(Max Bill) . Gilt A 0 A 4 A 2

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1 19 3. Reguläre Polygone (Max Bill) Definitionen: 1. Ein Polygon ist ein Streckenzug. Dieser kann geschlossen oder offen sein. (Wir betrachten nur ebene Polygone.) Die Ecken werden aufeinander folgend nummeriert: A 0, A 1,..., A n. Gilt A 0 = A n, so ist das Polygon geschlossen. A 0 = A 5 A 2 A 4 A 1 A 1 A 3 A 4 A 2 offen A 0 A 3 geschlossen 2. Ein geschlossenes ebenes Polygon heisst konvex, wenn mit je zwei Punkten im Innern des Polygons auch deren Verbindungsstrecke im Innern liegt. konvex nicht konvex

2 3. Ein (geschlossenes) Polygon heisst regulär, wenn alle Seite gleich lang und alle Innenwinkel gleich gross sind. 20 Zu jedem n 3 gibt es ein konvexes reguläres n-eck: Kreisteilung Beispiel Konstruieren Sie ein reguläres Sechseck und ein reguläres Sternsechseck.

3 21 Reguläres n -Eck r 5 θ n Für festes n sind je zwei konvexe reguläre n-ecke ähnlich. Reguläres n-eck: s n = Seite r n = Umkreisradius ρ n = Inkreisradius Polarkoordinaten einführen: r n,! n, 2! n,... r n = Umkreisradius! n = 2" n Ecke A k = A k (x k / y k ) mit x k = r n cos(k! n ), y k = r n sin(k! n ), 1 " k " n Welche Zusammenhänge bestehen zwischen s n, r n, ρ n? Berechnen Sie die Innenwinkel des regulären n-ecks. Welches ist der Flächeninhalt?

4 22 Konstruktionen regulärer n-ecke mit Zirkel und Lineal Euklid schränkte die für die Konstruktion zulässigen Hilfsmittel ein auf Zirkel und Lineal. In seinem Standardwerk "Elemente" (um 300 v. C.) gibt er Konstruktionen für das gleichseitige Dreieck, das Quadrat, das regelmässige Fünf- und Fünfzehneck an. Durch fortgesetzte Winkelhalbierung können also die folgenden n-ecke konstruiert werden. n = 3, 6, 12, 24,... n = 4, 8, 16, 32,... n = 5, 10, 20, 40,... n = 15, 30, 60, 120,... Welche weiteren regulären n-ecke können mit Euklids Hilfsmittel konstruiert werden? Carl Friedrich Gauss ( ) hat diese Frage mit 19 Jahren beantwortet. Satz von Gauss Ein reguläres n-eck kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn in der Primfaktorzerlegung von n jeder ungerade Primfaktor F k nur in erster Potenz vorkommt und dargestellt werden kann als ( ) F k = 2 2k + 1 k-te Fermat-Zahl n = 2 l! F i!f m Fermat-Zahlen: F 0 = 3 Primzahl F 1 = 5 Primzahl F 2 = 17 Primzahl F 3 = 257 Primzahl F 4 = Primzahl F 5 = = = keine Primzahl (Fermat hielt diese Zahl fälschlicherweise für prim.) Auch für die nächsten 11 Werte k = 6, 7,..., 15, 16 ist die Fermat-Zahl keine Primzahl. Kleines Fermat-Problem Es ist eine offene Frage, ob es ausser F 0 F 4 noch weitere Fermat-Zahlen gibt, die prim sind.

5 Nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind also die folgenden regulären n-ecke: 23 n = 7, 9, 11, 13, 18 (= ), 19, 114 (= )... H.W. Richmond gab eine einfache Konstruktion des reguläres 17-Ecks (1893). F.J. Richelot konstruierte 1832 das reguläre 257-Eck. Gauß hat nur bewiesen, dass das Eck konstruierbar ist. Wie dies zu bewerkstelligen ist, kann man nachlesen in: Johann Gustav Hermes : Über die Teilung des Kreises in gleiche Teile. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys.Klasse, Bd. 1894, Heft 3, S Hermes war Mathematiklehrer in Lingen arbeitete 10 Jahre am regulären Eck und deponierte das Manuskript in einem grossen, flachen Handkoffer im mathematischen Institut der Universität Göttingen. Dieses "Diarium der Kreisteilung" enthält auf 191 Blättern vom Format 47cm! 55 cm Konstruktionen und riesige Tabellen. Felix Klein hat Hermes für diese Fleissarbeit den Doktortitel der Universität Göttingen verliehen. Die Richtigkeit der Konstruktion hat wohl niemand nachgeprüft. Zwei Näherungskonstruktionen des regulären Siebeneck 1. Konstruktion: Gegeben ist der Umkreisradius r. AE sei ein Durchmesser, M der Kreismittelpunkt, D die Mitte von EM. Die Senkrechte zu AE durch D schneidet den Kreis in B und C. s 7! BD = s 3 2.

6 24 2. Konstruktion: Gegeben ist der Umkreisradius r. MB senkrecht auf Durchmesser AA'. Durchmesser in n (= 7) gleiche Teile teilen Strecken MA und MB um je ein Teilstück des Durchmessers verlängern. Strecke ED schneidet den Kreis in F und G. C ist von A aus der 3. Teilpunkt des Durchmessers s 7! CF Bemerkung: In gleicher Weise kann das reguläre 9-, 11-, 13-Eck konstruiert werden. C bleibt immer der 3. Teilpunkt. Diese Näherungskonstruktion heisst auch Schreinerkonstruktion, die 1. Konstruktion Glaserkonstruktion.