Einführung in die Informatik I

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1 Einführung in die Informatik I Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr. Nikolaus Wulff

2 Berechenbarkeit Im Rahmen der Turingmaschine fiel zum ersten Mal der Begriff Berechenbarkeit. Ein Funktion f heißt Turing-berechenbar, falls eine TM existiert, die f(x) in endlich vielen Schritten für alle x Werte des Definitionsbereichs berechnet. Die Menge der primitiven Rekursionen ist äquivalent zur Menge der LOOP-Programme und daher mit endlichem Aufwand berechenbar. Es stellt sich die Frage, ob alle Funktionen in diesem Sinne berechenbar sind? Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 2

3 Die Sprache WHILE Die Sprache WHILE erweitert die Sprache LOOP um ein weiteres Schleifenkonstrukt: while x j 0 do A end Die Anzahl der while-schleifendurchläufen wird nicht (immer) vor dem Beginn der Schleife festgelegt, die Variable x j kann während der Ausführung von A geeignet verändert werden. Jedes LOOP Programm ist ein WHILE Programm. Es gibt WHILE Programme, die nicht LOOP berechenbar sind, d.h. LOOP Programme sind eine echte Untermenge der WHILE Programme. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 3

4 Die Ackermannfunktion Die Ackermannfunktion ack: N 0 N 0 N 0 y 1 ack x, ack x 1,1 y ={ ack x 1, ack x, y 1 x=0, x 1 y=0, x, y 1 ist eine rekursiv definierte Funktion mit ungeheuer starkem Wachstum. In der Theoretischen Informatik wird gezeigt, dass diese Funktion stärker wächst als alle denkbaren primitiv-rekursiven Funktionen. Sie ist der Prototyp einer WHILE-berechenbaren Funktion, die nicht LOOP-berechenbar ist. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 4

5 Ein WHILE Programm Das folgende WHILE Programm berechnet y= x. read(x 1 ); x 0 = 0; x 2 = x 1 x 0 x 0 ; while x 2 0 do x 0 = x 0 + 1; x 2 = x 1 x 0 x 0 end; write(x 0 ) Die Funktion :N 0 N 0 ist eine partielle Funktion, das Programm terminiert nur für natürliche Zahlen x, die sich als Quadratzahl x=y 2 darstellen lassen. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 5

6 Die O-Notation Beim Codieren von Algorithmen gibt es optimale und nicht optimale Varianten. Wie kann dies genauer präzisiert und definiert werden? In der Informatik sind insbesondere das Laufzeitverhalten und der Speicherplatzbedarf von Interesse. Zum Klassifizieren dieser Aufwände eignet sich der O-Kalkül. Hierzu wird das asymptotische Verhalten einer Funktion f: N 0 R + für große Werte des Arguments untersucht. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 6

7 Ordnung einer Funktion Es seinen f,g: N 0 R + zwei Funktionen. f ist von der Ordnung g, falls es eine Konstante c>0 und eine natürliche Zahl n 0 gibt mit: f(n) c g(n) für alle n n 0 Mit O(g) wird die Menge der Funktionen f bezeichnet, die von der Ordnung g sind: O(g) = { f: N 0 R + es gibt c>0 und n 0 N 0 mit f(n) c g(n) für alle n n 0 } Falls f O(g) ist, sind alle Funktionswerte von f ab einer festen Stelle n 0 kleiner als die von g (abgesehen von der Konstanten c) Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 7

8 Beispiel O(n 2 ) Gegeben sei die Funktion f(n)=3n 2 + 7n + 9. Es gilt f O(n 2 ). Beweis: f(n) = 3n 2 + 7n + 9 3n 2 + 7n 2 + 9n 2 für alle n>0 9n 2 + 9n 2 + 9n 2 für alle n>0 27n 2 für alle n>0 Allgemein gilt für jedes Polynom p k (n) vom Grade k p k O(n k ). Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 8

9 Rechengesetze der O-Notation Es seinen f, g,h: N 0 R + Funktionen, dann gilt: 1. f O(f) 2. a f O(f) für a R + 3. (f+g) O(g) falls f O(g) 4. (f+g) O( max{ f, g } ) 5. (f g) O(f h) falls g O(h) Das O-Kalkül beschreibt das generische Verhalten der Funktionen und vereinfacht das Rechnen mit und den Vergleich von unterschiedlichen Funktionen. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 9

10 Zeitkomplexität Bei der Bestimmung der Zeitkomplexität reicht es nicht aus, einfach die Zeit zur Berechnung einer bestimmten Eingangsbelegung experimentell zu messen. Die Antwortzeiten sind dann abhängig von der CPU Taktfrequenz, der Rechnerauslastung etc. Gesucht ist ein universelles unabhängiges Maß. Die Zeitkomplexität eines Algorithmus hängt von den entscheidenden Einflussgrößen wie z.b. der Anzahl an Additionen / Subtraktionen, Multiplikationen / Divisionen, Vergleichen und Vertauschungen etc. ab. Einige Beispiele mögen die Idee verdeutlichen... Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 10

