ein Polynom n-ten Grades und (x) sei ein Polynom vom höchstens -1 teu Grade, welches zu f(x) teilerfremd ist. Es seien ferner,,

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1 104 [Ser. 3, Vol. 2, U ber Entwickelungskoeffizienten der rationalen Funktion. Matsusaburo F*JIWARA. [VORGELEGT AM 1. APRIL 1920] 1. Es sei ein Polynom n-ten Grades und (x) sei ein Polynom vom höchstens n -1 teu Grade, welches zu f(x) teilerfremd ist. Es seien ferner,,

2 May 1920.] ENTWICKELUNGSKOEFF. D. RAT. FUNKTION 105 wo A1,A2..., Ap Konstanten bedeuten und die Summation sich uber samtliche Wiuzeln,,,... erstreckt. Aus ergibt sich durch Differentiation nach x Daraus folgt, wenn man setzt, dass wo A1, A2,..., Ap von m unabhangig sind. enn die Wurzelu von f(x)=0 voneinander W verschieden sind, so ist In folgenden Zeilen mochte ich einige Resultate aus (1) herleiten. 2. Wie wohl bekannt, erfulleu die Entwickelungskoeffizienten (*) von (x):f(x) die rekurrierende Formel: und umgekehrt, wenn die Zahlenfolge (*), diese rekurrierende Formel erfullt, so ist sie die Entwickelungskoeffizienten einer rationalen Funktion deren Nenner gleich, f(x) ist. Nun betrachten wir eine reclle Zahlenfolge (*m), welcho durch die rekurrierende Formel (3) definiert ist, wo (an) reell ist, und ausserdem In diesem Falle sind die Wurzeln von f(x)=0 samtlich von absolutem Betrag kleiner als 1, was aus dem Kakeya-Enestromschen

3 Wenn die rekurrierende quadralische Form 106 M.FUJIWARA: [Ser. 3, Vol. 2, Satze (1) unmittellbar folgt. Darans folgt we = <1 ist. Da aber ist, folgt gleich limm*x cm =0. Also erhalt man den Satz: ll'enn, die redle Zahlenfolge (*m) durch die rekurricrende Formel (3) definiert ist, wo Wenn daher sumlliche Cm ganze Zahlen sein sollen, so muss A udererseits hat Herr Prof. Perron in seiner Arbeit :Uber eine erallgemeinerung des Stolzschen Irrationalitütssatzes, Münehener Ber. V 38, 1908, S , bewiesen, dass, Wenn die Zahlenfolge (*m) welche durch die rekurrierende Formel definiert ist, aus bloss ganze Zahlen besteht, so muss gleich Null seiu, wenn n*1 ist. er unsere obige Satz ist daher D ein spezieller Fall des Perronschen Satzes, wenn der letztere für alle n giltig w re. 3. Wir betrachlen jetzt die Relation wo die Koeflizienten von f(x) und (x) reell sind. Hier gilt der Satz positiv definit ist, so sind dir Wurzeln von f(x)=0 sumtlich reell, und (1) Kakeyn: On the limits of the roots of an algebraic equation with positive oetheients,tohokn Math. Joum. 2 (1912), S

4 und May 1920.] EXTWICKELUNGSKOESF.D.RAT. FUNKTON 107 Dieser Satz ist schon bekannt; man findet ihn z. B. in Weber, Algebra, Bd. 1,S.319, w hrend Herr Watauabe(1) ihn auch aus dem Sturmschen Satze bewiesen. Ich werde dies hier nochmals aus der Relation (1) ganz elementar ableiten. Aus ersiert man dass f x)=0 in der folgenden Form ausdrüekbar ist: Aus (1) folgt wo ist. Wenn man x*,.,.x*,..., x* so bestimmt, dass die reellen und imaginären Teile von gleich Null werden, so verschwindet sich A1y*2+...+Ap/(p-1)! *, und derjenige Glied für die zu * konjugiert imagin re Wurzel. Also, wenn f(x)=0 mindestens eine mehrfaehe Wurzel besitzt, so verschwindet sich die vorgelegto quadratische Form fur die Losung von linearen Gleichungen, deren Anzahl kleiner als n ist. Daher ist diese

