16. Platonische Körper kombinatorisch

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "16. Platonische Körper kombinatorisch"

Transkript

1 16. Platonische Körper kombinatorisch Ein Würfel zeigt uns, daß es Polyeder gibt, wo in jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenlaufen, und jede Fläche von gleich vielen Kanten berandet wird. Das Tetraeder und das Oktaeder sind ebenfalls Beispiele von solchen regulären Polyedern. Wir wollen uns überlegen, wieviele Polyeder es gibt, wo in jeder Ecke die gleiche Anzahl von n m-ecken zusammenstößt. Dazu verwenden wir die Eulersche Polyederformel. Wir nehmen an, daß ein solches Polyeder aus f m- Ecken besteht, und e Ecken sowie k Kanten besitzt. Zählen wir für alle Flächen die Randkanten, und summieren wir auf, so haben wir jede Kante des Polyeders genau zweimal gezählt. Daher ist (1) k = mf 2. Zählen wir für jede Ecke die Anzahl der an ihr beteiligten Kanten, und summieren wir auf, so haben wir jede Polyederkante genau zweimal gezählt. Es ist daher (2) k = en 2. Wir setzen ein in die eulersche Polyederformel (3) e + f k = 2 und erhalten (4) woraus 2k n + 2k m k = 2, 1 (5) n + 1 m 1 2 = 1 k folgt. Nachdem die rechte Seite dieser Gleichung positiv ist, folgt 1 (6) n + 1 m > 1 2. Weiters ist m 3 (Zweiecke gibt es nicht). Es bleibt nur die folgende Tabelle an Möglichkeiten übrig: (7) m n 1 n + 1 m k e = 2k m f = 2k n 3 3 2/ / / / / Die Kombinationen (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 6) führen auf Werte von 1/n+1/m, die nicht größer als 1/2 sind, und kommen daher nicht in Frage. Noch größere Werte für n, m folglich noch weniger. Die zu den erhaltenen Werten von n und m gehörigen Polyeder (die platonischen Körper) sind unten schematisch aufgezeichnet. Es handelt sich dabei um Tetraeder, Hexaeder (wovon der Würfel ein Beispiel ist), Oktaeder, Pentagondodekaeder, und Ikosaeder. Daß Tetraeder, Oktaeder, und Ikosaeder tatsächlich existieren, ist sehr leicht zu zeigen: Wir wählen die Eckpunkte ungefähr richtig und zeichnen die Kanten dazwischen ein. Daß der Würfel und damit ein Hexaeder existiert, darf als bekannt vorausgesetzt werden. Die Existenz eines Pentagondodekaeders ist nicht vollständig trivial, denn man muß man die Ecken so wählen, daß die 5, die ein Fünfeck bilden sollen, auch tatsächlich in einer Ebene liegen. Das macht man am besten dadurch, daß man die 12 Seitenflächen wählt, und die Kanten bzw. Ecken durch Schneiden von Seitenflächen erzeugt. Reguläre Platonische Körper, wo die Seitenflächen regelmäßige Vielecke sind, gibt es auch. Dazu sei auf?? und?? verwiesen.

2 17. Die Platonischen Körper metrisch I Wir suchen unter den Tetraedern, Hexaedern, Oktaeder, Ikosaedern, und Pentagondodekaeders metrisch reguläre Vertreter, deren Seiten regelmäßige Vielecke gleicher Größe sind. Wir werden den Würfel, das reguläre Hexaeder, zur Konstruktion weiterer regulärer Polyeder benützen. Oktaeder und Tetraeder Verbindet man die 6 Flächenmitten eines Würfels mit 12 Kanten, so entstehen 8 gleichseitige Dreiecke, also ein reguläres Oktaeder. Wählt man von den 8 Ecken eines Würfels 4 aus, sodaß nie 2 benachbart sind, und verbindet man diese durch 6 Flächendiagonalen, so entstehen 4 gleichseitige Dreiecke, also ein reguläres Tetraeder. Ikosaeder Will man die Konstruktion schriftlich beschreiben, tut man das am besten über Koordinaten: Wir betrachten den Würfel mit Ecken (±1, ±1, ±1) aus und zeichnen in dessen Seitenflächen die 12 Punkte (1) (±1, 0, ±α), (±α, ±1, 0), (0, ±α, ±1) ein (0 < α < 1). Verbindet man jeden dieser Punkte mit seinen 5 nächsten Nachbarn, z.b. den Punkt (1, 0, α) mit (2) (1, 0, α), (α, ±1, 0), (0, ±α, 1), so erhält man ein Ikosaeder mit zwei verschiedenen Typen von Kanten. Deren Längen sind (3) (4) (1, 0, α) (1, 0, α) = 2α, (1, 0, α) (α, 1, 0) = (1 α) α 2. Alle Kanten sind gleich lang, wenn (5) 2α = (1 α) α 2, d.h. α = ( 5 1)/2 = Bemerkung: Die Zahl ( 5 1)/2 ist goldene Schnitt.

