Kapitel 10. Rekursion

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1 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 1 Kapitel 10 Rekursio Rekursio

2 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Ziele Das Prizip der rekursive Berechugsvorschrift verstehe. Rekursive Methode i Java implemetiere köe. Verschiedee Forme der Rekursio kee lere. Quicksort als rekursive Methode zur Sortierug eies Arrays formuliere köe ud verstehe. Rekursio

3 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Rekursive Algorithme ud Methode Ei Algorithmus ist rekursiv, we i seier (edliche) Beschreibug derselbe Algorithmus wieder aufgerufe wird. Der Algorithmus ist da selbstbezüglich defiiert. Rekursive Algorithme köe i Java durch rekursive Methode implemetiert werde. Eie Methode ist rekursiv, we i ihrem Rumpf (Aweisugsteil) die Methode selbst wieder aufgerufe wird. Rekursio

4 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 4 Die Fakultätsfuktio Rekursive Defiitio der Fakultät: 0! = 1! = * (-1)! für alle atürliche Zahle 1 Rekursive Methode: public static it fact(it ) { if ( == 0) retur 1; else retur * fact(-1); } rekursiver Aufruf! Rekursio

5 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Auswertug rekursiver Methodeaufrufe 5 Bei der Auswertug wird ei Stack für die Zwischeergebisse der geschachtelte Methodeaufrufe aufgebaut, der am Ede gemäß des Rekursiosschemas rückwärts abgearbeitet wird. Beispiel: it k = fact(); fact() fact() k if (==0) retur 1; else retur *fact(-1); fact() k *fact() s 0 s 1 Rekursio

6 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Aufbau des Stacks zur Berechug vo fact() 6 fact(1) fact() if (==0) retur 1; else retur *fact(-1); fact() 1 *fact(1) fact() *fact() fact() *fact() k k s 1 s Rekursio

7 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Aufbau des Stacks zur Berechug vo fact(1) 7 fact(0) fact(1) fact() fact() k 1 *fact(1) *fact() if (==0) retur 1; else retur *fact(-1); fact(1) fact() fact() k 0 1*fact(0) 1 *fact(1) *fact() s s Rekursio

8 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Berechug vo fact(0) 8 fact(0) 0 if (==0) retur 1; else retur *fact(-1); fact(0) 1 0 fact(1) 1*fact(0) fact(1) 1*fact(0) 1 1 fact() *fact(1) fact() *fact(1) fact() *fact() fact() *fact() k k s s 4 Rekursio

9 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Berechug vo fact(1) ud Abbau des Stacks 9 fact(0) 1 0 fact(1) 1*fact(0) fact(1)=1*fact(0); fact(1) fact() *fact(1) fact() *fact(1) fact() *fact() fact() *fact() k k s 4 s 5 Rekursio

10 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Berechug vo fact() ud Abbau des Stacks 10 fact(1) 1 fact() fact() k 1 *fact(1) *fact() fact()=*fact(1); fact() fact() k *fact() s 5 s 6 Rekursio

11 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Berechug vo fact(), Abbau des Stacks ud Zuweisug des Ergebisses 11 fact() fact() *fact() fact()=*fact(); fact() 6 k k s 6 s 7 fact() 6 k k = fact(); k 6 s 7 s 8 Rekursio

12 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Termiierug 1 Der Aufruf eier rekursive Methode termiiert, we ach edlich viele rekursive Aufrufe ei Abbruchfall erreicht wird. Beispiel: Für alle atürliche Zahle 0 termiiert der Methodeaufruf fact(). Für alle egative gaze Zahle < 0 termiiert der Methodeaufruf fact()icht. Rekursio

13 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 1 Rekursio ud Iteratio (1) Zu jedem rekursive Algorithmus gibt es eie sematisch äquivalete iterative Algorithmus, d.h. eie Algorithmus mit Wiederholugsaweisuge, der dasselbe Problem löst. Beispiel: static it factiterativ(it ) { } it result = 1; while (!= 0) { result = result * ; --; } retur result; Rekursio

