Physikprotokoll vom Versuchstag 6 Beugung und Interferenz, Spektrallinien. Linda Eckel und Anna Mankowski Tutorin: Elisabeth Stütz

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1 Physikprotokoll vom Versuchstag 6 Beugung und Interferenz, Spektrallinien Linda Eckel und Anna Mankowski Tutorin: Elisabeth Stütz

2 Einleitung Am sechsten Versuchstag ging es um die Beugung am Einfachspalt und an Gittern. Des weiteren wurden das Auflösungsvermögen des Mikroskops untersucht und Spektrallinien betrachtet. 2 Theoretische Grundlagen 2. Beugung am Einfachspalt Interferenzerscheinung treten auf, wenn paralleles Licht durch einen Spalt mit der Breite auf einen Schirm trifft der im Abstand hinter dem Spalt aufgestellt ist. Lichtwellen gleicher Phasen verstärken sich in diesem Fall, Lichtwellen unterschiedlicher Phasen löschen sich gegenseitig aus. Für die Intensitätsminima auf dem Schirm gilt: sin = ; =, 2, 3, Für die Intensitätsmaxima auf dem Schirm gilt: sin = ; =, 2, 3, Wird der Spalt durch eine kreisförmige Öffnung mit dem Radius und dem Durchmesser ersetzt ist die Intensitätsverteilung auf dem Schirm radialsymmetrisch. Für die Intensitätsminima gilt in diesem Fall: sin = = 2 Nach dem Babinetschen Theorem entspricht das Beugungsbild am Einfachspalt, dem eines gleichbreiten Gegenstandes. Für die Beugung am Draht gelten also die schon aufgeführten Bedingungen. 2.2 Beugung am Gitter Ein optisches Gitter besteht aus einer Vielzahl von parallel angeordneten Spalten. Das im Praktikum verwendete Gitter hat 600 Spalten pro Millimeter Gitterbreite, die Gitterkonstante, also der Spaltabstand ist in diesem Fall,67 ". Unter Annahme, dass die Spaltbreite zu vernachlässigen sei, kann davon ausgegangen werden, dass bei Beleuchtung des Gitters durch Überlagerungen der Elementarwellen im Winkel eine Reihe heller, scharfer Maxima entstehen. der Wegunterschied, der benachbarten Wellenzügen entspricht einem ganzzahligem Vielfachen der Wellenlänge. Es gilt: = = sin ; =, 2, 3,

3 Für die Winkelabhängigkeit der Maxima gilt: sin "# = Unterscheidet sich der Wegunterschied nur geringförmig von, z.b. = sin "# = + ( = Anzahl der zur Beugung beitragenden Gitterspalten) interferieren die um voneinander entfernten Spalten ausgehenden Wellenzügen zu einem Minimum. Wenn der Wegunterschied eines Wellenzugpaares eine halbe Wellenlänge löschen diese sich aus. Neben den Maxima ergeben sich also Minima und 2 Nebenmaxima, welche für steigende schwächer werden. Kommt eine weitere Lichtfarbe mit wer Wellenlänge + hinzu, so wird das ursprüngliche Beugungsbild von einem weiteren überlagert. Der Winkelabstand der Maxima berechnet sich in diesem Fall wie folgt: sin "# = + Das Auflösungsvermögen des Gitters bestimmt den Wellenlängenunterschied für den die Beugungsmaxima nicht ineinander verschwimmen. = gibt den Wellenlängenunterschied an für den die Beugungsmaxima noch zu erkennen sind. Das Rayleigh-Kriterium besagt, dass für eine solche Trennung das Maximum der zweiten Welle mindestens über dem Minimum der ersten Welle liegen muss. Für das Maximum gilt: Für das erste Minimum gilt: sin "# = + sin "# = Auflösungsvermögen des Mikroskops Die Gesamtvergrößerung eines Mikroskops beträgt = "# " und ist proportional zur Tubuslänge und umgekehrt proportional zur Brennweite von Objektiv und Okular. 2

