ein durch die zeitliche Produktionsfunktion R( I)

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1 Aufgabe : Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt hat im Zeitpunkt t ein Anfangsvermögen von 300 Euro. Bei einem Sachinvestitionsvolumen von I im Zeitpunkt t kann im Zeitpunkt t ein durch die zeitliche Produktionsfunktion R( I) = 30, 8 I bestimmter Mittelrückfluss erzielt werden, der im Zeitpunkt t konsumiert werden kann. Ein Kapitalmarkt sei nicht vorhanden. a) Skizzieren Sie den ungefähren Verlauf der Transformationskurve, die die Konsummöglichkeiten des Investors begrenzt! Tragen Sie insbesondere die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ein! b) Wie lauten das optimale Investitionsvolumen und der optimale Konsumplan des Investors mit der Nutzenfunktion U (, ) =? Verdeutlichen Sie Ihre Lösung anhand der Graphik aus Teilaufgabe a). a) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: (300/0), (0/533,7) b) = 00, = 308, U = 6.600, I = 00 Aufgabe Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt hat im Zeitpunkt t ein Anfangsvermögen von 5000 EUR. Tätigt er mit diesem Vermögen im Zeitpunkt t Sachinvestitionen, so erhält er bei einem Investitionsvolumen von I im Zeitpunkt t einen Mittelrückfluss von R( I) = 7 I. Diesen Mittelrückfluss kann der Investor in t zu Konsumzwecken verwenden. Neben den Sachinvestitionen sei des Weiteren ein vollkommener Kapitalmarkt gegeben, auf dem Mittel unbegrenzt zu einem Zinssatz von 0% angelegt, bzw. aufgenommen werden können. Die Nutzenfunktion des Investors ist gegeben durch U =, wobei den Konsum im Zeitpunkt t angibt und den Konsum im Zeitpunkt t bezeichnet. a) Ermitteln Sie auf rechnerischem Wege den optimalen Investitions- und Entnahmeplan und das entsprechende Nutzenniveau des Investors! Geben Sie darüber hinaus die Inanspruchnahme des Kapitalmarktes an. b) Ermitteln Sie auf rechnerischem Wege den Kapitalwert des optimalen Investitionsplans c) Veranschaulichen Sie anhand einer Skizze, wie der Investor den optimalen Investitions- und Entnahmeplan im Fisher-Fall findet. Benennen Sie dabei die relevanten Kurven, machen Sie die Lage der Optima kenntlich, tragen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und den Kapitalwert der optimalen Investition ein. a) = 950, = 350, U = , I = 900, M = 50 b) KW=900

2 Aufgabe 3 Ein Investor in einer Zwei-Zweitpunkt-Welt hat im Zeitpunkt t= ein Anfangsvermögen von Euro. Ihm bieten sich zwei beliebig teilbare Investitionsprojekte, die sich nicht gegenseitig ausschließen. Das erste Investitionsobjekt ermöglicht ihm bei einem Investitionsvolumen von maximal Euro einen Rückfluss in Höhe des,-fachen Investitionsbetrages, maximal also Euro. Das Zweite bringt ihm nach einer Investition von maximal Euro einen Rückfluss in Höhe des,675-fachen Investitionsbetrages, also maximal 3.00 Euro. Es existiere ein vollkommener Kapitalmarkt, auf dem Gelder zu 0% aufgenommen und angelegt werden können. a) Zeigen Sie anhand eines Schaubildes, wie die Rückflüsse aus dem Investitionsprogramm vom Investitionsvolumen abhängen! Geben Sie für zwei Investitionsvolumina Ihrer Wahl die Höhe des Rückflusses an, und markieren Sie die entsprechenden Punkte mit ihren Koordinaten in Ihrem Schaubild. b) Skizzieren Sie die Transformationskurve aller effizienter -Kombinationen, die durch die Investition realisierbar sind! Ermitteln Sie dafür zuerst die Gleichungen für die verschiedenen Bereiche der Transformationskurve. Geben Sie weiterhin die Gleichungen für die Kapitalmarktgerade an, und tragen Sie diese in Ihre Skizze ein! Beziffern Sie jeweils die Koordinaten jener Punkte, in denen die Transformationskurve und die Kapitalmarktgerade die Koordinatenachsen schneiden. c) Berechnen Sie das optimale Sachinvestitionsvolumen und den optimalen Konsumplan des Investors mit der Nutzenfunktion U =, wobei t den Konsum im Zeitpunkt t angibt. Welches Nutzenniveau kann er erreichen? Geben Sie außerdem die Höhe der Inanspruchnahme des Kapitalmarktes an! d) Wie hoch ist der Kapitalwert aus dem Investitionsprogramm in Teilaufgabe c)? Markieren Sie in Ihrer Skizze aus Teilaufgabe b) jene Strecke, die dem Kapitalwert entspricht! e) Welchen Konsumplan würde der Investor realisieren, wenn am Kapitalmarkt nur Geld angelegt werden kann, aber keine Möglichkeit besteht, Kredite aufzunehmen? Welches Nutzenniveau kann er nunmehr erreichen? f) Unterstellen Sie jetzt, dass die Investitionsprojekte nicht mehr teilbar sind, sondern jedes für sich nur ganz oder gar nicht realisiert werden kann. Für den Kapitalmarkt gelten weiterhin die Voraussetzungen aus Teilaufgabe e). Welchen Konsumplan und welches Nutzenniveau realisiert der Investor unter diesen Bedingungen? g) Wie viel wäre es dem Investor in Teilaufgabe f) wert, wenn ein Kapitalmarkt mit Kreditaufnahmemöglichkeit zu 0% existieren würde? Um diese Frage zu beantworten, stellen Sie bitte fest, auf welchen Teil seines Anfangsvermögens er bei Existenz einer Kreditaufnahmemöglichkeit verzichten könnte, ohne sich gegenüber der Situation in Teilaufgabe f) zu verschlechtern.

3 b). Bereich: =, Bereich: =, KMG: =, Schnittpunkte der Transformationskurve mit den Koordinatenachsen: (3.000/0), (0/900) Schnittpunkte der KMG mit den Koordinatenachsen: (8.000/0), (0/9.800) c) = 9000, = 9900, U = , I = 7.000, M = d) KW=5000 e) = 6500; = 0.887,5; U = f) = 5000, = 3.00, U = , I = 8000 g) K = 39, 5 Aufgabe : Ein Investor kann folgende Investitionsprojekte durchführen: a e Projekt 0 Rendite 3, 0% 0 0,6 6% 3 5 5,75 5,5% Als Finanzierungsmöglichkeiten stehen dem Investor folgende Kreditmöglichkeiten offen: Finanzierungsobjekt Zinssatz Maximalbetrag 5% 0 % 6 3 7% 5 Welche Projekte wird der Investor durchführen, wenn zwischen Investitionsprojekten und Krediten keine Interdependenzen bestehen? Wie hoch ist der Kalkulationszinsfuß? Gehen Sie davon aus, dass die Investitionsprojekte beliebig teilbar sind! IO wird ganz, IO mit einem Volumen von durchgeführt; finanziert wird mit FO und FO ; Kalkulationszinsfuß 6% Aufgabe 5 Ein Investor hat sich zwischen den zwei sich gegenseitig ausschließenden Investitionsprojekten IO und IO zu entscheiden. Die Zahlungsreihen der Projekte können folgender Tabelle entnommen werden: t 0 IO IO