14 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Rekursio ud Iteratio () 14 Rekursive Algorithme sid häufig elegater ud übersichtlicher als iterative Lösuge. Gute Compiler köe aus rekursive Programme auch effiziete Code erzeuge; trotzdem sid iterative Programme meist scheller als rekursive. Für mache Problemstelluge ka es wesetlich eifacher sei eie rekursive Algorithmus azugebe als eie iterative. (z.b. Türme vo Haoi ; vgl. Übuge) Rekursio

15 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 15 Fiboacci-Zahle: rekursive Defiitio ud Methode Rekursive Defiitio der Fiboacci-Zahle: fib(0) = 1, fib(1) = 1, fib() = fib(-) + fib(-1) für alle atürliche Zahle Rekursive Methode: static it fib(it ) { if ( <= 1) retur 1; else retur fib(-) + fib(-1); } Rekursio

16 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Kaskade rekursiver Aufrufe 16 fib(5) fib() fib(4) fib(1) fib() fib() fib() fib(0) fib(1) fib(0) fib(1) fib(1) fib() fib(0) fib(1) Die Zeit- ud die Speicherplatzkomplexitäte der rekursive Fiboacci-Fuktio sid i jedem Fall expoetiell, i O( ). Rekursio

17 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 17 Fiboacci-Zahle: iterative Methode static it fibiterativ(it ) { } it f0 = 1; it f1 = 1; it f = 1; for (it i = ; i <= ; i++) { } f = f0 + f1; f0 = f1; f1 = f; retur f; Die Zeitkomplexität der iterative Methode ist liear, d.h. i O(). Die Speicherplatzkomplexität der iterative Methode ist kostat, d.h. i O(1). Rekursio

18 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Forme der Rekursio 18 Lieare Rekursio: I jedem Zweig (der Falluterscheidug) kommt höchstes ei rekursiver Aufruf vor, z.b. Fakultätsfuktio fact. Kaskadeartige Rekursio: Mehrere rekursive Aufrufe stehe ebeeiader ud sid durch Operatioe verküpft, z.b. Fiboacci-Zahle fib. Verschachtelte Rekursio: Rekursive Aufrufe komme i Parameter vo rekursive Aufrufe vor, z.b. Ackerma-Fuktio. Rekursio

19 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Die Ackerma-Fuktio 19 static it ack(it, it m) { if ( == 0) retur m + 1; else if (m == 0) retur ack( - 1, 1); else retur ack( - 1, ack(, m - 1)); } Die Ackerma-Fuktio ist eie Fuktio mit expoetieller Zeitkomplexität, die extrem schell wächst. Sie ist das klassische Beispiel für eie berechebare, termiierede Fuktio, die icht primitiv-rekursiv ist (erfude 196 vo Ackerma). Beispiele: ack(4,0) = 1 ack(4,1) = 655 ack(4,) = (eie Zahl mit 1979 Dezimalstelle). ack(4,4) > Azahl der Atome im Uiversum Rekursio

20 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Quicksort 0 Eier der schellste Sortieralgorithme (vo C.A.R. Hoare, 1960). Idee: Falls das zu sortierede Array midestes zwei Elemete hat: 1. Wähle irgedei Elemet aus dem Array als Pivot ( Dreh- ud Agelpukt ), z.b. das erste Elemet.. Partitioiere das Array i eie like ud eie rechte Teil, so dass alle Elemete im like Teil kleier-gleich dem Pivot sid ud alle Elemete im rechte Teil größer-gleich dem Pivot sid.. Wede das Verfahre rekursiv auf die beide Teilarrays a. Der Quicksort-Algorithmus folgt eiem ähliche Lösugsasatz wie die biäre Suche. Diese Lösugsasatz et ma Divide-ad-Coquer ( Teile ud herrsche ). Rekursio

