Vorlesung 5: Probleme der Erwartungsnutzentheorie

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1 Vorlesung 5: Probleme der Erwartungsnutzentheorie Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 1 / 24

2 1. Einleitung Es gibt eine riesige Literatur, die sich mit der Frage beschäftigt, in wie weit die Erwartungsnutzentheorie zutreffende Vorhersagen über Entscheidungen unter Risiko trifft. Dabei sind eine Vielzahl von Problemen identifiziert worden, die zur Entwicklung einer grossen Anzahl von alternativen Theorien geführt haben. Dieser Literatur im Rahmen der Vorlesung gerecht zu werden, ist unmöglich. Ziel dieses Kapitels ist es daher lediglich, Ihr Problembewusstsein zu wecken und sie mit einigen prominenten Kritikpunkten an der Erwartungsnutzentheorie vertraut zu machen. Dies schafft zugleich die Grundlagen für die Diskussion von alternativen Ansätzen theorien im folgenden Kapitel. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 2 / 24

3 2.1 Das Allais-Paradox Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 3 / 24

4 2.1 Das Allais-Paradox Es werden monetäre Lotterien (p 1, p 2, p 3 ) über die Ergebnisse x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 5 betrachtet. Wobei die Einheit CHF ist, so dass z.b. 5 für 5 Millionen Schweizer Franken steht. 1. Entscheidungsproblem: Welche der folgenden Lotterien ziehen Sie vor? L 1 = (0,1,0) oder L 2 = (0.01,0.89,0.10)? 2. Entscheidungsproblem: Welche der folgenden Lotterien ziehen Sie vor? L 3 = (0.89,0.11,0) oder L 4 = (0.9,0,0.1)? Als häufigste Kombination von Antworten auf diese Fragen erhielten Allais (und später dann andere Forscher): L 1 L 2 sowie L 4 L 3. Diese Antworten sind mit der Erwartungsnutzenhypothese nicht vereinbar! Wieso? Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 4 / 24

5 2.1 Das Allais-Paradox Abbildung: Die Lotterien aus dem Allais-Paradox im Machina-Dreieck. Die Verbindungslinien L 1 L 2 und L 3 L 4 sind parallel. Sind die Indifferenzkurven auch parallele Geraden so muss entweder (i) L 1 L 2 und L 3 L 4, oder (ii) L 2 L 1 und L 4 L 3 oder (iii) L 1 L 2 und L 3 L 4 gelten. Die Kombination L 1 L 2 und L 4 L 3 ist ausgeschlossen. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 5 / 24

6 2.1 Das Allais-Paradox Formales Argument über die Mischung von Lotterien: Sei p = e 2, q = (1/11,0,10/11). Dann gilt (Nachrechnen!) Gilt das Unabhängigkeitsaxiom, so folgt: L 1 = 0.89e p (1) L 2 = 0.89e q (2) L 3 = 0.89e p (3) L 4 = 0.89e q (4) p q L 1 L 2 und L 3 L 4 (5) q p L 2 L 1 und L 4 L 3 (6) p q L 1 L 2 und L 3 L 4 (7) Also steht die Kombination L 1 L 2 und L 4 L 3 im Widerspruch zum Unabhängigkeitsaxiom. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 6 / 24

7 2.1 Das Allais-Paradox Formales Argument über die Erwartungsnutzendarstellung: Angenommen die Präferenzrelation kann durch einer Bernoulli-Nutzenfunktion mit Nutzenbewertungen u 1, u 2 und u 3 dargestellt werden. Aus L 1 L 2 folgt dann: u 2 > 0.01u u u u 2 >0.01u u 3 Aus L 4 L 3 folgt dann: 0.90u u 3 > 0.89u u u 2 <0.01u u 3. Dies ist aber ein Widerspruch, so dass es keine Erwartungsnutzendarstellung der Präferenzrelation geben kann. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 7 / 24

8 2.2 Reaktionen auf das Allais-Paradox 1 Es handelt sich um hypothetische Fragen, nicht um wirkliche Entscheidungen. Also ist das Allais-Paradox ohne empirische Relevanz. Aber: Eine Vielzahl von experimentellen Untersuchungen belegt, dass das Entscheidungsmuster des Allais-Paradox auch auftritt, wenn die Auswahlentscheidungen tatsächliche finanzielle Konsequenzen haben. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 8 / 24