5 wo P 108 M. FUJIWARA: [Ser, 3, Vol. 2, quadratische Form nieht definit. Also müssen die Wurzeln von f(x)=0 voneinander verschieden sein, und folglich Setzt man hier so ist Ist a eine imaginare Wurzel, so existiert auch eine zu a konjugiert imaginäre Wurzel; sei es. Dann ist z 2 +z 2 von der Form wo,,... reell und voneinander verschieden, und *, reell und positiv sind, welches letztere aus der Definitheit der Form folgt. Man kann diese Tatsache in der folgende Form aussprechen: die quadratische Form Wenn positiv definit ist, so kann man setzen wo ai reell und voneinander verschieden, und *i reell positiv sind; und t. Dieser Satz wurde schon von Herrn Fischer(1) der Scha*r der quadratisehen Formen bewiesen. umgekehr aus der Theorie (1 ) Fischer: Uber das Caratheodory'sehe Problem, Potenzreihen mit positiveu reellen Teil b*treffend, R*nd. Palermo, 31 (1911), S

6 May 1920.] ENTWICKELUNSKOEFF. D. RAT. FTYKTIOn. 109 Form 4. Wir wenden uns nun zur Betrachtung der reellen Hermiteschen wo *o reell, *i und *_ konjugiert komplex, und xl, *i auch konjugiert komplexe Variabeln sind. Wir beweisen zuerst den Satz: Wenn die reelle Hermitesclte Form H positiv definit ist, so sind die urzeln von W coneinander versehicden und deren absolute Betrüge sumllich gleich 1, wobei o bestimmt ist, dass *n+1 s Da H positiv definit ist, muss es Dk>0 (k=0, 1,..., n) sein. Aus der Form von. f(x) ersieht man und aus Dn+1=0 ergibt sich Daher ist f(x)=0 auch durch Elimination von a0, a1,..., ak+1, ans don +1 letztern Gleichungen in der Form n darstellbar. Definiert man weiter *n+,... durch die Rekursionsformol

7 110 M.FUJIWARA: [Ser. 3, Vol. 2, so gilt dio Relation von der Form wo (x) ein Polynom vom n-l-ten Grade bedentet. Wenn man hier oraussetzt, so ist aus (1) daraus folgt Daher ist H nieht definit, wenn f(x)=0 eine mehrfache Wurzel besitzt. Wenn die Wurzeln Von f(x)=0 voneinander verschieden sind, so gilt

8 ,May 1921.] ENTWICKELUNGSKOEFF.D.RAT. FUNKTION. 111 wo Nun ist aus der zweiten Form von f x) ersiehtlich, dass nichts anderes als Also verschwindet sich der Glied * in wenn man.x0,x1, so bestimmt, dass*=0 wird ; und folglich verschwindet sich die vorgelegte Form H für nicht sämtlich verschwindenden Werte von x0, z1,... xn, d. h. H ist nicht definit. Also, damit H positiv definit ist, ist notwending dass 1/*=a, 1/*=, d. h. = =...=1, was zu beweisen war...., Aus diesem Sitze folgt, dass, wenn die reelle Hermitesche Form5. H positiv definit ist, Wo *1 voneinander verschieden sind und * =1, folglich hieraus folgt weiter *>0 aus der Tatsache, dass positiv definit ist. lso: Wenn die reelle Ilermitesche Form A positiv definit ist, so kann man setzen

9 112 ENTWICKELUNGSKOEFF.D.RAT. FUNKTION. [Ser. 3, Vol 2, ri>0 und a* =1 und ai voneinander verschieden sind; und wo umgekehrt. Aus diesem Satze folgt ummittelbar der Caratheodorysche Satz: Dio m reelle oder komplexe Zahlen *1,*2,...,*m sind gegeben. Setzt man *k=*-k und *, die gr sste Wurzel von (deren samtliche Wurzeln sind reell), so gilt wo N*m-1 und r1>0, a =1,a1,a2,...,aN die voneinander erschiedenc Wurzeln von sind. 1 ist cli(-, zahl derart, dass J) > 0, L, > 0,...., L,1_ > 0, 1),- _ (). Diese algebraische Formuliernug des Garatheodoryscheu Satzes rührt von Herrn Prof. 1. Sclntr (` ) her, indem er diesen Satz aus der Theorie der antowurl)hell Transformation der dein iteu quadratischen Form bewiesen, lind Frobenius ('2) hat ihn auch aus der Rroneckerschen Formel hergeleitet. Es ist auch mi6glich dies auf analoger Weise mie bei Fischer abzuleiten. Sendai, Februar (1) I. Schur: Über einen Salz von C. Caratheodory, Berliner Sitzungsber (1912),