchteil von einem Bruch bedeutet und somit den direkten Bezug zur Rechnung Bruch mal natürliche Zahl erfasst haben - die Multiplikation gewöhnlicher Brüche graphisch darstellen und Aufgaben dazu lösen können - die Größenrelation zwischen Faktoren und Ergebnis kennen Didaktische Überlegungen zur Wahl des Inhalts der Unterrichtseinheit: In dieser Unterrichtseinheit wird bewusst auf die Behandlung des Algorithmus zum Multiplizieren zweier gewöhnlicher Brüche verzichtet. Damit wird die Bedeutung der Multiplikation von Brüchen in den Mittelpunkt gestellt und nicht der Rechenweg. Durch die anschauliche Erarbeitung der Bedeutung der Multiplikation von Brüchen wird die Grundlage für den weiteren Umgang mit diesem Thema gelegt. Unterrichtseinheit: Einstieg Aufgabe: Du lädst 3 Freunde zu dir zum Abendessen ein und möchtest für sie eine Schnitzelpfanne kochen. Im Internet findest du dafür folgendes Rezept: Schnitzelpfanne (für 6 Personen) 6 Schnitzel 90g gekochter Schinken 150g Crème fraîche

6 1 große Zwiebel 2 Dosen Champignons 1 Becher Sahne 2 Die Aufgabe wird den Schülern in dieser (offenen) Form vorgelegt. Die Schüler sollen das Problem erkennen, dass das Rezept für 6 Personen ausgelegt ist, sie aber nur zu viert sind und deshalb jeweils weniger von den Zutaten brauchen. Dann sollen die Schüler in Partnerarbeit herausfinden, wie viele Schnitzel und wie viel gekochter Schinken für das Rezept für Personen benötigt werden. Im Klassengespräch werden die Ergebnisse und verschiedene Rechenwege verglichen. Bei den Schnitzeln wird die richtige Menge intuitiv erfasst werden: wenn ich für 6 Leute 6 Schnitzel benötige, dann brauche ich für Leute Schnitzel. Beim gekochten Schinken wird die Mehrzahl der Schüler wohl folgenden Rechenweg wählen 90g : 6 = 60g Aus dem vorherigen Unterricht wissen die Schüler aber auch schon, dass man diese Rechnung auch mit Hilfe eines Bruches ausdrücken kann: 90g = 60g = 90g also von 90g Es gilt weiterhin: 90g = 90g also von 90g Es wird erkannt, dass von jeder Zutat der Menge benötigt wird. 6 Die Schüler können also für die folgenden Zutaten berechnen: 150g = 100g (Crème fraîche) = 6 = = 8 6 = 3 = (Zwiebel) (Dosen Champignons) Und kommen nach diesem Schema auch auf die Rechnung für die Sahne. Erarbeitung An dieser Stelle kommen die Schüler allerdings mit ihrem Wissen über Rechenregeln nicht mehr weiter. Man wird über folgenden Weg zum Ergebnis der Rechnung gelangen: bedeutet 6 von 1 2 Die Schüler sollen den Sahnebecher und dessen Inhalt vereinfacht als Rechteck darstellen und die Menge an Sahne einzeichnen, die sie für Personen benötigen. Dabei werden sie zuerst die Hälfte des Rechtecks in 6 Teile unterteilen und dann von diesen Teilen markieren. Nun muss noch der so entstandene Teil des Rechtecks als Bruchteil des ganzen Rechtecks ausgedrückt werden. Sie kommen zum Ergebnis 12 bzw. (gekürzt) 1 3.

7 Sahnebecher Didaktische Überlegungen zu Einstieg und Erarbeitung: Durch die Alltagsrelevanz der Aufgabe werden die Schüler motiviert. Der Einstig umfasst eine Wiederholung und die Problemstellung. Die ersten 5 Teilaufgaben dienen der Wiederholung von bereits bekanntem Stoff ( natürliche Zahl mal Bruch bzw. Bruch mal natürliche Zahl ). Damit wird das für das neue Thema (Multiplikation gewöhnlicher Brüche) relevante Vorwissen der Schüler aktiviert. In der Erarbeitungsphase wird in dieses Vorwissen das Neue eingebettet, so dass die Schüler den direkten Zusammenhang zwischen Bruch mal natürliche Zahl und Bruch mal Bruch erkennen. Durch bewährte Mittel (eine veranschaulichende Zeichnung) können die Schüler auch das neue Problem lösen. Sicherung Ein Schülerpaar stellt der Klasse anhand einer Folie sein Ergebnis vor, um sicher zu stellen, dass jeder Schüler die richtige Lösung vollständig im Heft hat. Außerdem sollen die Schüler in der Sicherungsphase weitere Aufgaben nach dem eben erarbeiteten Schema lösen. a) b) c) Didaktische Überlegungen: Wie schon vorher müssen die Schüler beim Lösen dieser Aufgaben Zeichnungen anfertigen, oder auf irgendeine andere Weise anschaulich darstellen (z. B. durch Falten eines Blatt Papiers). In dieser Phase soll sicher gestellt werden, dass die Schüler mit der Multiplikation von Brüchen in Zukunft immer die Bildung eines Bruchteils von einem Bruchteil verbinden. Vertiefung Die Schüler sollen folgende Aufgabe bearbeiten: Oben hast du herausgefunden, = 3 8. Kann die folgende Aussage richtig sein? < Die erwartete Aussage lautet: ja, die Aussage ist richtig. Das Ergebnis der Multiplikation ist kleiner, denn man nimmt von einem Bruch ja noch mal einen Bruchteil. Didaktische Überlegungen: In dieser Aufgabe üben die Schüler das Reflektieren über Ergebnisse. In diesem Fall soll den Schülern eine Möglichkeit zur Selbstkontrolle an die Hand gegeben werden. Ausblick In der folgenden Stunde wird die Rechenregel zur Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche entdeckt. 3