Ein Beispiel zur Fourier-Entwicklung

Transkript

1 Ein Beispiel zur Universität Leipzig, Mathematisches Institut Januar 2011

2 Aufgabenstellung Entwickle die Funktion u(x) = { 0 in π in ( ) ( π, π 3 2π ( 3, π) π 3, 2π ) 3 über dem Intervall [ π, π] in eine Fourierreihe nach den Funktionen cos nx, sin nx. Skiziere den Verlauf der ersten Partialsummen.

3 Orthonormalsystem Die Basisfunktionen { } 1 1 2π, π 1 cos(kx), π sin(kx) k = 1, 2,... bilden in L 2 [ π, π] ein vollständiges Orthonormalsystem,

4 Orthonormalsystem Die Basisfunktionen { } 1 1 2π, π 1 cos(kx), π sin(kx) k = 1, 2,... bilden in L 2 [ π, π] ein vollständiges Orthonormalsystem, denn es ist beispielsweise π dx = 2π

5 Orthonormalsystem Die Basisfunktionen { } 1 1 2π, π 1 cos(kx), π sin(kx) k = 1, 2,... bilden in L 2 [ π, π] ein vollständiges Orthonormalsystem, denn es ist beispielsweise π π dx = 2π cos 2 (kx) dx = 1 2 π (1 + cos(2kx) dx = π

6 Orthonormalsystem Die Basisfunktionen { } 1 1 2π, π 1 cos(kx), π sin(kx) k = 1, 2,... bilden in L 2 [ π, π] ein vollständiges Orthonormalsystem, denn es ist beispielsweise π π π dx = 2π cos 2 (kx) dx = 1 2 sin(mx) cos(nx) dx = 1 2 π π (1 + cos(2kx) dx = π (sin(m n)x + sin(m + n)x dx = 0 usw. Man beachte, dass Integrale über sin(x) und cos(x) über volle Perioden stets Null sind.

7 Lösungsansatz Mit dem Ansatz u(x) = a (a k cos(kx) + b k sin(kx)) k=1 erhält man durch Skalarmultiplikation mit den Basisfunktionen, d.h. Multiplikation und Integration über das Intervall [ π, π]

8 Lösungsansatz Mit dem Ansatz u(x) = a (a k cos(kx) + b k sin(kx)) k=1 erhält man durch Skalarmultiplikation mit den Basisfunktionen, d.h. Multiplikation und Integration über das Intervall [ π, π] a 0 = 1 π a k = 1 π b k = 1 π π π π u(x) dx u(x) cos(kx) dx u(x) sin(kx) dx

9 Spezielle Funktionseigenschaften u ungerade: u( x) = u(x) Dann sind die Funktionen u(x) cos(kx) ungerade und die Funktionen u(x) sin(kx) gerade, also ist a k = 0, b k = 2 π 0 u(x) sin(kx) dx

10 Spezielle Funktionseigenschaften u ungerade: u( x) = u(x) Dann sind die Funktionen u(x) cos(kx) ungerade und die Funktionen u(x) sin(kx) gerade, also ist a k = 0, b k = 2 π 0 u(x) sin(kx) dx u gerade: u( x) = u(x) Dann sind die Funktionen u(x) cos(kx) gerade und die Funktionen u(x) sin(kx) ungerade, also ist a k = 2 π 0 u(x) cos(kx) dx, b k = 0

11 sin- und cos-reihe für nur auf [0, π] definierte Funktionen Fortsetzung Ist eine Funktion g nur auf dem Intervall [0, π] gegeben, so kann sie stetig als gerade Funktion und im Falle g(0) = 0 auch als ungerade Funktion auf [ π, π] fortgesetzt werden.

12 sin- und cos-reihe für nur auf [0, π] definierte Funktionen Fortsetzung Ist eine Funktion g nur auf dem Intervall [0, π] gegeben, so kann sie stetig als gerade Funktion und im Falle g(0) = 0 auch als ungerade Funktion auf [ π, π] fortgesetzt werden. gerade Fortsetung: g( x) = g(x) Man erhält eine reine cos-reihe g(x) = a k cos(kx) mit a k = 2 π k=0 0 g(x) cos(kx) dx.