4 a) Nehmen Sie an, es läge ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem Kalkulationszinsfuß von 0% vor. Bestimmen Sie mittels einer von Ihnen für zweckmäßig gehaltenen Methode jeweils das optimale Investitionsobjekt für die folgenden drei Investoren, die sich sowohl in ihren Konsumzielen als auch in dem für die Investition zur Verfügung stehenden Eigenkapital unterscheiden: Maximierung des Konsums Eigenmittel in t=0 in Investor A 000 t=0 Investor B 000 t= Investor t= Geben Sie außerdem für jeden Investor die jeweilige Höhe des Konsums an! b) Nehmen Sie nur für diese Teilaufgabe an, die Investoren hätten zusätzlich zwei weitere Investitionsmöglichkeiten, die sowohl untereinander als auch von den beiden oben genannten Investitionsobjekten technisch unabhängig sind. Diese weiteren Investitionsmöglichkeiten seien durch folgende Zahlungsreihen gekennzeichnet: t 0 IO IO Haben diese Investitionsmöglichkeiten einen Einfluss auf die jeweilige Entscheidung des Investors A, B oder, wenn ansonsten die gleichen Bedingungen wie in Teilaufgabe a) gelten? Bitte begründen Sie Ihre Antwort! Eine Rechnung ist hier nicht Erforderlich! c) Nehmen Sie an, Investor aus Teilaufgabe a) besäße 000 Geldeinheiten, die er investieren möchte. Die Geldanlage auf dem Kapitalmarkt erbringt 5% Zinsen, Kreditaufnahme wäre in beliebiger Höhe zu einem Zinssatz von 0% möglich. Für welches der beiden Investitionsprojekte IO und IO entscheidet sich der Investor? Geben Sie an, wie Sie die Lösung ermitteln! Geben Sie außerdem die mögliche Konsumhöhe bei optimaler Entscheidung an! d) Bestimmen Sie die internen Zinsfüße der beiden Investitionsobjekte IO und IO! Warum kommt es in diesem Fall zu einem Widerspruch zwischen der Kapitalwertmethode und der Methode des internen Zinsfußes? e) Skizzieren Sie den Verlauf der Kapitalwertfunktionen in Abhängigkeit vom Kalkulationszinsfuß von zwei beliebigen Investitionsprojekten, für die bei Auswahlentscheidungen ein Widerspruch zwischen der Kapitalwertmethode und der Methode des internen Zinsfußes ausgeschlossen ist. Tragen Sie Ihre Skizze in ein Koordinatensystem ein, auf dessen waagrechter Achse der Zinssatz und auf dessen senkrechter Achse der Kapitalwert eingetragen ist.

5 a) KW IO = 500, KW = 00 IO ; IO ist optimal für ALLE Investoren; 0 max = 500, max = 650, max = 605 A B b) IOs haben keinen Einfluss auf die jeweilige Entscheidung c) max ( IO ) = 700, max ( IO ) = 77; Investor entscheidet sich für IO d) r = 7,0%, r = 5% ; IO optimal Aufgabe 6: Es stehen die folgenden vier Investitionen zur Auswahl. In der Investition erhält man eine ewige Rente. Es existiert ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem Zinssatz von 0%. t=0 t= t= t=3 t= IO IO IO IO a) Berechnen Sie für die vier Investitionsobjekte den Kapitalwert. b) Berechnen Sie für die vier Investitionsobjekte die jeweiligen Annuitäten mit einer Laufzeit von 5 Jahren. c) Welche der Investitionen sollte auf der Grundlage ihrer Lösungen in a) und b) vorgezogen werden? d) Berechnen Sie für das Investitionsobjekt den internen Zinsfuß. a) KW =,0; KW = 50; KW3 = 88,53; KW = 69, 6 b) Ann = 30,08; Ann = 39,57; Ann3 = 3,35; Ann =, 7 c) IO ist optimal d) r =6 % Aufgabe 7: Karl erwartet zum aus einer Erbschaft einen Betrag von Euro. Um sein derzeitiges Einkommen aufzubessern, überlegt er, diesen Betrag so anzulegen, dass er ab dem..007 eine jährliche, konstante Zusatzeinnahme erzielt. a) Seine Bank bietet ihm eine jährliche nachschüssige Verzinsung in Höhe von 6% p.a. an. Wie hoch sind die gleich bleibenden jährlichen Entnahmen, wenn Karl davon ausgeht, dass er die letzte Entnahme im Jahr 0 vereinnahmen möchte und das Guthaben dann vollständig aufgezehrt ist?

