5. Jahrestagung Berlin. Formen und Veränderungen Geometrische Aktivitäten als Grundlage für fachliches Verständnis

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1 5/6 5./ SINUS Transfer Grundschule 5. Jahrestagung Berlin Formen und Veränderungen Geometrische Aktivitäten als Grundlage für fachliches Verständnis Workshop: Faltwinkel, rechte Winkel, Flächeninhalt Zusammenhänge im Geometrieunterricht verdeutlichen Renate Rasch, Universität Koblenz Landau, Campus Landau, Institut für Mathematik r rasch@uni landau.de landau.de/rasch

2 Workshop am , Uhr Faltwinkel, rechte Winkel, Flächeninhalt Zusammenhänge im Geometrieunterricht verdeutlichen Material: DIN A 4 Heft Hfohne Linien, i Zirkel, Geometriedreieck, Faltpapier, Schere, Klebstoff, Ein Ziel des Geometrieunterrichts in den Klassenstufen 1 6 sollte es sein, ein Fundament für geometrisches Wissen und Können aufzubauen, an das in den nachfolgenden Klassenstufen der Sekundarstufe I von den Lernenden immer wieder Wissen angelagert werden kann. Kinder im Grundschulalter sollten auf geometrische Zusammenhänge aufmerksam werden. Beziehungen zwischen Linien und Figuren, zwischen Figuren und ihren Teilen können handelnd erfahrbar gemacht werden. Dabei sollte nicht nur das Fl Falten und Schneiden Sh beachtet werden wichtig ihi für das Lernen von Geometrie ist ebenso ein handelnder Umgang gmit Zeichengeräten.

3 Didaktischer Ansatz ein möglichst dichtes beziehungshaltiges Wissen vermitteln, das auf Handlungen mit verschiedenen Medien beruht Dabei werden die Darstellungsmedien (Material, Zeichengeräte) gemeinsam genutzt. Eine Voraussetzung dafür dfüit ist eine frühe füh Verwendung des Zirkels.

4 Programm 1 Kreise und Vielecke 2 Rechtwinkligkeit und Flächeninhalt 3 Schnelle Schnelle Körper und Netze

5 1 Kreise und Vielecke Kreise Linien im Kreis Symmetrien Regelmäßige Vielecke

6 Kreise und Linien Zeichne zwei Geraden, die sich schneiden. Nutze den Schnittpunkt als Mittelpunkt eines Kreises. Aus den Geraden werden Strecken, die durch den Mittelpunkt des Kreises gehen, mit Anfangs und Endpunkt auf der Kreislinie. Solche Strecken heißen Durchmesser und die halbe Strecke (vom Mittelpunkt zur Kreislinie) Halbmesser (Radius).

7 DerHalbmesser (Radius, Radspeiche) bestimmt die Größe des Kreises. Er entspricht der Zirkelspanne beim Zeichnen eines Kreises. Alle Strecken durch hden Mittelpunkt sind Durchmesser und alle Halbmesser Radien. Zeichne mehrere Durchmesser indeinen Kreis. Vergleiche die Längen. Ein Durchmesser halbiert den Kreis. Es entstehen zwei Halbkreise. (Dreiecke über dem Halbkreis sind rechtwinklig.) Zwei idurchmesser eines Kreises, die sich ihsenkrecht zueinander verhalten, zerlegen den Kreis in vier gleiche Teile (Viertelkreise, Viertel). (Die Schnittpunkte der beiden Durchmesser mit der Kreislinie sind auch Eckpunkte eines Quadrates.)

8 Kreise und Symmetrie Der Kreis besitzt eine maximale Symmetrie. Jeder Durchmesser kann auch Symmetrieachse sein. Schneide einen Kreis ausund und überprüfe diese Behauptung durch Falten. Jeder Drehwinkel ist möglich. Überprüfe: Lege zwei gleichgroße Kreise übereinander, fixiere beide in der Mitte mit der Zirkelspitze und drehe den oberen Kreis nach links.

9 Linien und ihre Beziehungen Die Kreislinie ist ungefähr dreimal so groß wie der Durchmesser und sechsmal so groß wie der Halbmesser. Lege die Kreislinie mit einem Faden nach. Vergleiche die Länge der Kreislinie mit Durchmesser und Radius. h h d d Zeichne Kreise mit verschiedenem Radius. Überprüfe die Aussage.

10 Zeichne einen Kreis. Setze den Radius sechsmal auf die Kreislinie. Zeichne ausgehend von diesen Punkten wieder Kreise mit dem gleichen Radius. Kannst du erklären, warum die Kreise durch den Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises führen?

11 Zeichne einen Kreis. Setze den Radius sechsmal auf die Kreislinie. V bi d di P k i i d D häl Verbinde die Punkte miteinander. Du erhältst ein regelmäßiges Sechseck.

12 Kreise und Vielecke (Polygone) Wenn wir die Kreislinie in gleichgroße Abschnitte einteilen (mit dem Zirkel oder durch Falten), führen uns die entstehenden Punkte zu regelmäßigen Vielecken. Die Vielecke il liegen im Kreis (Umkreis) und man kann in diese Vielecke auch wieder einen Kreis zeichnen (Inkreis). Schneide einen Kreis aus. Falte zwei Durchmesser so, dass im Kreis vier gleichgroße Teile entstehen. Verbinde die vier Punkte auf der Kreislinie miteinander, du erhältst ein spezielles Viereck. Das Quadrat steht im Kreis auf dem Kopf.