4 Die Auflösung bezeichnet die Fähigkeit, zwei nebeneinander liegende Punkte als solche darzustellen und nicht die Fähigkeit beliebige Einzelheiten sichtbar zu machen: sin = numerische Apertur = "# = sin 0,6 "# Dafür verantwortlich sind Beugungsphänomene, die Punkte als Beugungsscheibchen darstellen. Die Möglichkeit zwei Punkte als solche abzubilden ist anhängig von ihrem Abstand : > "# = 0,6 sin = halber Öffnungswinkel des Objektivs = Wellenlänge im Medium zwischen Objektiv und Objekt Je höher die numerische Apertur ist, desto höher ist auch das Auflösungsvermögen des Objektivs. 2.4 Speckles Speckles sind ein optisches Phänomen, die auftreten, wenn eine raue, unregelmäßige Oberfläche mit sichtbarem Laserlicht bestrahlt wird. Sie entstehen durch von jedem Punkt der streuende Oberfläche ausgehenden Interferenzeffekten von Elementarwellen. 2.5 Atommodelle Das einfachste Atommodell ist das von Rutherford. Es geht davon aus, dass sich beinah die gesamte Masse und die gesamte positive Ladung im Kern befinden. In der Umgebung des Kerns befinden sich negativ geladene Elektronen, die die positive Ladung des Kerns ausgleichen. Sie werden durch elektrostatische Anziehungskräfte des Kerns auf Kreisbahnen gehalten. Diese Annahme ist allerdings nicht in der Realität verwirklicht, da die Elektronen in diesem Modell beschleunigte Ladungen darstellen und sie als diese ständig an Energie verlieren würde, was zu einem Kollaps des Atoms führt. Das Bohr sche Atommodell versucht die Widersprüche des Atommodells von Rutherford aufzuklären. Es wird davon ausgegangen, dass die Elektronen sich nur auf definierten Kreisbahnen, denen bestimmte Energien zugeordnet sind bewegen. Sie können allerdings von einer Kreisbahn auf einer andere wechseln, wobei Energie verbraucht oder frei wird, je nach dem ob die Energie der Kreisbahn auf die das Elektron wechselt einer höheren oder einer niedrigeren Energie zugeordnet ist. Die Quantenmechanik nutzt Bohrs Aussage über verschiedene Energiezustände von Elektronen, Allerdings geht man hierbei nicht mehr von Kreisbahnen sondern viel mehr von Elektronenwolken aus. 3

5 Linda Eckel & Anna Mankowski Versuchstag Energieniveaus und Spektren Durch Anregung können Elektronen in einen Zustand höhere Energie überführt werden. Dabei muss Energie von außen zugeführt werden, z.b. durch Absorption eines Photons der Energie = ℎ = Wird ein Photon der gleichen Energie abgegeben führt das zu einem Zustand niedriger Energie = ℎ = Im Folgenden wird am Beispiel von Wasserstoff erläutert wie ein Energieniveau ermittelt wird: = ; =, 2, 3, 8 ℎ = Elektronenmasse (9,09 0" ") = Elementarladung (,602 0" ") " = Influenzkonstante (8,854 0" ") Der nur aus Konstanten bestehende Vorfaktor ergibt die Grundzustandsenergie von Wasserstoff von 3,6 ". Die Energiedifferenez beim Wechsel des Energiezustandes eines Elektrons von zu berechnet sich wie folgt: 8 ℎ 8 ℎ = 8 ℎ = = = Handelt es sich bei um den weniger energiereichen Zustand, wird Energie in Form eines Photons frei. Die Frequenz des Photons beträgt dabei =. Die Wellenlänge des Photons kann folgendermaßen berechnet werden: = = Lichtgeschwindigkeit Je größer der Unterschied zwischen den beiden Energieniveaus, desto größer ist die Frequenz des frei werdenden Lichts. Die so entstehende Spektren der Endzustände sind die Lyman-, die Balmer-, die Paschen- und die Brackett Serie. 4