11 Matrizenmultiplikation Die Zeitkomplexität der Matrizenmultiplikation hängt von der Anzahl an Multiplikationen und Additionen ab, die notwendig sind um zwei N N Matrizen zu multiplizieren. Entscheidend ist also die Dimension N und nicht die Wertebelegung der Matrizen. for(i=0;i<n; i++) for(j=0; j<n; j++) { C[i][j] = 0; for(k=0; k<n; k++) C[i][j] += A[i][k]*B[k][j]; } Z(N) = A(N) + M(N) = a N 3 + b N 3 = O(N 3 ) Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 11

12 Bubblesort Die Zeitkomplexität von Bubblesort hängt ab, von der Anzahl an Vergleich- und Vertauschoperationen: void bubble_sort(int n, double *x) { int i, j; for(j=0; j<n-1; j++) for(i=0; i<n-1; i++) if (x[i+1] < x[i]) swap(i,i+1,x); } Z(N) = C(N) + S(N) = c N 2 + s N 2 = O(N 2 ) Die exakte Anzahl der Vertauschungen ist abhängig von der jeweiligen Belegung des Felds... Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 12

13 Quicksort Die Analyse von Quicksort ist etwas aufwändiger: void qsort(int v[], int left, int right) { if (left>=right) return;/* Terminator */ int p = qindex(v, left, right); qsort(v, left, p-1); qsort(v, p+1, right); } Z(N) = Q(N) + 2 Z(N/2) = Q(N) +2 [Q(N/2) + 2 Z(N/4)] = Q(N) +2 Q(N/2) +4 [Q(N/4) +2 Z(N/8)] = j 2 j Q(N/2 j ) Das Zeitverhalten wird also im Wesentlichen durch die qindex Methode bestimmt... Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 13

14 Quicksort cont. int qindex(int v[], int left, int right) { int i, p, mid = (left+right)/2; qswap(v, left, mid); /* store pivot element */ p = left; for(i=left+1; i<=right; i++) { if (v[i] < v[left]) { /* compare to pivot */ qswap(v, ++p, i); } } qswap(v, left, p); /* restore pivot element */ return p; /* v[left,...,p]<= v[p] */ } Q(N) = C(N) + S(N) = c N + s N = O(N) Ähnlich zu Bubbelsort hat qindex, nur Vergleichsund Vertauschoperationen, aber in linearer Zeit! Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 14

15 Zeitverhalten von Quicksort Das Zusammenfassen der beiden Ergebnisse liefert: Z N = j 2 j O N /2 j Da qindex linear von der Größe abhängt, heben sich die Verdopplung der Aufrufe und die Halbierung des Intervalls gerade auf: 2 j O N /2 j =O N Für N=2 k können maximal k=log 2 N Halbierungen erfolgen: k 1 Z N = j=0 O N = k O N = O N log 2 N log 2 N Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 15

16 Towers of Hanoi Beim Türme von Hanoi Problem wird die Zeitkomplexität durch die move Befehle charakterisiert: void hanoi(int n,stack A,Stack B,Stack C) { if(n>0) { hanoi(n-1, A, C, B); push(c, pop(a)); /* move(a,c) */ hanoi(n-1, B, A, C); } } Die Anzahl an Zügen und somit die Zeitkomplexität lässt sich rekursiv berechnen: Z(1) = M(1) = 1 Z(N) = M(N) = M(N-1)+1 + M(N-1) = 2 Z(N-1)+1 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 16

17 Towers of Hanoi cont. Es gilt: Z(N) = 2 N 1 = O(2 N ) Beweis: Z(1) = = 1 Schritt: N N+1: Z(N+1) = 2 Z(N) + 1 = 2 (2 N 1) + 1=2 N+1 1 Das Türme von Hanoi Problem wächst exponentiell mit der Anzahl an Steinen, d.h. hat eine Zeitkomplexität O(2 N ). Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 17

18 Häufige Zeitabhängigkeiten Die Analyse von Algorithmen führt meist auf eine der folgenden Funktionen, deren Zeitverhalten exemplarisch für einige Werte von n aufgeführt ist. n log e n n n log e n n n e n Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 18

19 Die Klassen P und NP Die Probleme, die sich mit einem deterministischen Algorithmus in polynomieller Laufzeit lösen lassen werden in der Informatik der Klasse P zugeordnet. Um kurze Antwortzeiten zu erhalten, ist es meistens erwünscht eine polynomielle Laufzeit O(n k ) mit einem Grad k 3 zu erreichen. Probleme die sich nicht in polynomieller Laufzeit lösen lassen, z.b. O(exp(N)) werden der Klasse NP zugeordnet, es gilt: P NP Ein bis heute ungelöstes Problem der Informatik ist gilt: P = NP oder P NP? Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 19

20 Zusammenfassung Die Analyse eines Algorithmus mit Hilfe der O- Notation gibt wichtige Aussagen über die Laufzeit. Bei einer Abhängigkeit O(f(n))>O(n 3 ) ist die Suche nach einem besseren Algorithmus angeraten. Für viele Probleme gibt es keinen solchen optimalen Algorithmus und es werden dann nicht deterministische Algorithmen oder auch Approximationen verwendet, die dann jedoch in polynomieller Laufzeit eine Nährungslösung liefern. Prof. Dr. Nikolaus Wulff Informatik I 20

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