Theoretische Physik I: Weihnachtszettel Michael Czopnik

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1 Theoretische Physik I: Weihnachtszettel Michael Czopnik Aufgabe 1: Rudolph und der Weihnachtsmann Der Weihnachtsmann (Masse M) und sein Rentier Rudolph (Masse m) sind durch ein Seil mit konstanter Länge l miteinander verbunden. Das Seil gleite durch den Kamin im Hausdach, so dass sich Rudolph frei auf dem Dach bewegen kann, während sich der Weihnachtsmann nur vertikal bewegt (vgl. Skizze (ohne Reibung)). (a) Stellen Sie die Hamiltonfunktion und die kanonischen Bewegungsgleichungen auf. (b) Suchen Sie Gleichgewichtslösungen r = const und berechnen Sie die Frequenz kleiner Schwingungen um das Gleichgewicht. Aufgabe 2: Coriolis-Kraft Die Newtonsche Bewegungsgleichung in einem rotierenden System (mit Winkelgeschwindigkeit ω) lautet: m x = F m[ ω x + 2 ω x + ω ( ω x)] (a) Warum handelt es sich hier nicht um ein Inertialsystem? (b) Skizzieren Sie die Richtung der Coriolis-Kraft (links oder rechts bzgl. x) für einen Massenpunkt, der sich entlang des nullten Längengrads vom Nordpol zum Südpol bewegt und dann zurück zum Nordpol entlang des 180. Längengerads.

2 Aufgabe 3: Gekoppelte Weihnachtsglocken Drei gleiche Weihnachtsglocken (Masse m, Länge l) sind durch zwei ideale Federn derselben Federkonstante k verbunden und bewegen sich im homogenen Schwerefeld der Erde. Die Länge jeder der unbelasteten Federn ist jeweils gleich dem Abstand der Aufhängungspunkte der zwei durch sie verbundenen Glocken. (a) Formulieren Sie die Lagrange-Funktion im Falle kleiner Auslenkungen. (b) Leiten Sie daraus die Bewegungsgleichungen ab. (c) Zeigen Sie durch Rechnung, dass ω 2 1 = g l + k m, ω2 2 = g l, ω2 3 = g l + 3k m die Eigenfrequenzen des Systems sind. (d) Berechnen Sie die zu den zwei langsamsten Eigenschwingungen gehörenden Normalschwingungen (Eigenvektoren). Aufgabe 4: Trägheitstensor Berechnen Sie die Hauptträgheitsmomente und Hauptträgheitsachsen des Trägheitstensors J = kgm

3 Aufgabe 5: Massepunkt im Kreiskegel Ein Massepunkt mit Masse m bewege sich unter Einfluss der (erdnahen) Schwerkraft reibungsfrei auf der Innenseite eines Kreiskegels, dessen Symmetrieachse senkrecht auf der Erdoberfläche steht und der nach oben offen ist, siehe Figur, 0 < α < π/2. (a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf. (b) Welche (kinematischen) Größen sind aus welchen Gründen erhalten? (c) Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion. Ist diese gleich der Energie? (d) Stellen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichung auf. (e) Bestimmen Sie die Zwangskräfte. Aufgabe 6: ebenes Pendel Der Aufhängepunkt x 0, y 0 eines ebenen Pendels (Masse m, Länge l) werde horizontal harmonisch bewegt, x 0 (t) = A cos Ωt, y 0 (t) = 0. (a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung im erdnahem Gravitationsfeld auf. (b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für kleine Ausschläge ϕ und die Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ(0) = 0. 3

4 Aufgabe 7: Ringbahn Eine Perle der Masse m bewege sich reibungsfrei unter dem Einfluß der Schwerkraft, g = g e y, auf einer kreisförmigen Bahn. (a) Stellen Sie die Lagrangefunktion auf. Verwenden Sie dazu eine geeignete verallgemeinerte Koordinate. Machen Sie eine Skizze. (b) Stellen Sie die Euler-Lagrange-Gleichung auf und leiten Sie die Bewegungsgleichung für die verallgemeinerte Koordinate her. (c) Die Perle ruhe zur Zeit t = 0 auf halber Höhe (z.b. auf 9 Uhr). Leiten Sie die Formel her, mit der die Zeit berechnet werden könnte, in der die Perle den unteren Halbkreis durchläuft Aufgabe 8: Lösung des harmonischen Oszillators mittels Poisson- Klammern Die Poisson-Klammern zweier klassischer Observabler sind wie folgt definiert [f, g] {f, g} := ( f g f ) g q i i p i p i q i Dabei sind q i die generalisierten Koordinaten und p i die generalisierten Impulse. Mit Hilfe der Poisson-Klammern kann man die Zeitentwicklung des harmonischen Oszillators bestimmen. Gehen Sie dabei in folgenden Schritten vor: (a) Stellen Sie die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators mit der Frequenz ω sowie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen auf (b) Nehmen Sie nun an, Sie kennten die Funktion q(t). Entwickeln Sie diese Funktion in eine Taylor- Reihe und bestimmen Sie die Entwicklungskoeffizienten über Poisson-Klammern mit der Hamiltonfunktion. Vereinfachen Sie die entstandene Reihe 4