9 2.2 Reaktionen auf das Allais-Paradox 2 Alles was das Allais-Paradox zeigt, ist dass Leute in unvertrauten Entscheidungssituationen manchmal Fehler machen. Erfahrung und/oder Reflektion wird in entsprechenden Situationen zu Entscheidungen führen, die mit der Erwartungsnutzenhypothese vereinbar sind. Analogie hierzu: Hätten Sie lieber CHF oder CHF 87 78? Wenn Sie spontan die erste Alternative wählen, ist das keine Evidenz gegen die Hypothese, dass Sie lieber mehr als weniger Geld hätten. Sondern Evidenz dafür, dass Sie nicht gut im Kopf rechnen können. Aber: Es bleibt unklar, unter welchen Umständen die Erwartungsnutzentheorie dann anwendbar ist. Individuen halten oft an ihren Entscheidungen über Lotterien fest, auch wenn ihnen ihr Fehler erklärt wird. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 9 / 24

10 2.2 Reaktionen auf das Allais-Paradox 3 Es gibt in ökonomisch relevanten Entscheidungssituationen Abweichungen von der Erwartungsnutzentheorie, diese sind aber eher zufälliger Natur und brauchen daher nicht in das theoretische Modell integriert zu werden sollten. Aber: Die Abweichungen von der Erwartungsnutzentheorie folgen einem regelmässigen, reproduzierbaren Muster es handelt sich um systematische Fehler. Zwei Beispiele für solche systematische Abweichungen von den Vorhersagen der Erwartungsnutzentheorie sind der Common Consequence-Effekt und der Common Ratio-Effekt Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 10 / 24

11 2.3 Common Consequence-Effekt Der Common Consequence-Effekt verallgemeinert das Allais-Paradox. Wir betrachten hier nur den Spezialfall von Lotterien mit 3 möglichen Ergebnissen x 1 < x 2 < x 3, so dass eine Darstellung im Machina-Dreieck möglich ist. Betrachtet werden Lotterien L 1, L 2, L 3, L 4 der Form L 1 = αe 2 + (1 α)e 2 L 2 = αe 2 + (1 α)(p,0,1 p) L 3 = αe 1 + (1 α)e 2 L 4 = αe 1 + (1 α)(p,0,1 p) und die Frage, wie die Auswahl zwischen L 1 und L 2 bzw. zwischen L 3 und L 4 getroffen wird. Voraussagen der Erwartungsnutzentheorie sind wie im Fall des Allais-Paradoxs. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 11 / 24

12 2.3 Common Consequence-Effekt Experimentelle Beobachtung zu den Common-Consequence-Lotterien: Vorhersage der Erwartungsnutzentheorie trifft auf viele Entscheidungen nicht zu. Die Abweichung ist systematisch. Liegt ein Widerspruch zur Erwartungsnutzentheorie vor, gilt zumeist L 1 L 2 und L 4 L 3. Prinzip dahinter: Je schlechter das gemeinsame Ergebnis... hier x 2 in L 1 und L 2 bzw. x 1 in L 3 und L 4... desto eher entscheiden sich Individuen dafür, ein Risiko für den Fall einzugehen, dass das gemeinsame Ergebnis nicht eintritt. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 12 / 24

13 2.4 Common Ratio-Effekt Der Common Ratio-Effekt bezieht sich auf Lotterien L 1, L 2, L 3 und L 4 mit drei Ergebnissen x 1 < x 2 < x 3 mit x 1 = 0 und L 1 = (1 p, p,0) mit 0 < p < 1 L 2 = (1 q,0,q) mit 0 < q < 1 L 3 = αl 1 + (1 α)e 1 mit 0 < α < 1 L 4 = αl 2 + (1 α)e 1 und die Frage, wie die Auswahl zwischen L 1 und L 2 bzw. zwischen L 3 und L 4 getroffen wird. α ist hier die Common Ratio : Die Gewinnwahrscheinlichkeiten p bzw. q werden im gleichen Verhältnis reduziert. Auch hier war Allais der erste, der ein Beispiel untersucht hat. Unabhängigkeitsaxiom impliziert, dass L 3 und L 4 genauso zu ordnen sind wie L 1 und L 2. Experimentell wird (für geeignete Parameterwerte) auch oft die Kombination L 1 L 2 und L 4 L 3 beobachtet der umgekehrte Fall tritt nur selten auf. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 13 / 24

