Vorbereitung auf 3. Übungsblatt (Präsenzübungen) - Lösungen

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1 Prof Dr Rainer Dahlhaus Statistik 1 Wintersemester 2016/2017 Vorbereitung auf Übungsblatt (Präsenzübungen) - Lösungen Aufgabe P9 (Prognosen und Konfidenzellipsoide in der linearen Regression) Wir rekapitulieren die Voraussetzungen von Blatt 2, Aufgabe 5: N Aiv fing n 10 junge Karpfen und bestimmt deren Alter und Größe: A i (in Jahren) G i (in Meter) In seinem Modell geht der Biologe N Aiv davon aus, dass zwischen der Größe G (in Meter) und dem Alter A (in Jahren) von jungen Karpfen ein quadratischer Zusammenhang besteht, dh es Parameter β 1, β 2 R gibt mit G i β 1 A i + β 2 A 2 i + ε i, i 1,, n, wobei ε i unabhängige und normalverteilte Fehler mit Eε i 0 und Var(ε i ) 2 > 0 sind (a) Es ist bereits bekannt, dass der KQ-Schätzer ˆβ für β (β 1, β 2 ) lautet: ˆβ (01812, 00078) Geben Sie ein 095-Konfidenzellipsoid gemäß Satz 187 für β anhand der obigen Beobachtungen an Zeichnen Sie dieses skizzenhaft Hinweis: F 2,8,095 6 (b) Nehmen Sie nun an, dass ein neuer Karpfen mit Alter ξ gefangen wird Für eine Prognose der zugehörigen Größe modellieren wir dies als einen neuen Designpunkt C (ξ, ξ 2 ) Geben Sie zunächst allgemein ein (1 α)-konfidenzintervall für die Prognose der Größe ψ ξ Cβ β 1 ξ + β 2 ξ 2 mittels Satz 187 an Berechnen Sie dann für ξ 60 ein 095- Konfidenzintervall für die zugehörige Größe Hinweis: F 1,8, Lösung: (a) Wir haben n 10 Wertepaare gegeben (a) Wir rekapitulieren aus der Lösung von Blatt 2, Aufgabe 5: Das zugehörige lineare Modell lautet: Y Xβ + ε mit X : A 1 A 2 1 A n A 2 n, β : (β 1, β 2 ), ε (ε 1,, ε n ), Y : (G 1,, G n ) Wir verwenden die Abkürzungen A : 1 n n A i, A 2 : 1 n n A2 i, AG : 1 n n A ig i usw Damit: ( ) A X 2 A X n (X X) 1 1 ( ) 1 A, A A n A 2 A A 2 A 2 1

2 also lautet der Kleinste-Quadrate-Schätzer: ˆβ (X X) 1 X Y 1 ( ) 1 A n A 2 A A 2 A 2 ( ) 1 A AG A A 2 G A 2 A A 2 AG + A 2 A 2 G ( ) Es ist r Rang(X) 2 und wir erhalten ˆ 2 : 1 n r R2 0 1 n 2 (Y X ˆβ) (Y X ˆβ) 1 n 2 Weiter ist ( ) A X 2 A X n A A ( ) nag na 2 G n (G i ˆβ 1 A i ˆβ 2 A 2 i ) ( ) P ΛP mit (OPTIONAL, ( zum besseren ) theoretischen Verständnis der Lage der Ellipse) Λ diag(2121, 22) cos(φ) sin(φ) und P mit φ 1, und F sin(φ) cos(φ) k,n k,1 α F 2,8,095 6 Gemäß Beispiel 188 lautet das Konfidenzellipsoid K(Y ) β R 2 : ( ˆβ β) (X X)( ˆβ β) kˆ 2 F k,n k,1 α 016} Gemäß Bemerkung 12 in Kapitel 12 des EWTS-Skripts gezeichnet (man kann auch einfach ein Zeichenprogramm benutzen, dass implizite Ellipsengleichungen erlaubt, zb WolframAlpha: (Verhaeltnismässig gibt es eine viel größere Unsicherheit in der 1 Komponente β 1, daher die stark unterschiedlichen Eigenwerte) (c) Wir nutzen Teil (i) von Satz 187 In unserer Situation ist C (ξ, ξ 2 ) und ψ Cβ β 1 ξ + β 2 ξ 2 identifizierbar mit l Rang(C) 1 (weil wir ξ 0 annehmen) Der Gauß-Markov- Schätzer ist gegeben durch ˆψ ˆβ 1 ξ + ˆβ 2 ξ 2 Ein 095-Konfidenzintervall ist mit B : C(X X) 1 C 1 n ( ξ ξ 2 ) 1 A 2 A A 2 ( A 2 A 2 ) ( ) ξ ξ 2 1 A ξ 2 2A ξ + A 2 ξ n A 2 A A 2

