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1 2. Klausur 12/I B Thema: Lagebeziehung Gerade, Ebene 1. Gegeben seien zwei Geraden. Wie gehen Sie vor, um über deren Lagebeziehung eine Aussage zu treffen. 5 6 s , g BC : x = 3 u Gegeben seien die Geraden: g AB : x = 3 2 g AC : x = 1 1,5 7 t 1 2 4, 4 a) Zeigen Sie, dass die Geraden in einer Ebene liegen. 2 BE b) Ermitteln Sie rechnerisch 1 die Schnittpunkte jeweils zweier Geraden. c) Durch die Schnittpunkte entsteht ein Dreieck. Überprüfen Sie rechnerisch, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist. 3. Eine gerade 2 Pyramide P ABCDS, deren Grundfläche ein Rechteck R ABCD in der x-y-ebene ist, dessen Kanten parallell zu den Achsen verlaufen (Fehler: Referenz nicht gefunden), ist gegeben durch A(0 0 0) und C(4 3 0). Die Höhe der Pyramide beträgt 8LE. Durch die Ebene ℇ: x + y + 2z = 8 wird die Spitze der Pyramide abgeschnitten. a) Geben Sie die Durchstoßpunkte von ℇ mit den Koordinatenachsen an. Bestimmen Sie eine Gleichung von ℇ in Parameterform. Abbildung 1: nicht maßstäblich 1 Bewertung: Ansatz für einen Schnittpunkt und 3 Schnittpunkte. 2 Gerade heißt eine Pyramide immer dann, wenn ihre Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt. F. Müller 1/6

2 b) Berechnen Sie die Kantenlänge AS. 2 BE c) Berechnen Sie den Winkel MAS. 2 BE d) Geben Sie die restlichen Punkte B, D, M (als Mittelpunkt der Grundfläche) und S an. e) Ermitteln Sie rechnerisch 3 die Schnittpunkte E, F, G, H der Ebene mit den Kanten der Pyramide. f) Zeichnen Sie den verbleibenden Pyramidenstumpf in ein Koordinatensystem ein (1cm = 1LE). Zeichnen Sie die Spurgeraden der Ebene E ein. 2 BE 4. Das Geradenbüschel g a und die Ebene E sind gegeben: (a, r, s, t R) 15 g a : x = r a E : x = 0 s 3 t 5 a) Berechnen Sie die Schnittpunkte S a von Gerade und Ebene in Abhängigkeit von a. b) Gibt es eine Gerade g a, die die Ebene nicht schneidet? Falls ja, für welche ist das? Begründen Sie Ihre Meinung ausführlich. c) Welche Punktmenge entsteht beim Schnitt des Geradenbüschels mit der Ebene? 1 BE 3 r 34 (r R) und der Punkt P mit Die Gerade g : x = 6 38 OP 15 = 0 seien gegeben. Ein beliebiger Punkt R(r) auf der Gerade wird 20 erreicht, indem ein Wert für r (z. B. r=1) eingesetzt wird. a) Geben Sie den Punkt R(1) an. 1 BE b) Berechnen Sie den Abstand von P zu R(1). 3 BE c) Berechnen Sie den Abstand von P zu einem beliebigen Punkt R(r). 3 BE d) Für welchen Wert r e wird der Abstand minimal? (Aufzufassen als Extremwertaufgabe). Welche Koordinaten hat R(r e )? Wie groß ist der 3 Bewertet wird: Ansatz für einen Punkt und 4 Punkte. F. Müller 2/6

3 Abstand? F. Müller 3/6

4 2. Klausur 12/I A Thema: Lagebeziehung Gerade, Ebene 6. Gegeben seien zwei Geraden. Wie gehen Sie vor, um über deren Lagebeziehung eine Aussage zu treffen. 7. Gegeben seien die Geraden: g AB : x = 5 4,5 g AC : x = t 1 2 0, g BC : x = 13 5,5 4 s 6 3 4, 4 10 u 5 0 a) Zeigen Sie, dass die Geraden in einer Ebene liegen. 2 BE b) Ermitteln Sie rechnerisch 4 die Schnittpunkte jeweils zweier Geraden. c) Durch die Schnittpunkte entsteht ein Dreieck. Überprüfen Sie rechnerisch, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist. 8. Eine gerade 5 Pyramide P ABCDS, deren Grundfläche ein Rechteck R ABCD in der x-y-ebene ist, dessen Kanten parallell zu den Achsen verlaufen (Fehler: Referenz nicht gefunden), ist gegeben durch A(0 0 0) und C(4 3 0). Die Höhe der Pyramide beträgt 8LE. Durch die Ebene ℇ: x + y + z = 8 wird die Spitze der Pyramide abgeschnitten. a) Geben Sie die Durchstoßpunkte von ℇ mit den Koordinatenachsen an. Bestimmen Sie eine Gleichung von ℇ in Parameterform. Abbildung 2: nicht maßstäblich 4 Bewertung: Ansatz für einen Schnittpunkt und 3 Schnittpunkte. 5 Gerade heißt eine Pyramide immer dann, wenn ihre Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt. F. Müller 4/6

5 b) Berechnen Sie die Kantenlänge AS. 2 BE c) Berechnen Sie den Winkel MAS. 2 BE d) Geben Sie die restlichen Punkte B, D, M (als Mittelpunkt der Grundfläche) und S an. e) Ermitteln Sie rechnerisch 6 die Schnittpunkte E, F, G, H der Ebene mit den Kanten der Pyramide. f) Zeichnen Sie den verbleibenden Pyramidenstumpf in ein Koordinatensystem ein (1cm = 1LE). Zeichnen Sie die Spurgeraden der Ebene E ein. 2 BE 9. Das Geradenbüschel g a und die Ebene E sind gegeben: (a, r, s, t R) 19 g a : x = r a E : x = 1 s 3 t 5 5 a) Berechnen Sie die Schnittpunkte S a von Gerade und Ebene in Abhängigkeit von a. b) Gibt es eine Gerade g a, die die Ebene nicht schneidet? Falls ja, für welche ist das? Begründen Sie Ihre Meinung ausführlich. c) Welche Punktmenge entsteht beim Schnitt des Geradenbüschels mit der Ebene? 1 BE 3 r 34 (r R) und der Punkt P mit 9 5 OP 19 = 1 seien gegeben. Ein beliebiger Punkt R(r) auf der Gerade wird Die Gerade g : x = erreicht, indem ein Wert für r (z. B. r=1) eingesetzt wird. a) Geben Sie den Punkt R(1) an. 1 BE b) Berechnen Sie den Abstand von P zu R(1). 3 BE c) Berechnen Sie den Abstand von P zu einem beliebigen Punkt R(r). 3 BE d) Für welchen Wert r e wird der Abstand minimal? (Aufzufassen als Extremwertaufgabe). Welche Koordinaten hat R(r e )? Wie groß ist der 6 Bewertet wird: Ansatz für einen Punkt und 4 Punkte. F. Müller 5/6

6 Abstand? F. Müller 6/6

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