14 2.4 Common Ratio-Effekt Beispiel zum Common Ratio-Effekt: Ergebnisse sind {0, 3000, 5000}. p = 0.8, q = 0.5 und α = 0.5. Dies bedeutet: Entscheidung zwischen L 1 und L 2 ist die Entscheidung, ob man lieber CHF mit Wahrscheinlichkeit 0.8 oder lieber CHF mit Wahrscheinlichkeit 0.5 gewinnen will. Entscheidung zwischen L 1 und L 2 ist die Entscheidung, ob man lieber CHF mit Wahrscheinlichkeit 0.4 oder lieber CHF mit Wahrscheinlichkeit 0.25 gewinnen will. Vergleich der Erwartungswerte spricht für L 2 und L 4, aber L 2 und L 4 sind zugleich riskanter. Experimente suggerieren, dass bei hohen Gewinnwahrscheinlichkeiten eher die sichere Lotterie vorgezogen wird. Bei niedrigen Gewinnwahrscheinlichkeiten wird hingegen eher die riskante Lotterie vorgezogen. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 14 / 24

15 2.4 Common Ratio-Effekt Abbildung: Beispiel zum Common Ratio-Effekt im Machina-Dreieck. Die Verbindungslinien L 1 L 2 und L 3 L 4 sind parallel. Die Entscheidungen L 1 L 2 und L 4 L 3, hier durch grüne Indifferenzkurven angedeutet, stehen im Widerspruch zum Unabhängigkeitsaxiom. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 15 / 24

16 3. Gewinne, Verluste und Risikoaversion 3.1 Einordnung Um das Modell der Erwartungsnutzentheorie auf ökonomische Entscheidungen anzuwenden, müssen die relevanten Ergebnisse beschrieben werden. In Beispielen und Experimenten sind Lotterien zumeist durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über mögliche Gewinne und Verluste beschrieben. In ökonomischen Anwendungen der Erwartungsnutzentheorie wird zumeist davon ausgegangen, dass die Ergebnisse einer Lotterie zu möglichen Gesamtvermögenssituationen eines Individuums korrespondieren, so dass zu möglichen Gewinnen und Verlusten jeweils das Ausgangsvermögen zu addieren ist, um die relevanten Ergebnisse der Lotterie zu erhalten. Es stellt sich die Frage, welcher dieser beiden Ansätze zur Definition der relevanten Ergebnisse besser zur Beschreibung von tatsächlichem Entscheidungsverhalten geeignet ist. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 16 / 24

17 3. Gewinne, Verluste und Risikoaversion 3.2. Ein Beispiel Es werden zwei Entscheidungssituationen betrachtet: 1 Ihr Ausgangsvermögen ist CHF Sie können wählen ob Sie CHF mit Sicherheit gewinnen oder mit Wahrscheinlichkeit 1/2 CHF 0 und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 CHF gewinnen. 2 Ihr Ausgangsvermögen ist CHF Sie können wählen, ob Sie CHF mit Sicherheit verlieren oder mit Wahrscheinlichkeit 1/2 CHF 0 und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 CHF verlieren. Wie würden Sie sich in diesen beiden Situationen entscheiden? Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 17 / 24

18 3. Gewinne, Verluste und Risikoaversion 3.2. Ein Beispiel In Bezug auf das Gesamtvermögen sind diese beiden Entscheidungsprobleme identisch. Die Ergebnisse sind x 1 = , x 2 = und x 3 = Zur Wahl stehen jeweils die Lotterien L 1 = (0,1,0) und L 2 = (0.5,0,0.5) Ein streng risikoaverser Erwartungsnutzenmaximierer sollte in beiden Fällen L 1 wählen. In Bezug auf Gewinne und Verluste handelt es sich um unterschiedliche Entscheidungsprobleme. 1 Die Ergebnisse sind x 1 = 0, x 2 = 1 000, x 3 = Die Ergebnisse sind x 1 = 2 000, x 2 = und x 3 = 0. Beachte: In diesem Beispiel ändert das aber nichts daran, dass ein streng risikoaverser Erwartungsnutzenmaximierer in beiden Situationen die sichere Alternative wählen sollte. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 18 / 24