6 b) Karl ist sich nicht ganz sicher, ob er wirklich am einen Betrag in Höhe von Euro erhält. Wie hoch müsste die Erbschaftsauszahlung zu diesem Zeitpunkt sein, damit Karl bei einer Anlage dieses Betrages zu einem Zinssatz von 6% p.a. () eine jährliche nachschüssige Entnahme (erste Zahlung am ) von Euro vornehmen kann? () eine jährlich vorschüssige Entnahme (erste Zahlung am ) von Euro vornehmen kann? c) Zwischenzeitlich hat Karl erfahren, dass er am exakt Euro ausgezahlt bekommt. Er verwirft schließlich alle Überlegungen, die Auszahlung sofort in eine jährliche Rente umzuwandeln, und entschließt sich, zunächst noch sechs Jahre weiter in seinem Job zu arbeiten. Das Geld will er nun zunächst für sechs Jahre anlegen. Wie hoch muss der in diesen sechs Jahren zu erzielende (konstante) jährliche Zinssatz bei jährlicher nachschüssiger Zinsgutschrift sein, wenn Karl ab Januar 0 zehn Jahre lang eine jährliche Rentenzahlung in Höhe von Euro erzielen möchte und zwischen Januar 0 und Januar 0 am Kapitalmarkt ein konstanter Anlagezins von 6% bei jährliche nachschüssiger Zinsgutschrift gilt? a) R=0.96,8 b) () A =5.683, 0 73 ; () A =60.683, 0 73 c) i=8,3% Aufgabe 8:. Markus möchte etwas für seine Altersvorsorge tun. Seine Versicherung offeriert ihm eine Rentensparplan. Dieser sieht vor, 0 Jahre lang jährlich vorschüssig konstante Einzahlungen (S) zu leisten. Diese verzinsen sich zu einem fest zugesagten Zinssatz von 7% p.a. Unmittelbar nach Ablauf der 0 Jahre erhält der Anleger eine über ebenfalls 0 Jahre währende konstante vorschüssige Jahresrente (R). Nach der letzten Rentenzahlung ist das gesamte Kapital verzehrt (Verzinsung in der Rentenphase weiterhin 7% p.a.). Wie hoch muss der Sparbetrag S sein, damit die Rente R genau 000 Euro beträgt?. Daniel legt einen Betrag von 000 Euro in einem sog. Dynamischen Rentenplan mit einer Laufzeit von vier Jahren an. Hierzu eröffnet er ein Konto, auf das er in t=0 den gesamten Betrag einzahlt. Zu Lasten dieses Kontos erhält er, beginnend in t=, periodische Zahlungen Z t, wobei diese jährlich um 0% zunehmen. Das jeweils auf dem Konti vorhandene Guthaben verzinst sich im ersten Jahr mit 3%, im zweiten Jahr mit %, im dritten Jahr mit 5% und schließlich im vierten Jahr mit 6%. Im Zeitpunkt t= beträgt unmittelbar nach der letzten Zahlung Z der Kontostand genau null. Berechnen Sie die Höhe der Zahlungen Z bis Z!.) S=58,.) Z = 38,67; Z = 6,537; Z3 = 88,79; Z = 37, 67

7 Aufgabe 9: Am hat Jürgen einen Gebrauchtwagen für 600 EUR gekauft, welchen er mit einem zwölfmonatigen Bankkredit finanziert. Die erste Rate war am fällig. Der Nominalzins beträgt 9% p.a. a) Wie hoch ist die monatliche Rate, die Jürgen an die Bank zahlen muss? b) Berechnen Sie die Höhe der Zinszahlung und Tilgung am c) Nun besteht für Jürgen die Möglichkeit, den Kredit vorzeitig zu tilgen - unter Inkaufnahme eines Strafzinses von % auf die vorgezogene Tilgung. Von einer anderen Bank bekommt er das Angebot, am einen Kredit