Hans Walser, Studie [ a] Zerlegungen des Zwölfeckes / Dissections of the Dodekagon
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- Linus Hauer
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1 Hans Walser, Studie [ a] Zerlegungen des Zwölfeckes / Dissections of the Dodekagon 1 Spielregeln 1.1 Gleichschenklige Dreiecke Regelmäßiges Zwölfeck Das regelmäßige Zwölfeck soll in gleichschenklige Dreiecke mit den Spitzenwinkeln 30, 60 (gleichseitiges Dreieck), 90 (halbes Quadrat), 120 oder 150 zerlegt werden. Die Größe der Dreiecke spielt keine Rolle. Die Bauteile
2 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Erweitertes Sortiment Aus zwei kongruenten gleichschenkligen Dreiecken können wir einen Rhombus zusammensetzen. Es ist daher sinnvoll, auch diese Rhomben als direkte Bauteile zuzulassen. Wir haben dann Rhomben mit den spitzen Winkeln 30 und 60 sowie das Quadrat. Dreiecke mit γ = 30 und γ =150 ergeben Rhomben derselben Form, ebenso Dreiecke mit γ = 60 und γ =120. Rhomben Aus sechs gleichseitigen Dreiecken lässt sich das regelmäßige Sechseck zusammensetzen. Auch dieses soll ein zulässiger Bauteil sein. Sechseck
3 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 3 2 Beispiele
4 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 4
5 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 5
6 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 6
7 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 7
8 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 8
9 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 9
10 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 10
11 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 11
12 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 12
13 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 13
14 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 14
15 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 15
16 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 16
17 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 17
18 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 18
19 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 19
20 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 20
21 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 21
22 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 22
23 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 23
24 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 24
25 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 25
26 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 26
27 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 27 3 Kommentierte Beispiele 3.1 Sonderformen Spezielles Parallelogramm Wie steht es mit den Parallelogrammen? Wir erhalten Parallelogramme mit dem Seitenverhältnis 2 :1 und dem spitzen Winkel 75. Ein solches Parallelogramm lässt sich aus unseren Bauteilen zusammensetzen. Zusammensetzung des Parallelogramms
28 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Konkaves Viereck Wie ist es mit den weißen konkaven Vierecken? Das konkave Vierreck lässt sich aus unseren Bauteilen zusammensetzen. Zusammensetzung des konkaven Viereckes
29 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Dreieck Zerlegung der weißen Dreiecke? Die ausgesparten weißen Dreiecke haben Winkel von 45, 60 und 75 und können zerlegt werden: Zerlegung eines Dreieckes
30 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Dreieck Zerlegung der weißen Dreiecke? Die ausgesparten weißen Dreiecke haben Winkel von 30, 45 und 105 und können zerlegt werden: Zerlegung eines Dreieckes
31 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Zwölfeck mit Diagonalen Zwölfeck mit sämtlichen Diagonalen Im regelmäßigen Zwölfeck zeichnen wir alle Diagonalen ein. Lassen sich alle Teile durch unsere Bauteile zusammensetzen?
32 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Bild des 6D-Würfels 6-D-Würfel in isometrischer Darstellung Der Umriss der isometrischen Darstellung des sechsdimensionalen Würfels ist ein regelmäßiges Zwölfeck. Lassen sich alle Teile durch unsere Bauteile zusammensetzen?
33 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Unendliche Folgen Häufungspunkt bei 12 Uhr Häufungspunkt im Uhrpunkt 12 In der oberen Hälfte lässt sich ein halb so großes regelmäßiges Zwölfeck aussparen und mit einer farblich veränderten halb so großen Kopie des ursprünglichen Zwölfeckes füllen. Der Prozess kann theoretisch ad infinitum iteriert werden. Wir erhalten eine Ausschöpfung des Zwölfeckes mit unendlich vielen Teilen.
34 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Häufungspunkt im Zentrum Schönes Beispiel Häufungspunkt im Zentrum Hier genügt es, einen den äußersten Kranz mit zwölf Dreiecken zu zeichnen und dann eine verkleinerte Kopie im Loch einzusetzen. Der Verkleinerungsfaktor c ist c = Die ausgesparten weißen Dreiecke sind gleichseitig. Die sichtbaren 2 Spiralen sind diskretisierte logarithmische Spiralen.
35 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Subtiles Beispiel Wie steht es mit dem ausgesparten weißen Dreieck? In diesem Beispiel ist das ausgesparte weiße Dreieck zu studieren. Es hat zunächst die Seiten a =1 und b = 2 sowie den Winkel γ =15. Mit Hilfe des Kosinussatzes erhalten wir c = ( )= ( 2 3) ; c ist die positive Lösung der quadratischen Gleichung c 2 + 2c 1= 0. Dies ist auch der Verkleinerungsfaktor von einem Kranz zum nächst inneren Kranz. Für die Winkel erhalten wir, was die Zeichnung suggeriert, nämlich α = 30 und β =145. Dieses Dreieck lässt sich aus unseren Bauteilen zusammensetzen. Zusammensetzung eines weißen Deieckes
36 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Fraktal Beginn eines Fraktales Wenn wir an mehreren Orten aussparen und verkleinerte Kopien einsetzen, entsteht ein Fraktal. In der Praxis ergeben sich Speicherprobleme. 4 Das Zwölfeck 4.1 Einfache Konstruktion In einem Karoraster zeichnen wir einen Kreis mit geradzahligem Radius. Damit erhalten wir die Uhrpunkte 3, 6, 9 und 12. Der Schnitt des Kreises mit den Mittelsenkrechten der waagerechten und senkrechten Radien liefert die restlichen Uhrpunkte 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 und 11.
37 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes Flächeninhalt Konstruktion Ein Zwölfeck mit dem Umkreisradius r hat den Flächeninhalt 3r 2. Dies kann mit Zerlegungsgleichheit gezeigt werden. Zerlegungsgleichheit Bei dieser Zerlegung werden Dreiecke und Dreiecke verwendet. Diese können aber auch aus unseren Bauteilen zusammengesetzt werden. 5 Zeichentechnik Zusammensetzung aus Bauteilen Die Figuren können mit dynamischer Geometrie-Software gezeichnet werden. Mit Vorteil generiert man für die Bauteile Makros in mehreren Farben.
38 Hans Walser: Zerlegung des Zwölfeckes 38 Inhalt Zerlegungen des Zwölfeckes / Dissections of the Dodekagon Spielregeln Gleichschenklige Dreiecke Erweitertes Sortiment Beispiele Kommentierte Beispiele Sonderformen Spezielles Parallelogramm Konkaves Viereck Dreieck Dreieck Zwölfeck mit Diagonalen Bild des 6D-Würfels Unendliche Folgen Häufungspunkt bei 12 Uhr Häufungspunkt im Zentrum Fraktal Das Zwölfeck Einfache Konstruktion Flächeninhalt Zeichentechnik Inhalt...38
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