6 3 Experimentelle Aufgaben 3. Beugung am Einfachspalt Bestimmung der Spaltbreite 3.. Geräte Laser, optische Bank, Reiter, Spalt in Justierfassung, Schirm, Verschiebeeinrichtung, Phototransistor in Fassung, Millivoltmeter 3..2 Aufbau Der Laser, der Spalt und der Schirm werden so auf der optischen Bank angebracht, dass das Beugungsbild auf dem Schirm zu erkennen ist. Zur Messung der Maxima und Minima wird der Schirm durch einen Phototransistor ersetzt Durchführung Der Transistor wird so verschoben, dass ein maximales Signal abzulesen ist. Anschließend wird er in geeigneten Abständen verschoben und zwei weitere Maxima mit den zugehörigen Minima gemessen. Zwischen den Maxima nullter und erster Ordnung werden vier Werte gemessen Ergebnisse Der Abstand zwischen Spalt und Schirm beträgt = 475 ± 0, und die Wellenlänge = 532 ". Die Ergebnisse der Messung sind in Tabelle dargestellt. Tabelle : Messung der Maxima und Minima Ordnung 0 Lichintensität als Spannung in Querverschiebung ± 0,0 Maximum 3,360 35,98 0,529 35,45 0,53 0,839 35,27 0,72 0,203 35,09 0,89 Minimum 0,009 34,8,7 Maximum 0,26 34,34,64 Minimum 0,008 33,77 2,2 2 Maximum 0,036 33,07 2,9 Minimum 0,002 32,52 3,46 in 5

7 3..5 Auswertung Die gemessene Spannung wird logarithmisch gegen die Querverschiebung aufgetragen. Das Ergebnis wird in Abbildung dargestellt. Lichtintensität in Abhängigkeit der Querverschiebung 0 ln Lichtintensität in U 0, 0,0 0,00 0 0,5,5 2 2,5 3 3,5 4 xk in mm Abb. : Lichtintensität logarithmisch gegen die Querverschiebung aufgetragen Mithilfe der gemessenen Werte für die Maxima und der Wellenlänge des Lichts wird nun die Breite des Spaltes berechnet. Dafür wird zunächst sin bestimmt: sin tan = "#"$%&'h" "#$%h" = Der Fehler von sin wird mit dem Fehlerfortpflanzungsgesetz bestimmt: sin = + Die Breite des Spaltes berechnet sich wie folgt: = sin Auch der Fehler von wird mithilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes bestimmt: = sin + sin 6

8 Die Ergebnisse der Berechnungen werden in Tabelle 2 dargestellt. Tabelle 2: Ergebnisse der Berechnungen sin sin in in 0. Maximum 0 0,00002 Nicht definiert. Maximum 0, , ,23 0, Maximum 0,0063 0, ,27 0, Diskussion Der Mittelwert der beiden errechneten Werte ist = 0,224 ±. Die tatsächliche Spaltbreite beträgt 0,25. Die Abweichung des berechneten Wertes können auf Ungenauigkeiten beim Ablesen zurückzuführen sein, die vor allem dadurch auftreten können, dass es in dem Versuchsraum dunkel war. 3.2 Bestimmung der Dicke eines Hindernisses 3.2. Geräte s. Versuch 3.; statt des Spaltes wird ein Draht verwendet Aufbau Der Versuch wird wie für Versuch 3. beschrieben aufgebaut, wobei der Spalt durch einen Draht ersetzt wird. Außerdem wird der Schirm nicht durch einen Phototransistor ausgetauscht. Auf dem Schirm befindet sich Millimeterpapier Durchführung Die Maxima, die auf dem Schirm abgebildet werden, werden markiert. Die Abstände werden vom Millimeterpapier abgelesen Auswertung Der Abstand zwischen dem Draht und dem Schirm ist = 790 ±, die Wellenlänge des Lasers = 632,8 ". Die Werte für die Maxima werden in Tabelle 3 dargestellt. Tabelle 3: Ergebnisse der Messung der Maxima Ordnung Abstand ± in