19 3. Gewinne, Verluste und Risikoaversion 3.3 Experimentelle Evidenz zu Gewinnen und Verlusten Entscheidungen über unsichere monetäre Alternativen hängen nicht (nur) von der resultierenden Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Gesamtvermögen ab. Geht man davon aus, dass Entscheidungen durch eine Präferenzrelation über unsichere Gewinne und Verluste beschrieben ist, so scheint diese für viele Menschen die folgenden Eigenschaften zu besitzen: Werden Lotterien betrachtet, in denen nur Gewinne auftreten, so liegt strenge Risikoaversion vor. Werden Lotterien betrachtet, in denen nur Verluste auftreten, so liegt Risikofreude vor. Werden Lotterien betrachtet, in denen sowohl Gewinne als auch Verluste auftreten, so liegt Verlustaversion vor. Insbesondere werden Lotterien der Form ( ε, 1/2; ε, 1/2) abgelehnt. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 19 / 24

20 3. Gewinne, Verluste und Risikoaversion 3.3 Experimentelle Evidenz zu Gewinnen und Verlusten Beachte: Die Betrachtung einer Präferenzrelation die auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Gewinne und Verluste definiert ist, wirft die Frage auf, was eigentlich die korrekte Definition des Ausgangsvermögens ist. Die Antwort ist keineswegs offenkundig. Beispiel: Sie haben zu Beginn des Jahres CHF in Wertpapiere investiert. Der aktuelle Kurswert ist CHF Sie erhalten nun die Möglichkeit eine Wette einzugehen, bei der sie mit Wahrscheinlichkeit 1/2 CHF verlieren und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 CHF gewinnen. Ist dieses durch die Lotterie ( 1000, 1/2; 1000, 1/2) oder durch die Lotterie ( 2000, 1/2; 0, 1/2) darzustellen? Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 20 / 24

21 3. Gewinne, Verluste und Risikoaversion 3.4 Das Rabin-Paradox Annahme: Entscheidungen unter Unsicherheit sind durch eine streng konkave Bernoulli-Nutzenfunktion u beschrieben, die auf dem Gesamtvermögen definiert ist. Beobachtung: Viele Individuen kaufen Versicherungen gegen relativ kleine Risiken, die ihr erwartetes Vermögen reduzieren. Reiserücktrittsversicherungen. Wartungsverträge.... Diese Beobachtungen erlauben es das Mass der absoluten Risikoaversion der Bernoulli-Nutzenfunktion einzugrenzen. Benutzt man entsprechende Bernoulli-Nutzenfunktionen, um grosse Risiken zu evaluieren, erhält man absurde Ergebnisse siehe die Beispiele in Rabin und Thaler Schlussfolgerung: Erwartungsnutzenhypothese in Bezug auf Gesamtvermögen ist nicht (einmal im Ansatz) mit den Beobachtungen vereinbar. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 21 / 24

22 3. Gewinne, Verluste und Risikoaversion 3.4 Das Rabin-Paradox CARA-Beispiel: Nimm an, dass ein Individuum mit CARA-Bernoulli-Nutzenfunktion nicht bereit ist, eine Lotterie anzunehmen, bei der es mit Wahrscheinlichkeit 1/2 CHF 10 verliert und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 CHF 11 gewinnt. Dies bedeutetet, dass das Sicherheitsäquivalent dieser Lotterie negativ ist. In diesem Beispiel impliziert dieses, dass das konstante Mass r der absoluten Risikoaversion des Individuums grösser als 0.09 sein muss. Anmerkung: Ein Computer kann das exakt berechnen; die Approximationsformel π = 1 2 rσ 2 liefert hier auch ein recht genaues Ergebnis. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 22 / 24

23 3. Gewinne, Verluste und Risikoaversion 3.4 Das Rabin-Paradox Abbildung: Sicherheitsäquivalent c der Lotterie ( 10, 1/2; 11, 1/2) als Funktion des konstanten Masses r der Bernoulli-Nutzenfunktion u(w) = e rw. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 23 / 24

24 3. Gewinne, Verluste und Risikoaversion 3.4 Das Rabin-Paradox Was impliziert ein solches Mass der absoluten Risikoaversion für das Sicherheitsäquivalent einer Lotterie der Form ( 100, 1/2, x, 1/2)? Abbildung: Das Sicherheitsäquivalent c der Lotterie ( 100, 1/2; x, 1/2) als Funktion von x für die Bernoulli-Nutzenfunktion u(w) = e 0.01 w ist für alle x negativ, d.h. das Individuum wird jede Lotterie, in der es mit Wahrscheinlichkeit 1/2 den Betrag von CHF 100 verlieren kann, ablehnen. Entscheidung VL 5 (FS 11) Probleme der Erwartungsnutzentheorie 24 / 24