3 18. Die Platonischen Körper metrisch II: Das Dodekaeder Pentagondodekaeder Wir wollen uns davon überzeugen, daß es ein reguläres Pentagondodekaeder gibt, d.h. einen Körper, der von 12 regulären Fünfecken berandet wird, sodaß in jeder Ecke drei Fünfecke zusammenstoßen. Eine Abwicklung einer solchen polyhedralen Flächen in die Ebene läßt sich leicht angeben (siehe Figur). Biegt man die fünf 5- ecke rund um ein Fünfeck auf und klebt sie entlang ihrer Seiten aneinander, so ensteht ein Korb. Zwei solcher Körbe lassen sich zu einem Pentagondodekaeder zusammensetzen. Die Frage ist nur: Warum passen zwei solche Körbe ineinander? Wir werden das Problem anders lösen, nämlich indem wir auf jede Seitenfläche eines Würfels (dessen Existenz als bekannt vorausgesetzt wird), ein Dach errichten, und zwar so, daß immer zwei Dachflächen, die entlang einer Würfelkante zusammentreffen, miteinander ein reguläres Fünfeck bilden (siehe Figur). Sei b = ( 5 1)/2 (der goldenen Schnitt), und sei 1 die Länge der Würfelkante. Ein Dach sei durch die in der Figur unten angegebenen Abmessungen festgelegt. Wir nehmen nun sechs Dächer und setzen sie wie unten angegeben auf die 6 Würfelseiten. Es sind nun folgende Dinge zu zeigen: (i) zwei Dachflächen, die entlang einer Würfelkante zusammentreffen, liegen in einer gemeinsamen Ebene, (ii) alle Kanten des so entstehenden Polyeders haben dieselbe Länge, und (iii) die entstehenden Fünfecke sind regelmäßig (dies kann etwa durch Längengleichheit ausreichend vieler Diagonalen gezeigt werden). Um (i) nachzuweisen, müssen wir α + β = 90 (siehe Figur) zeigen. Dies folgt aus der Ähnlichkeit der beiden rechtwinkeligen Dreiecke mit Katheten 1/2, b/2, sowie mit Katheten b/2, (1 b)/2, die man leicht nachrechnen kann: (1/2) : (b/2) = (b/2) : ((1 b)/2). (ii) besteht aus mehrmaligem Anwenden des Satzes des Pythagoras: Es ist tatsächlich ((1 b)/2) 2 + (1/2) 2 + (b/2) 2 = b 2, also haben alle Kanten die Länge b. (iii) Ein Fünfeck kann lauter gleiche Kanten haben, ohne regulär zu sein. Wenn alle Diagonalen gleich lang sind, ist das Fünfeck regelmäßig. Es reicht aber zu zeigen, dass die Diagonale eines Fünfecks, die auf einer Würfelkante liegt, und die Diagonalen des Trapezes, das eine Dachfläche bildet, gleich lang sind.