9 3.2.5 Auswertung Die Werte für sin, sin, und werden wie in der Auswertung zu Versuch 3. beschrieben berechnet und die Ergebnisse in Tabelle 4 dargestellt. Tabelle 4: Ergebnisse der Berechnungen Ordnung Abstand sin sin in in ± in. 2 0, ,0027 0,375 0, , ,0027 0,250 0, ,000 0,0027 2,93 0, ,0392 0,0027 0,205 0, ,0772 0,0027 0,96 0, , ,0027 0,8 0, , ,0027 0,79 0, ,0329 0,0027 0,63 0, ,0367 0,0027 0,64 0, Diskussion Der Berechnete Mittelwert der Breite des Drahtes beträgt 0,434 ±. Fehler können auch bei diesem Versuch durch das Ablesen in der Dunkelheit entstehen. Außerdem ist die Bestimmung der Abstände mittels Markierungen auf Millimeterpapier recht ungenau. 3.3 Gitterspektrometer: Wellenlängenmessung und spektrale Auflösung 3.3. Geräte Spektrallampe, Stativ mit Fassung, Netzgerät für Spektrallampe, Spekto-Goniometer, Gitter Aufbau Die Spektrallampe wird vor den Spalt des Goniometers justiert und der Tisch arretiert Durchführung Zunächst werden die Wellenlänge der sichtbaren Spektrallinien des Heliums mithilfe eines 600er Gitters bestimmt. Dafür wird der Winkel bestimmt bei dem das Fadenkreuz des Goniometers genau auf der Spektrallinie liegt. Als nächstes wird der Versuch mit einer Natriumlampe durchgeführt. Außerdem nutzt man vorher ein 00er Gitter und schaut, ab welcher Ordnung die zwei Spektrallinien des Natriums als zwei getrennte Linien zu erkennen sind. 8

10 3.3.4 Ergebnisse Der Winkel des Hauptmaximums lag in allen drei Versuchsteilen bei 295 und ist von allen im Weiteren aufgeführten Messwerten bereits abgezogen. Als erstes wurden die Spektrallinien des Heliums vermessen. Die Messwerte sind in Tabelle 5 dargestellt. Tabelle 5: Ergebnisse der Vermessung der Spektrallinien des Heliums im sichtbaren Bereich Farbe Beugungswinkel ± 0, Lila 2,6 Grün 22,5 Gelb 27,7 Rot 30,7 Die Betrachtung der Spektrallinien mit der Natriumlampe und dem 00er Gitter, ergab, dass ab dem Maximum 8. Ordnung, die zwei Linien als solche zu erkennen sind, verwendet man ein 600er Gitter, sind die Linien schon bei dem Maximum erster Ordnung als getrennte Linien zu erkennen. Die erste Linie liegt hierbei bei einem Beugungswinkel von 30 und die zweite bei einem Beugungswinkel von 50, Auswertung. Die Wellenlängen der Spektrallinien werden wie folgt berechnet: = sin "# Die Ergebnisse der Berechnung werden in Tabelle 6 dargestellt. Tabelle 6: Ergebnisse der Berechnung der Wellenlänge der verschiedenen Maxima Farbe in " Lila 64,56 Grün 39,8 Gelb 258,29 Rot 23,34 2. Mit der gleichen Formel wie in Aufgabenteil werden die Wellenlängen für die beiden Spektrallinien des. Maximums der Natriumlampe berechnet, die mit dem 600er Gitter ermittelt wurden. Für die erste Linie ergibt sich = 835 " und für die zweite Linie ergibt sich = 644 ". 9