zu einem Nominalzins von 6% aufzunehmen. Jürgen nimmt das Angebot an und tilgt daraufhin frühzeitig den bestehenden Kredit mit dem neuen Kredit. Wie Beurteilen Sie diese Entscheidung? d) Berechnen Sie die restlichen Verbindlichkeiten am e) Welche Effektivverzinsung p.a. hat der neue Kredit, wenn der monatliche Effektivzins dem monatlichen Nominalzins entspricht? a) R=559,69 b) Zins 3 = 0,96; Til3 = 59, 39 c) Strafzahlung=7,37; Wert der Ersparnis=0,39 bei neuem Kredit; Entscheidung war nicht sinnvoll d) restliche Verbindlichkeit=55,79 e) i = 6,678% eff J Aufgabe 0: Ein Investor hat beim Kauf einer Anlage die Auswahl zwischen zwei Typen A und B. Die Anschaffung der Anlage A kostet Euro und die der Anlage B Euro. Die Nutzungsdauer beträgt bei Anlage A n=3 Jahre und bei Anlage B n=5 Jahre. Die jährlichen Kosten sind bei Anlage A.000 Euro und bei Anlage B Euro. Unabhängig davon, welche Anlage angeschafft wird, betragen die jährlichen Einzahlungen Euro. a) Beschreiben Sie verbal, welche Terme in die statische Gewinnvergleichsrechnung eingehen, Erläutern Sie die beiden Varianten, die sich für unterschiedliche Annahmen über den zeitlichen Verlauf der Kapitalbindung ergeben. b) Berechnen Sie für beide Anlagen den jährlichen Gewinn gemäß der statischen Gewinnvergleichsrechnung und gehen Sie dabei von einem Kalkulationszins von i=5% aus. Für welche Anlage entscheidet sich der Investor? Rechnen Sie mit beiden Varianten aus Teilaufgabe a).

8 c) Führen Sie anschließend einen Vergleich der beiden Anlagen gemäß der Annuitätenmethode durch und gehen Sie dabei ebenfalls von einem Kalkulationszins von i=5% aus. Hinweis: Wiedergewinnungsfaktor = i + i n d) Bei welcher Variante aus Teilaufgabe b) kommt man dem Ergebnis aus Teilaufgabe c) näher und warum? e) Was lässt sich aus mathematischer Sicht zu den verschiedenen Termen sagen, die bei der statischen Gewinnvergleichsmethode zu berücksichtigen sind? f) Unter welchen Bedingungen ist die Anwendung der statischen Gewinnvergleichsmethode sinnvoll? Welcher Zusammenhang besteht zur Annuitätenmethode? b) G 3750 ; G = 3000; G = 500; G = 000; Anlage A ist optimal = I AII BI B II Gewinn) A = 95,3; Ann( Gewinn) B A c) Ann ( = 90, 5 ; Anlage A ist optimal d) nachschüssige Zahlungen wg. WGF e) rechnen mit Approximationen, deshalb ungenau f) wenn i niedrig und/oder kurze Laufzeit; dann gilt: Gewinnvergleichs-Methode ist Annäherung an Annuitätenmethode Aufgabe : Gegeben sind drei Alternativen Ai mit ihren Ergebnissen in vier Umweltzuständen Zj. Die Ergebnismatrix e ij mit den Zuständen p j lautet wie folgt: Z Z Z3 Z p 0, 0,3 0, 0, A A A Alle Antworten sind zu begründen! Eine Begründung ist ausreichend, wenn die relevanten Ergebnisvergleiche angegeben sind; gegebenenfalls ist graphisch zu veranschaulichen, ob sich die relevanten Verteilungsfunktionen schneiden. a) Prüfen Sie die Dominanzbeziehungen zwischen () Alternative und Alternative () Alternative und Alternative 3 (3) Alternative und Alternative 3