4 19. Flächeninhalt von sphärischen Dreiecken Auf einer Kugel wird die Rolle der Geraden von den Großkreisen eingenommen. Das sind Kreise, deren Ebenen durch den Kugelmittelpunkt gehen. Zwei Punkte, die einander nicht gegenüberliegen, haben immer einen eindeutigen Großkreis als kürzeste Verbindung. Sind drei Punkte A, B, C auf einer Kugel gegeben, so teilen die drei Großkreisbögen a, b, c, die dadurch bestimmt sind, die Kugel in acht Teile. Der kleinere davon heißt das sphärische Dreieck mit Ecken A, B, C und Seiten a, b, c (wir wählen die Bezeichnungen hier so, daß immer Ecke und gegenüberliegende Seite durch den gleichen Buchstaben bezeichnet werden). Die Innenwinkel bei A, B, C seien α, β, γ. Wir betrachen ein sphärischen Zweieck mit Öffnungswinkel α: Es ist begrenzt durch zwei Großkreisbögen, die einen Winkel α einschließen. Alle Großkreisbögen im Inneres dieses Winkels gehören zum Zweieck dazu. Für α = π erhalten wir eine Halbkugel als Zweieck, und im Grenzfall α = 2π (die beiden Großkreisbögen fallen zusammen) erhalten wir die Vollkugel. Die Fläche A eines sphärischen Zweiecks ist offenbar linear proportional zum Öffnungswinkel. Nachdem die Oberfläche der Vollkugel (α = 2π) bekannt ist und 4πr 2 beträgt, haben wir A = 2αr 2. Für ein sphärisches Dreieck ABC teilen die Großkreise die die Seiten a, b, c tragen, die Kugel in insgesamt 8 Dreiecke (1) ABC, ABC, AB C, A BC, A B C, A BC, AB C, A B C (siehe Figur). Dabei sind A, B, C die A, B, C gegenüberliegenden Punkte. Zwei dieser Dreiecke, zum Beispiel ABC und A BC, können einander zu einem sphärisches Zweieck ergänzen, das in diesem speziellen Fall den Öffnungswinkel α besitzt. Insgesamt können wir also die folgenden Gleichungen für die Flächeninhalte der 8 Dreiecke hinschreiben: ABC + A BC = 2αr 2 A B C + AB C = 2αr 2 ABC + AB C = 2βr 2 A B C + A BC = 2βr 2 ABC + ABC = 2γr 2 A B C + A B C = 2γr 2 Addiert man diese 6 Gleichungen, so ist die Summe der Dreiecke aus Gl. (??) gleich 4πr 2, und wir erhalten 2ABC + 2A B C + 4πr 2 = 4αr 2 + 4βr 2 + 4γr 2 Die Flächen von ABC und A B C sind gleich, die beiden Dreiecke gehen auseinander durch Spiegelung am Kugelmittelpunkt hervor. Es folgt also für die Fläche des Dreiecks ABC der Wert r 2 (α + β + γ π). Damit ist auch gezeigt, daß die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks nicht 180 beträgt, sondern abhängig von der Fläche größer als 180 ist.

5 20. Winkelsummen in der euklidischen und sphärischen Geometrie Satz 1. In der euklidischen Geometrie ist die Winkelsumme im Dreieck gleich 180. Beweis. siehe untenstehende Skizze. Satz 2. In der sphärischen Geometrie ist die Winkelsumme im Dreieck gleich π + A/r 2, mit A als Fläche des Dreiecks Beweis. In Nr.?? wurde für den Flächeninhalt der Wert (α + β + γ π)r 2 hergeleitet, wobei α, βγ die Innenwinkel sind. Um allgemein eine Aussage über die Winkelsumme in einem n-eck zu erhalten, betrachten wir den Exzeß eines Vielecks: Dieser ist definiert aus Summe der Innenwinkel minus π(n 2). Die obige Aussage über die Winkelsumme eines Dreiecks in der euklidischen Ebene kann man auch so formulieren, daß sein Exzeß gleich Null ist. Der Exzeß ist gleichermaßen für euklidische und für sphärische Vielecke definiert. Nach Satz?? ist der Exzeß in einem sphärischen Dreieck gleich A/r 2. Macht man aus einem n-eck ein (n + 1)-Eck, indem man eine Seite durch einen neuen Eckpunkt unterteilt, so erhöht sich die Winkelsumme um π, die Anzahl der Ecken um 1, der Exzeß bleibt gleich (siehe Figur). Satz 3. Zerlegt man ein n-eck durch eine Strecke in ein n 1 -Eck und ein n 2 -Eck, und sind S, S 1 und S 2 die entsprechenden Winkelsummen, so gilt S 1 + S 2 = S. Beweis. Betrachen wir eine Ecke, die sowohl dem n 1 -als auch dem n 2 -Eck gemeinsam ist, dann ist die Summe der Innenwinkel des n 1 -und des n 2 -Ecks gleich dem Innenwinkel des n-ecks an dieser Stelle. Für die Winkelsummen S 1, S 2 und S des n 1 -, des n 2 -, und des n-ecks gilt also S 1 + S 2 = S. Satz 4. Der Exzeß ist additiv, d.h. zerlegt man ein n-eck durch eine Strecke in ein n 1 -Eck und ein n 2 - Eck, und sind e,e 1 und e 2 die entsprechenden Ezxesse, so gilt e 1 + e 2 = e. Beweis. Offenbar ist n = n 1 +n 2 2, denn in es gibt genau 2 Ecken, die sowohl dem n-ecke, als auch dem n 1 -Eck und dem n 2 -Eck angehören. Damit ist e 1 + e 2 = S 1 (n 1 2)π + S 2 (n 2 2)π = S (n 2)π = e. Satz 5. Die Winkelsumme in einem n-eck in der euklidischen Ebene beträgt (n 2)π. Der Exzeß ist gleich Null. Beweis. Es genügt zu zeigen, daß der Exzeß gleich Null ist. Wir können jedes n-eck durch eine Strecke in Vielecke kleinerer Eckenzahl zerteilen. Nachdem der Exzeß sich dabei additiv verhält, und wir bereits wissen, daß der Exzeß für Dreiecke gleich Null ist, gilt dies auch für Vierecke, 5-Ecke, etc., d.h. für alle n-ecke. Satz 6. Die Winkelsumme in einem n-eck auf einer Kugel vom Radius r ist gleich A/r 2 + (n 2)π, wobei A die Fläche ist. Der Exzeß ist gleich A/r 2. Beweis. Es genügt offenbar, e = A/r 2 zu zeigen. Für Dreiecke gilt diese Gleichung. Wir können jedes n- Eck durch eine sphärische Strecke (d.h. einen Großkreisbogen) in Vieleck kleinerer Eckenzahlen n 1, n 2 unterteilen. Wir führen einen Induktionsbeweis: Angenommen, wir hätten den Satz für n 1 -und n 2 -Ecke bereits gezeigt. Seien A 1, A 2 die Flächen der beiden Teile. Dann ist A 1 + A 2 = A und e 1 + e 2 = e. Es folgt e = e 1 +e 2 = A 1 /r 2 +A 2 /r 2 = (A 1 +A 2 )/r 2 = A/r 2.