3 demzufolge gegeben durch (beachte F l,n r,1 α F 1,8,095 52): K(Y ) ψ R : ( ˆψ ψ)b 1 ( ˆψ ψ) lˆ 2 F l,n r,1 α } ψ R : ˆψ 1 A ψ ˆ lf ξ 2 2A ξ + A 2 ξ } l,n r,1 α n A 2 A A 2 52 ψ R : ψ (01812ξ 00078ξ 2 ) ξ2 57ξ + 7ξ } 582 Konkret erhalten wir für das Alter ξ 60 aus der Aufgabe: ξ 18 : K(Y ) [ , ] [070, 092] Aufgabe P10 (Vergleichen von Mittelwerten: Multiples Testen mit dem Dunnett-Test) Verschiedene neue Produktionstechniken für Nägel sollen bzgl der Nagellänge mit einer Standardtechnik verglichen werden Dazu wird für jede Produktionstechnik i 1,, k eine Versuchsreihe mit N Nägeln gestartet Für jeden Nagel messen wir dessen Länge Y ij (in mm), wobei j 1,, N die Nummer des Nagels in Gruppe i 1,, k ist Folgende Ergebnisse wurden erhalten: j / i Technik 1 (Standard) Technik 2 Technik Technik Y i j1 (Y ij Y i ) Nehmen Sie im folgenden an, dass die Nagellänge bei der Messung einem linearen Modell folgt: Y ij µ i + ε ij, wobei ε ij N(0, 2 ) unabhängig und normalverteilt mit homogener Varianz 2 > 0 ist (a) Nutzen Sie zunächst einen F -Test, um zu überprüfen, ob die Hypothese H 0 : µ 1 µ 2 µ zum Niveau α 005 abzulehnen ist oder nicht Hinweis: F,16,095 2 Der Dunnett-Test wurde entwickelt, um eine beliebige Anzahl an Verfahren mit einem Kontrollverfahren zu vergleichen Der Test besteht aus der Betrachtung der (k 1) Hypothesen H i : µ i µ 1 gegen H i : µ i µ 1 (i 2,, k) Hierfür setze ˆ 2 : 1 (N 1)k k j1 (Y ij Y i ) 2, wobei Y i : 1 N j1 Y ij Die Teststatistik für die Überprüfung von H i lautet: D i : Y i Y 1 ˆ 2/N und H i wird abgelehnt, falls D i > q k 1,(N 1)k,1 α, wobei q k 1,(N 1)k,1 α das (1 α)-quantil der Verteilung von Z : max i2,,k D i ist