13 sin- und cos-reihe für nur auf [0, π] definierte Funktionen Fortsetzung Ist eine Funktion g nur auf dem Intervall [0, π] gegeben, so kann sie stetig als gerade Funktion und im Falle g(0) = 0 auch als ungerade Funktion auf [ π, π] fortgesetzt werden. gerade Fortsetung: g( x) = g(x) Man erhält eine reine cos-reihe g(x) = a k cos(kx) mit a k = 2 π k=0 0 g(x) cos(kx) dx. ungerade Fortsetung: g( x) = g(x) Man erhält eine reine sin-reihe g(x) = b k sin(kx) mit b k = 2 π k=1 0 u(x) sin(kx) dx.

14 Hilfe durch Maple Die entsprechenden Definitionen für eine Funktion u, die Koeffizienten a k, b k und die Partialsummen s n sehen in Maple wie folgt aus: > u:=proc(x) RETURN(...) end:; > a:=proc(k) RETURN(1/Pi*int(cos(k*x)*u(x),x=-Pi..Pi)) end:; > b:=proc(k) RETURN(1/Pi*int(sin(k*x)*u(x),x=-Pi..Pi)) end:; > s:=proc(n) RETURN(value(a(0)/2+Sum(a(k)*cos(k*x)+b(k)*sin(k*x), k=1..n))) end:; Die Funktionsdefinition muss noch ergänzt werden.

15 Lösungsansatz In unserem Beispiel ist u(x) = { 0 in π in ( ) ( π, π 3 2π ( 3, π) π 3, 2π ) 3 und deswegen genügt es, über das Intervall [ π 3, 2π ] 3 zu integrieren.

16 Lösungsansatz In unserem Beispiel ist u(x) = { 0 in π in ( ) ( π, π 3 2π ( 3, π) π 3, 2π ) 3 und deswegen genügt es, über das Intervall [ π Man erhält 3, 2π 3 ] zu integrieren. a 0 = 1 π a k = 1 π b k = 1 π 2π 3 π 3 2π 3 π 3 2π 3 π 3 π dx = π 3 π cos(kx) dx = 1 k π sin(kx) dx = 1 k ( sin 2kπ ( cos kπ 3 3 sin kπ 3 cos 2kπ 3 ) )

17 Tabelle der Werte der Koeffizienten k sin kπ cos kπ k a k k b k Für die sin- bzw. cos-reihe der auf [0, π] eingeschränkten Funktion sind die Koeffizienten zu verdoppeln.

18 Hilfe durch Maple Die entsprechenden Definitionen für die Koeffizienten und die Partialsummen sehen in Maple wie folgt aus: > a:=proc(k) > RETURN(int(cos(k*x),x=Pi/3..2*Pi/3)) end:; > b:=proc(k) > RETURN(int(sin(k*x),x=Pi/3..2*Pi/3)) end:; > s:=proc(n) > RETURN(value(a(0)/2+Sum(a(k)*cos(k*x)+b(k)*sin(k*x), > k=1..n))) end:;

19 Ergebnisse vom Maple Für die zwölfte Partialsumme liefert Maple: 1 6 π+ sin(x) cos(2 x) 2 3 sin(3 x) cos(4 x) sin(5 x) sin(7 x) cos(8 x) 2 9 sin(9 x) cos(10 x) sin(11 x) sin- und cos-reihe für die auf [0, π] eingeschränkte Funktion 2 sin(x) 4 3 sin(3 x) sin(5 x) sin(7 x) 4 9 sin(9 x) π 3 cos(2 x) cos(4 x) 3 cos(8 x)

20 Maple Plot für n = 0 und n = 1

21 Maple Plot für n = 2 und n = 3

22 Maple Plot für n = 4 und n = 5

23 Maple Plot für n = 6 und n = 7

24 Maple Plot für n = 8 und n = 9

25 Maple Plot für n = 10 und n = 20

26 Maple Plot für n = 30 und n = 40

27 Maple Plot für n = 200 und n = 500