13 Falte die vier Ecken des Quadrates zur Mitte. Du erhältst 12 Punkte auf der Kreislinie. Würdest du die Punkte miteinander verbinden, entstände ein regelmäßiges Zwölfeck (Ziffernblatt der Uhr). Verbindest du jeden zweiten Punkt miteinander, entsteht ein Sechseck. Verbindest du jeden dritten Punkt miteinander, entsteht ein gleichseitiges Dreieck. Nutze eine weitere Kreisvorlage und lasse das Sechseck und auf der anderen Seite des Faltkreises das gleichseitige Dreieck entstehen. Zeichne die Inkreise in die Figuren. Zerlege das Sechseck (zeichnerisch) in Dreiecke.

14 2 Faltwinkel, rechte Winkel, Flächeninhalt Am einfachsten ist die Flächenberechnung h bei rechtwinkligen Flächen. (Herleitung der Formel über dasauslegen mit Einheitsquadraten, Beispiele ) Diesen Vorteil versuchte man auch bei der Berechnung anderer Flächen zu nutzen. Man suchte nach Beziehungen zum Rechteck (nach rechtwinkligen Seitenbeziehungen). In manchen Figuren kann man die Höhe als Anhaltspunkt nutzen eine Strecke, die im rechten Winkel auf der zu ihr gehörenden Seite steht.

15 Frühe Erfahrungen ermöglichen Arithmetik: multiplikative Strukturen an Rechteckfeldern veranschaulichen (Kl. 2) rechtwinklige Beziehungen in der Geometrie spätestens ab Klasse 2 bewusst machen Faltwinkel Achsenkreuz Figuren, die sich über das Achsenkreuz entwickeln g, lassen (Quadrat, Raute, Drachenviereck)

16 Rechteckfläche und Dreieck Rechtwinklige Flächen kann man in zwei Dreiecke zerlegen. Das Dreieck belegt die Hälfte der Fläche. Man rechnet also die ganze Fläche aus und teilt dann durch 2. Mit Papier oder (und) Skizze arbeiten und Zusammenhänge verdeutlichen. Erläutern und Ableiten der Formel (aus a bwird g h). Zusammenhang an beliebigen Dreiecken zeigen

17 Rechteckfläche und Parallelogramm Für Rechteck und Parallelogramm l gilt die gleiche Flächenberechnung, da man jedes Rechteck in ein Parallelogramm verwandeln kann. Eine Seite des Rechtecks wird zur Höhe. Die Rechtwinkligkeit finden wir beim Parallelogramm also über die Höhe. Veränderung bezüglich der Formel bewusstmachen: Aus a bwird a h.

18 Rechteckfläche und Trapez Auch hbi beim Trapez nutzen wir die Höhe, um eine rechtwinklige Flächenbeziehung aufzubauen. Verwandlung des Rechteckes in ein Trapez Markieren der Höhe (beschriften der Seiten) Die Höhe verhält sich senkrecht zu beiden Parallelen (a und c). Da diese aber unterschiedlich lang sind, reicht a h zur Flächenberechnung nicht. Man muss beide Längen berücksichtigen. Man bildet den Durchschnitt der beiden Seitenlängen: also a und c addieren und dann durch 2 teilen. Formel ableiten und veranschaulichen

19 Rechtwinkligkeit bei Raute und Drachenviereck BiR Bei Raute und Drachenviereck kfinden wir die Rechtwinkligkeit, die wir zur Flächenberechnung brauchen, über die Diagonalen, die sich senkrecht schneiden (s. Faltwinkel, Achsenkreuz, Figuren im Achsenkreuz). Bauen wir aus den Diagonalen e und f ein rechteckiges Feld, erhalten wir die doppelte Flächengröße des ursprünglichen Vierecks (Dies gilt ebenso für das Quadrat, das wir ja auch im Achsenkreuz entdeckt hatten.) Für die Flächenberechnung h der Vierecke Raute, Drachenviereck, (Quadrat) gilt also : e f geteilt durch 2.

20 Rechteckfläche und Kreis Wo finden wir Rechtwinkligkeit k itim Kreis? Durchmesser, die sich senkrecht schneiden Diebeiden Durchmesser vierteln den Kreis. Wir betrachten ein Viertel, stellen uns eine vollständige rechteckige (quadratische) Fläche vor (r roder r²) und überlegen, wie oft diese Fläche in die ganze Kreisfläche passen würde. Viermal kann es nicht mehr sein, da wir ja schon Fläche dazu genommen haben. Ungefähr dreimal passt ein solches Kreisviertelquadrat in die Kreisfläche hinein, i genau π mal. Formel: r² π

21 3 Schnelle Schnelle Körper und Netze Würfel (Ecken, Kanten, Flächen, deckungsgleich) gg Würfelnetze Pyramiden (Tetraeder) Säulen (Prismen,,Q Quader, Zylinder) Kegel (Kegelstumpf)

22 4 Das Tangram altes chinesisches i h Legespiel im Jahr 1805 veröffentlicht in Neues chinesisches Rätselspiel für Kinder Siebenschlaubrett : 7 Teile (fünf gleichschenklig rechtwinklige Dreiecke in drei verschiedenen Größen, ein Quadrat, ein Parallelogramm) 22

23 Legen geometrischer Figuren Lerne zuerst, wie man ein kleines Quadrat legen kann (s. unten). Dann kannst du auch Rechteck, Dreieck, Trapez und Parallelogramm mit allen 7 Figuren legen. Finde auch ein Parallelogramm. 23