11 3. Für diesen Aufgabenteil wird der Literaturwert er Spektrallinie [2] verwendet, um ein genaueres Ergebnis zu berechnen, denn der berechnete Wert war deutlich höher. Die erforderliche Auflösung wird für das 600er Gitter wie folgt berechnet: = = 589 " 0,6 " = 98,67 4. Um diese Auflösung zu erreichen wir ein optisches Gitter mit = 000 benötigt Diskussion Die Wellenlängen der beiden Spektrallinien der Natriumlinie liegen viel weiter auseinander, als sie eigentlich sollten. Mögliche Fehlerquellen sind, dass der Winkel falsch ausgemessen wurde oder aber das Streulicht was durch andere Versuche im selben Raum vorhanden war CD oder DVD? 3.4. Geräte Optische Bank, Laser und Lochblende auf Schiebereiter, CD- und DVD- Rohling auf Schiebereiter Aufbau Auf der optischen Bank sind auf Schiebereitern einmal der Laser mit der Lochblende und einmal die CD und DVD befestigt Durchführung Jeweils eine Disc wird auf der optischen Bank mittig justiert, der Abstand zwischen dem 0. und dem. Maximum wird vermessen Ergebnisse Der Abstand zwischen dem Laser und den Discs beträgt = 4,5 ± 0, ". Der Abstand zwischen den beiden Maxima der ersten Disc beträgt = 2, ± 0, ", der Abstand der beiden Maxima der zweiten Disc beträgt = 4,8 ± 0, ". Die Wellenlänge des Lichtes beträgt = 532 " Auswertung Zur Berechnung der Spurenabstände auf den Discs werden sin und, sowie die Fehler dieser beiden Größen wie in Versuch 3. beschrieben berechnet. Die Ergebnisse werden in Tabelle 7dargestellt. 0

12 Tabelle 7: Ergebnisse der Berechnungen zur Ermittlung der Spurenabstände auf den Discs Disc sin sin in " in 0,67 0,0070 9,7 0,0 2 0,2667 0,0073 3,99 0, Diskussion Die errechneten Werte weichen sehr stark von den tatsächlichen Werten [] ab. Wahrscheinlich wurde bei der Versuchsdurchführung irgendeine Messung falsch ausgeführt, was nun nicht mehr nachzuvollziehen ist. Es ist davon auszugehen, dass es sich aufgrund des größeren Spurabstandes bei der. Disc um die CD handelt, da wie Werte allerdings so stark von den eigentlichen Werten entfernt liegen, muss dies nicht unbedingt zutreffen. 3.5 Auflösungsvermögen des Mikroskops Bestimmung der Objektivapertur 3.5. Geräte Optische Bank, Mikroskoptubus, 2 Leuchtdioden in Messverschiebereiter, Spannungsquelle 6 V=, Kreisblende, Okular, Objektiv in Objektivrevolver Aufbau Vor dem Mikroskop wird die Kreisblende platziert, auf einer optischen Bank dahinter befinden sich die Leuchtdioden Durchführung Das Okular wird in den Tubus gesteckt und das Gerät so justiert, das die Kreisblende in der Mitte des mikroskopischen Gesichtsfeldes scharf zu erkenne ist. Anschließend wird das Okular entfernt und die Leuchtdioden werden betrachtet (dabei muss zwischen Auge und Tubus ein Abstand von mindestens 30 " liegen). Man bewegt diese soweit auseinander bis sie nicht mehr im Tubus zu sehen sind Ergebnisse Der Abstand zwischen Blende und Leuchtdioden beträgt = 23,5 ± 0, ", der Abstand zwischen den beiden Dioden, wenn sich nicht mehr zu sehen sind beträgt =,7 ± 0, " Auswertung Zunächst wird sin berechnet: sin = 2 5,75 " = = 0,245 ± 0,002 23,5 "

13 Linda Eckel & Anna Mankowski Versuchstag Das Auflösungsvermögen wird wie folgt berechnet: = "# = sin 0,245 = = 0,669 ± 0,005 " 0,6 "# 0,6 600 " Das Auflösungsvermögen für Licht mit der Wellenlänge = 420 " wird durch Umstellen der oberen Formel berechnet: "# = 0,6 0,6 420 " = =,046 ± 0,009 " sin 0,245 Die Fehler werden mithilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetztes wie folgt berechnet: sin = 2 = "# = 0,6 0,6 sin + 2 sin = 0,002 = 0,005 " sin = 0,009 " Diskussion Die numerische Apertur des Mikroskops beträgt 0,245. Das berechnete Auflösevermögen für = 420 " ist höher als das für = 600 ". Das lässt vermuten, dass das Auswechseln der Lampe eines Mikroskopes zu einer höheren Auflösung führt. 3.6 Speckles 3.6. Geräte Laser, Linse, Streuscheibe, optische Bank Aufbau/Durchführung Die Geräte werden auf der optischen Bank justiert und der Raum wird vollkommen verdunkelt Auswertung. Durch die Unebenheiten auf der Streuscheibe entstehen Interferenzmuster. 2. Bei dem Licht des Lasers handelt es sich um monochromatisches Licht, die Speckles können nur mit solchem Erzeugt werden, das Tages- und Glühbirnenlicht ist jedoch polychromatisch. 2