4 (b) Zeigen Sie, dass die Verteilung von Z unter H 0 unabhängig von und µ : µ 1 ist (c) Zeigen Sie, dass der Dunnett-Test tatsächlich ein Test zum Niveau α ist Führen Sie den Test mit den obigen Daten zum Niveau α 005 durch Hinweis: Es ist q,16, Lösung: (a) Beachte, dass die Gesamtzahl der Beobachtungen n N k ist Speziell ist hier k und N 5 Der F -Test basiert auf dem linearen Modell (vgl Blatt 2, Aufgabe 6): Y Xβ + ε, wobei 1 N (1,, 1) ein Vektor bestehend aus N Einsen ist und Y (Y 11,, Y 1N, Y 21,, Y 2N, Y 1,, Y N, Y 1,, Y N ), ε (ε 11,, ε 1N, ε 21,, ε 2N, ε 1,, ε N, ε 1N,, ε N ), 1 N X 0 1 N N 0, β (µ 1, µ 2, µ, µ ) N Wir erhalten für den KQ-Schätzer ˆβ ( ˆβ 1, ˆβ 2, ˆβ, ˆβ ) (Y 1, Y 2, Y, Y ) und R0 2 k j1 (Y ij Y i ) 2 Das reduzierte Modell mit µ : µ 1 µ 2 µ µ (dh Hypothese H 0 : H β 0 mit H ) lautet Y X β + ε mit X 1 kn, β µ, für den KQ-Schätzer erhalten wir ˆ β 1 k kn j1 Y ij : Y und R1 2 k j1 (Y ij Y ) 2 Die F -Statistik erfüllt (beachte r Rang(X), l Rang(H) ): Aus den gegebenen Größen erhalten wir: F R2 1 R0 2 / R 2 0 l Nk r F l,nk r R , R , F Es ist aber F,16,095 2, dh F > F l,nk r,1 α mit α 005, dh wir lehnen H 0 ab Wir entscheiden uns also dafür, dass signifikante Unterschiede in der Länge der Nägel bei den verschiedenen Prozeduren bestehen (b) Es ist D i Y i µ Y 1 µ ˆ 2/N iid Laut Konstruktion ist unter H 0 : Y ij N(µ, 2 ), dh Y von µ und Wir können D i nur mit den Y ij schreiben, da ˆ (N 1)k k N j1 ij : Y ij µ (Y ij Y i ) 2, iid N(0, 1) sind unabhängig

5 und Y i µ 1 N Damit ist Z aber eine Kombination von den iid Zufallsvariablen Y ij, die nicht von µ, abhängen und daher ist die Verteilung von Z selbst nicht abhängig von µ, Anmerkung: Die Eigenschaft, dass die Verteilung von Z unabhängig von µ, ist, ist wichtig, damit man Quantiltafeln für die Verteilung von Z bereitstellen kann, die dann generell einsetzbar sind (c) Es bezeichne 1, D i > q k,(n 1)k,1 α φ i (Y ) 0, den Test für die Hypothese H i : µ i µ 1 vs die Alternative µ i µ 1 (i 2,, k) Bezeichne P 0 das Wahrscheinlichkeitsmaß unter H 0 Dann gilt P 0 (φ 2 1 oder φ 1 oder φ 1) N Y ij P 0 (D 2 > q k,(n 1)k,1 α oder D > q k,(n 1)k,1 α oder D > q k,(n 1)k,1 α ) P 0 ( max D i > q k,(n 1)k,1 α ) P 0 (Z > q k,(n 1)k,1 α ) α i2,,k }} Z 1 Durchführung des Tests: Es ist bereits aus (a) bekannt: ˆ (N 1)k R Es ist H 2 : D 2 Y 2 Y 1 ˆ 2/N H : D Y Y 1 ˆ 2/N H : D Y Y 1 ˆ 2/N 11 < 258 q,16,095, dh H 2 : µ 2 µ 1 wird nicht abgelehnt 178 < 258 q,16,095, dh H : µ µ 1 wird nicht abgelehnt 01 < 258 q,16,095, dh H : µ µ 1 wird nicht abgelehnt Grund für die Nichtablehnungen: Datenbasis zu klein Test aus (a) kann ablehnen, weil er über alle Techniken 2,, signifikante Abweichungen feststellt Ablehnung ist aber auch dort knapp Homepage der Vorlesung: 5

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