5 Aufgabe 9: Elektrische Felder Berechnen Sie das elektrische Feld von: (a) Rudolph s roter Nase, wobei Sie diese als punktförmig annehmen dürfen. (b) Einer Weihnachtsbaumkugel. (c) Wie sieht die Ladungsverteilung von n Elektronen auf einer Kugeloberfläche aus? Skizzieren Sie den Fall für n = 2, 3. Können Sie etwas über n sagen? Aufgabe 10: Kontinuitätsgleichung Leiten Sie die Kontinuitätsgleichung für Ladung und Strom aus den Maxwellschen Gleichungen ab. Aufgabe 11: Kreisförmiger Leiter Ein unendlich dünner metallischer Leiter sei zu einer kreisförmigen Schleife mit Radius R geformt und werde von einem Strom I durchflossen. Bestimmen Sie das magnetische Feld B auf der Symmetrieachse des Leiters. Aufgabe 12: Kreisförmige Leiterschleife Eine kreisförmige Leiterschleife mit dem Radius R bewege sich mit konstanter Geschwindigkeit v senkrecht zu ihrer Ebene im Feld eines magnetischen Dipols m im Ursprung. Die Bahn des Zentrums der Schleife verläuft durch den Ursprung, siehe Figur. (a) Berechnen Sie den magnetischen Fluß φ durch die Schleife. (Hinweis: in kartesischen Koordinaten rechnen) (b) Welche Spannung U wird in der Leiterschleife induziert? 5

6 Aufgabe 13: Lösung von Maxwell Gleichungen Wir betrachten den Ansatz E( x, t) = α e 1 cos(ωt kz), B( x, t) = β e2 cos(ωt qz) wobei ω eine gegebene Konstante ist, und k, q, α, β zu bestimmende Konstanten sind. Welche Bedingungen müssen k, q, α, β erfüllen, so dass E und B Lösungen von Maxwell-Gleichungen im Vakuum sind? Aufgabe 14: Wasserstoffatom Das elektrostatische Potential in einem Wasserstoffatom im Grundzustand ist von der Form Φ = e ( 1 + r ) ( exp 2r ) r a B a B Dabei ist e die Elementarladung und a B = 0, 53Å der Bohrsche Radius. (a) Bestimmen Sie das elektrische Feld E(r) und die Ladungsdichte ϱ(r). (b) Berechnen Sie mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes die Ladung q(r) und interpretieren Sie das Resultat. Aufgabe 15: Plattensender Ein PPlattensenderërzeugt rechts und links der Ebene x 1 = 0 das elektrische Feld E( x, t) = E 0 e 2 [Θ(x 1 ) cos(kx 1 ωt) + Θ( x 1 ) cos(kx 1 + ωt)] Dabei ist Θ(x) die Stufenfunktion und ω = c k. Berechnen Sie, welche Stromdichte J( x, t) man braucht, um dieses Feld zu erzeugen. Geben Sie zunächst einen Ausdruck für B( x, t) an. 6

7 Aufgabe 16: Bewegung eines Teilchens im elektromagnetischen Feld Die kovariante Bewegungsgleichung eines Teilchens im elektromagnetischen Feld lautet dp µ dτ = q c F µν u ν (a) Wie erhält man daraus den üblichen Ausdruck für die Lorentz-Kraft? (b) Zeigen Sie, dass p 2 = p µ p µ eine Erhaltungsgröße ist. (c) Wie verhält sich p 2, falls wir einen zusätlichen Term Γp µ auf der rechten Seite hinzufügen? Wäre ein solcher Term physikalisch sinnvoll? Aufgabe 17: Zerfall Ein instabiles Teilchen (nicht unbedingt in Ruhe) zerfällt in zwei Teilchen. Im Detektor werden die Impulse p b, p c der Zerfallsprodukte gemessen, und ihre Massen m b, m c seien auch bekannt. Wie bekommt man die Masse m a des zerfallenden Teilchens? Wünsche euch frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!! 7