21 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Quicksort: Beispiel 1 Pivot = Partitioierug Sortierug (rekursiv) Sortierug (rekursiv) Rekursio

22 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Rekursio Quicksort i Java static void quicksort(double[] a) { qsort(a, 0, a.legth - 1); } // Sortiert de Teilbereich a[from]...a[to] vo a. static void qsort(double[] a, it from, it to) { if (from < to) { \\mehr als ei Elemet zu sortiere double pivot = a[from]; //waehle erstes Elemet als Pivot //Partitioierug ud Rückgabe des Grezidex it gidx = partitio(a, from, to, pivot); //rekursiver Aufruf für de like Teilarray qsort(a, from, gidx); //rekursiver Aufruf für de rechte Teilarray qsort(a, gidx + 1, to); } }

23 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Partitioierug: Vorgehesweise Laufe vo der utere ud der obere Arraygreze mit Idizes i ud j ach ie ud vertausche icht passede Elemete a[i] ud a[j] bis sich die Idizes treffe oder überkreuzt habe. Der zuletzt erreichte Idex j wird als Grezidex der Partitioierug zurückgegebe. Vo ute kommed sid Elemete icht passed, we sie größer-gleich dem Pivot sid. Vo obe kommed sid Elemete icht passed, we sie kleier-gleich dem Pivot sid. Bemerkug: Gegebeefalls werde auch gleiche Elemete vertauscht. Dies ist aus techische Grüde ötig, damit der Idex j so stoppt, dass der letzte Wert vo j immer der richtige Grezidex ist. Rekursio

24 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Partitioierug: Beispiel 4 Pivot = 65 a[i] a[j] 65 i j a[i] a[j] 65 i i j j i j Rekursio Grezidex j i

25 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 5 Partitioierug i Java static it partitio(double[] a, it from, it to, double pivot) { it i = from - 1; it j = to + 1; while (i < j) { i++; //aechste Startpositio vo liks //vo liks ach ie laufe solage Elemete kleier als Pivot while (a[i] < pivot) i++; j--; //aechste Startpositio vo rechts //vo rechts ach ie laufe solage Elemete größer als Pivot while (pivot < a[j]) j--; if (i < j) { //vertausche a[i] ud a[j] double temp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = temp; } } //Ede while retur j; //Rückgabe des Grezidex } Rekursio

26 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Partitioierugshierarchie des Quicksort Partitioierug Partitioierug Partitioierug Partitioierug Partitioierug Rekursio

27 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 Zeitkomplexität vo Quicksort (1) Beispiel: Das Array vo obe hat die Läge 6. Die Hierarchie der Partitioieruge stellt eie Baum dar mit Etage, wobei = log (6) + 1. Alle Partitioieruge eier Etage beötige zusamme maximal c * 6 Schritte (mit eier Kostate c). Folglich ist die Zeitkomplexität i diesem Fall durch 6 * log (6) beschräkt. Allgemei: Rekursio We ei Array der Läge immer wieder i zwei etwa gleich große Teile aufgeteilt wird (hägt vom gewählte Pivot ab), da ist die Azahl der Partitioierugs-Etage durch log () beschräkt. Die Azahl der Schritte pro Etage ist durch beschräkt ud damit die gesamte Zeitkomplexität i diesem Fall durch * log (). Ma ka zeige, dass die Zeitkomplexität des Quicksort im durchschittliche Fall vo der Ordug * log () ist. 7

28 Eiführug i die Iformatik: Programmierug ud Software-Etwicklug, WS 1/14 8 Zeitkomplexität des Quicksort () Im schlechteste Fall ist die Zeitkomplexität des Quicksort quadratisch, d.h. vo der Ordug. Dieser Fall tritt z.b. ei, we das Array scho sortiert ist Partitioierug Partitioierug Partitioierug Partitioierug Partitioierug Rekursio