Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik

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1 für Wirtschaftsinformatik Sommersemester 2012 Hochschule Augsburg

2 Hinreichende Bedingung für lokale Extrema Voraussetzungen Satz D R n konvex und offen Funktion f : D R zweimal stetig partiell differenzierbar Es gibt ein x, für das f( x) = 0 H f ( x) ist negativ definit x ist lokale Maximalstelle von f H f ( x) ist positiv definit x ist lokale Minimalstelle von f H f ( x) ist indefinit x ist keine lokale Extremalstelle von f H f (x) ist positiv definit für alle x D x ist einziges globales Minimum von f H f (x) ist negativ definit für alle x D x ist globales Maximum von f 85

3 Konvexität und Konkavität Voraussetzungen Satz D R n konvex und offen Funktion f : D R zweimal stetig partiell differenzierbar H f (x) ist positiv definit für alle x D f ist streng konvex in D H f (x) ist negativ definit für alle x D f ist streng konkav in D H f (x) ist positiv semidefinit für alle x D f ist konvex in D H f (x) ist negativ semidefinit für alle x D f ist konkav in D 86

4 Beispiel Problem Betrachte f : R 2 R mit f(x, y) = x 2 + 2y 2 Gesucht: Punkt in R 2 mit kleinstem Wert von f auf der Geraden 2y + x 3 = 0 87

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7 Allgemeines Problem Aufgabe Maximiere (oder minimiere) Funktion f : R n R in Abhängigkeit von x = (x 1,..., x n ), so dass die g i (x) = 0 mit g i : R n R und i = 1,..., m erfüllt sind Kurz: f(x) max NB: g 1 (x) = 0. g m (x) = 0 (min) 88

8 Der Ansatz von Lagrange Idee von Lagrange Gut wäre: Transformation des Optimierungsproblems mit in eines ohne NB. Im Optimum: Gradient der zu optimierenden Funktion und Gradient der NB sind parallel Lagrangefunktion Gegeben: Optimierungsproblem (O) mit f(x) max(min) unter den g j (x) = 0 für j = 1,..., m Dazu wird definiert: Lagrangefunktion L : R n+m R m L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = L(x, λ) = f(x) + λ j g j (x) j=1 89

9 Satz von Lagrange Voraussetzungen Dann gilt: f : R n D R, zweimal stetig partiell differenzierbar Optimierungsproblem (O) mit f(x) max (min) unter den g j (x) = 0 für j = 1,..., m Hessematrix der Lagrangefunktion: ^H L (x, λ) = 2 L(x,λ) x 1 x 1. 2 L(x,λ) x n x 1 Eine Lösung ( x, λ) des Systems L(x, λ) = 0 2 L(x,λ) x 1 x n. 2 L(x,λ) x n x n ^H L ( x, λ) negativ definit x ist lokales Maximum von (O) ^H L ( x, λ) positiv definit x ist lokales Minimum von (O) ^H L (x, λ) negativ definit für alle x x ist globales Maximum von (O) ^H L (x, λ) positiv definit für alle x x ist globales Minimum von (O) 90

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11 Variable Lagrange Multiplikatoren Voraussetzungen f : R n D R, zweimal stetig partiell differenzierbar Optimierungsproblem (O) mit f(x) max (min) unter den g j (x) = 0 für j = 1,..., m Lagrangefunktion ^L(x) = f(x) + m λ(x)g j (x) j=1 Dann gilt: Ist x eine Maximalstelle bzw. Minimalstelle von ^L mit g j ( x) = 0 für alle j = 1,..., m dann ist x auch Maximalstelle bzw. Minimalstelle von (O) 91