9 b) Wie könnten die Ergebnisse in den einzelnen Umweltzuständen für eine Alternative A lauten, wenn A folgende Eigenschaften haben soll: A soll im Verhältnis zu A wahrscheinlichkeitsdominant, aber nicht Zustandsdominant sein. a) () keine Dominanz; () A 3 ist wahrscheinlichkeitsdominant und zustandsdominant (3) A 3 ist wahrscheinlichkeitsdominant und zustandsdominant b) A Aufgabe Ein Investor in einer Zwei-Zeitpunkt-Welt verfügt in t= über ein Anfangsvermögen in Höhe von 5000 Euro. Dem Investor stehen in t= vier sich gegenseitig ausschließende Investitionsobjekte zur Verfügung. Folgende Tabelle enthält die Zahlungsüberschüsse der einzelnen Objekte: IO t= t= a) Bestimmen Sie die Kurve der Investitionsmöglichkeiten, indem Sie die Funktionsgleichungen für den Investitionsrückfluss in t= in Abhängigkeit von der Investitionssumme in t= für die einzelnen Abschnitte der Kurve angeben. Veranschaulichen Sie Ihre Ergebnisse anschließend anhand einer Graphik, die unter anderem die Koordinaten der einzelnen Abschnittsenden enthält. b) Die Nutzenfunktion des Investors lautet U =, wobei t den Konsum im Zeitpunkt t angibt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen für die einzelnen Abschnitte der Transformationskurve. Berechnen Sie das optimale Investitionsprogramm, den nutzenmaximalen Konsumplan sowie das erreichbare Nutzenmaximum für eine Welt ohne Kapitalmarkt. Stellen Sie die Transformationskurve und die Ergebnisse Ihrer Berechnungen graphisch dar! c) Bearbeiten die Teilaufgabe b) unter der Bedingung, dass nun ein vollkommener Kapitalmarkt mit einem Zinssatz von 0% existiert. In welchem Umfang wird der Kapitalmarkt in Anspruch genommen? Fertigen Sie eine Skizze an, in der Ihr Lösungsansatz deutlich wird! Tragen Sie lediglich die für diese Teilaufgabe relevanten Ergebnisse ein! Welchen Wert müsste der Zins am vollkommenen Kapitalmarkt einnehmen, damit der Investor seinen Nutzen im vergleich zu Teilaufgabe b) nicht steigern kann?

10 d) Der Kapitalmarkt ist nun unvollkommen mit einem Habenzins von 3% und einem Sollzins von 6%. Außerdem unterliegen Zinserträge der Besteuerung. Zinsaufwand kann steuermindernd gelten gemacht werden und führt zu einer sofortigen Steuererstattung. Der konstante Steuersatz beträgt 37,5 %. Sachinvestitionen bleiben steuerfrei. Welche Investitionsobjekte werden nun realisiert? Berechnen Sie für den Investor den nutzenmaximalen Konsumplan einschließlich des Nutzenmaximums! e) Wie hoch ist der Kapitalwert des optimalen Investitionsprogramms gemäß Teilaufgabe c)? Wo kann er in der Zeichnung abgelesen werden? Begründung! a). Bereich: R( I) =, 5 I. Bereich: R ( I) =,5 I Bereich: R ( I) =,3 I Bereich: R ( I) =,5 I Bereich: R ( I) = I + 00 b). Bereich: = Bereich: =, =, , =,5 + =,5 +. = 9,5; = 3883,3; U =.30.08,33; I = 3. Bereich: 6. Bereich: Bereich: ,5 c) = 309,6; = 370; U = ,3; I = 00; M = 9,6 gleicher Nutzen wie b), wenn i = 33,3% d) = 9,5; = 3883,3; U =.30.08,33 e) KW =83,3