Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur

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1 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix, dann gilt det(a =. c Ist A orthogonal, dann besitzt A einen Eigenwert λ mit λ = oder λ =. Die Aussage a ist falsch, da z.b. für die Matrix A := gilt det A =, aber A t A = A = I 3. Hingegen ist b richtig, denn für eine orthogonale Matrix A gilt det(a = det(a t det A = det(a t A = det I 3 = und damit det(a =. Für Teil c beachte man, dass die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix stets den Betrag haben, denn ist v 0 Eigenvektor zum Eigenwert λ, so folgt λ v = Av = v t A t Av = v t v = v und damit die Behauptung. Da nun A eine 3 3-Matrix ist, hat das charakteristische Polynom von A Grad 3 und nach dem Zwischenwertsatz auch eine Nullstelle in R. Also besitzt A einen Eigenwert, und dieser muss dann auch ± sein. Aufgabe. Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und F : V V K eine Bilinearform. Seien B und B zwei Basen von V mit Basiswechselmatrix S = B S B. Ist A die Matrix von F bezüglich B und A die Matrix von F bezüglich B, dann gilt: a A = S AS. b A = S t AS, c A = SAS, d A = SAS t.

2 Nach Satz 8.5 ist die Antwort b richtig. Aufgabe 3. Gegeben sei die quadratische Form q : R R, (x, x x + 6x x + x. a Geben Sie die Matrix der zu q gehörigen symmetrischen Bilinearform bezüglich der Standardbasis an. b Bestimmen Sie die Hauptachsen der Quadrik q(x =. c Skizzieren Sie die Quadrik bezüglich einer Orthonormalbasis. a Die Darstellungsmatrix ist gegeben durch ( 3 A :=. 3 b Die Hauptachsen der Quadrik sind definitionsgemäß normierte Vektoren, die die Eigenräume von A aufspannen. Nun berechnet man das charakteristische Polynom von A als χ A = (x 5(x +, und die zugehörigen Eigenräume werden durch aufgespannt, d.h. die Hauptachsen sind ( ( und ( und ( c Die Quadrik ist eine Hyperbel im R mit Asymptoten x x = 0 und x + x = 0, wie man der Rechnung in b entnimmt. Aufgabe. Welche der folgenden Matrizen definiert ein Skalarprodukt auf R? ( ( ( A :=, A :=, A 3 :=. Alle vorkommenden Matrizen sind symmetrisch, weshalb es ausreicht, die positive Definitheit der Matrizen zu überprüfen. Die Matrix A ist nicht positiv definit, da det A = 0. Die Matrix A 3 ist auch nicht positiv definit, da für den ersten kanonischen Basisvektor e gilt e t A 3 e = < 0. Die Matrix A hingegen ist positiv definit, denn es gilt ( ( x (x, y = x + xy + y = 3x + (x + y 0 y.

3 und 3x + (x + y = 0 genau dann, wenn x = 0 und damit auch y = 0. Aufgabe 5. Bestimmen Sie die Jordan-Normalform der folgenden Matrizen A := 0 0, B := 0 0, C := a Das charakteristische Polynom von A ist χ A = (x (x +. Da die Eigenräume zu den Eigenwerten und ein- bzw. zweidimensional sind, ist A diagonalisierbar und die Jordanform von A ist gegeben durch J A =. b Durch Entwickeln nach der dritten Spalte erhält man als charakteristisches Polynom von B χ B = (x+ (x. Auch hier sind die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte gleich den algebraischen Vielfachheiten, d.h. der Eigenraum zum Eigenwert - ist zweidimensional und der zum Eigenwert eindimensional. Also ist J B = J A =. c Wiederum erhält man durch Entwickeln nach der letzten Spalte χ C = (x + (x = (x (x +. Hier ist der Eigenraum zum Eigenwert - allerdings eindimensional, also gilt J C =. Aufgabe 6. Sei V der Vektorraum aller reellen Polynomfunktionen von Grad höchstens. a Zeigen Sie, dass V mit der Abbildung, : V V R, (f, g f, g := f(ig(i i=0 ein euklidischer Vektorraum ist. 3

4 b Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V bezüglich des in (a angegebenen Skalarproduktes. a Es ist klar, dass die Abbildung, eine symmetrische Bilinearform ist. Es bleibt zu zeigen, dass, positiv definit ist. Nun gilt für f V f, f = f(0 + f( + f( 0 mit Gleichheit genau dann, wenn f(0 = f( = f( = 0. Eine Polynomfunktion vom Grad mit drei Nullstellen kann aber nur die Nullfunktion sein, d.h. f = 0. Also ist, auch positiv definit. b Um eine Orthonormalbasis von V zu finden, kann man beispielsweise das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren auf eine Basis von V anwenden. In dieser speziellen Situation kann man aber auch einen Trick anwenden. Setzt man nämlich e 0 := (x (x, e := (x 0(x und e := (x 0(x, so sind die e i Polynome, die bei i keine Nullstelle haben, wohl aber an den beiden anderen Punkten. Daraus folgt sofort, dass die e i ein Orthogonalsystem bilden, und nach Normieren erhält man das Orthonormalsystem ( e 0, e, e, was aus Dimensionsgründen auch eine Orthonormalbasis von V ist. Aufgabe 7. Entscheiden Sie (mit Begründung, welche der folgenden Matrizen über R diagonalisierbar sind. a b 3 5 A := A := c A = B t CB, wobei B R n n eine beliebige Matrix und C R n n eine beliebige symmetrische Matrix sei.

5 a Da die Matrix A symmetrisch ist, kann sie nach dem Satz über die Hauptachsentransformation diagonalisiert werden. b Das charakteristische Polynom von A ist χ A = (x 3 (x 7, die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes ist also 3. Da die geometrische Vielfachheit aber nur dim ker( I A = ist, kann A nicht diagonalisierbar sein, denn die beiden Vielfachheiten stimmen bei diagonalisierbaren Matrizen überein. c Die Matrix A ist symmetrisch, denn A t = B t C t (B t t = B t CB = A da C = C t. Da nach dem Satz über die Hauptachsentransformation symmetrische Matrizen diagonalisierbar sind, ist also A diagonalisierbar. 5