14 3. Milch und Haut stellen zu glatte Oberflächen dar, die vorhanden Unebenheiten auf der Hand reichen noch nicht aus um Beugungen und somit Interferenzerscheinungen zu verursachen. 3.7 Spektrallinien: Die Balmerserie des Wasserstoffatoms 3.7. Geräte Spektralröhre mit Wasserstofffüllung, Halterung, Netzgerät 5 kv, 2 Maßstäbe (ein weißer mit zwei Reitern), 600er Gitter, Gitterhalterung, Spaltblende, Stativmaterial Aufbau Die Spektralröhre wird vor dem weißen Maßstab befestigt und durch das Gitter mit Licht bestrahlt Durchführung Die Spektralröhre wird durch das Gitter betrachte. Die Reiter auf dem Maßstab werden so verschoben, dass sie gleichauf mit zwei gleichfarbigen Spektrallinien liegen Ergebnisse Der Abstand zwischen Spektralröhre und Gitter beträgt = 46 ". Die Abständ 2 zwischen zwei gleichen Spektrallinien werden in Tabelle 8 dargestellt. Tabelle 8: Ergebnisse der Abstandsmischung zwischen zwei gleichen Spektrallinien Farbe Abstand 2 in " Abstand in " Rot 39,4 9,70 Gelb 34,7 7,35 Grün 32,0 6,00 Blau 28,3 4,5 Violett 23,9, Auswertung Man berechnet den Beugungswinkel folgendermaßen: sin = + Daraus ergibt sich für die Wellenlänge: = sin 3

15 Linda Eckel & Anna Mankowski Versuchstag Die Ergebnisse dieser Berechnungen werden in Tabelle 9 dargestellt. Tabelle 9: Ergebnisse der Berechnung von Beugungswinkel und Wellenlänge sin Farbe Rot Gelb Grün Blau Violett in " 582,8 589,5 549,4 490,9 49,2 0,394 0,353 0,329 0,294 0,25 Im Folgenden werden die Energien des Wasserstoffatoms Hauptquantenzahlen = 2 und = 3, 4, 5, 6, berechnet. = für die 3,6 " = 3,4 " 2 = 3,6 " =,5 " 3 = 3,6 " = 0,85 " 4 = 3,6 " = 0,544 " 5 = 3,6 " = 0,378 " 6 = 3,6 " = 0 " Zur Berechnung der Wellenlänge wird zunächst die Energiedifferenz der verschiedenen Zustände berechnet, anschließend wird die Frequenz nach = bestimmt. ℎ entspricht der Planck schen Wirkungskonstante mit ℎ = 6,626 0" " []. Die Wellenlänge wird nach = berechnet, wobei die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum zu = 2,998 0 Berechnung werden in Tabelle 0 dargestellt. [] ist. Die Ergebnisse der Tabelle 0: Ergebnisse der Berechnung von Energiedifferenz, Freguenz und Wellenlänge 0" 2,88 4,09 4,58 4,84 5,45 0" " 4,35 6,7 6,9 7,3 8,23 in " 689(rot) 486(gelb) 434(grün) 4(blau) 364 4

16 3.7.6 Diskussion Bis ist das Licht noch sichtbar, da die Wellenlänge in den für Menschen sichtbaren Bereich ( ) fällt. Vergleicht man die theoretischen Längenwellen mit den aus den Messwerten berechneten, fallen große Unterschiede auf. Möglicherweise wurde ungenau abgelesen. Des weiteren ist es eine relative subjektive Methode, Spektrallinien gleicher Ordnung nur mit dem bloßen Auge zu identifizieren. 4 Quellen [] Praktikumsbegleitendes Skript [2] 5