Körper zum Selberbauen Polydron

Körper zum Selberbauen Polydron Körper zum Selberbauen Polydron Was versteht man unter Polydron? Polydron ist ein von Edward Harvey erfundenes intelligentes Spielzeug, mit dem man verschiedene geometrische Figuren bauen kann. Es ist

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: convex.tex,v /10/22 15:58:28 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: convex.tex,v /10/22 15:58:28 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.12 2013/10/22 15:58:28 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3.1 Konvexe Polyeder Wir hatten einen konvexen Polyeder P im R n als die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten definiert, wobei

Mehr

Über die regelmäßigen Platonischen Körper

Über die regelmäßigen Platonischen Körper Hermann König, Mathematisches Seminar Studieninformationstage an der Universität Kiel Über die regelmäßigen Platonischen Körper Winkelsumme im n-eck Zerlegung eines ebenen n-ecks in (n-2) Dreiecke, oben

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $ $Id: convex.tex,v.28 206/05/3 4:42:55 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3. Konvexe Polyeder In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit konvexen Polyedern zu befassen, diese sind die Verallgemeinerung der

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2016 Dienstag $Id: convex.tex,v /05/24 15:01:13 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2016 Dienstag $Id: convex.tex,v /05/24 15:01:13 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.29 2016/05/24 15:01:13 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3.2 Die platonischen Körper Am Ende der letzten Sitzung hatten wir die sogenannten platonische Körper eingeführt, ein platonischer

Mehr

Polyeder, Konvexität, Platonische und archimedische Körper

Polyeder, Konvexität, Platonische und archimedische Körper Unter einem Polyeder verstehen wir einen zusammenhängenden Teil des dreidimensionalen Raumes der durch Polygone begrenzt wird. Seine Oberfläche besteht also aus Punkten (Ecken genannt), Strecken (Kanten

Mehr

2.4A. Reguläre Polyeder (Platonische Körper)

2.4A. Reguläre Polyeder (Platonische Körper) .A. Reguläre Polyeder (Platonische Körper) Wie schon in der Antike bekannt war, gibt es genau fünf konvexe reguläre Polyeder, d.h. solche, die von lauter kongruenten regelmäßigen Vielecken begrenzt sind:

Mehr

11. Geometrische Extremalprobleme I

11. Geometrische Extremalprobleme I 11. Geometrische Extremalprobleme I Die hier behandelten geometrischen Extremalprobleme beruhen auf der Dreiecksungleichung Satz 1. Sind A, B, C drei Punkte der euklidischen Ebene mit A B, dann ist (1)

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Zahlen 7 1.1 Zahlen und Zahlenmengen....................................... 7 1.2 Rechnen mit Zahlen und Termen....................................

Mehr

Stereometrie. Rainer Hauser. Dezember 2010

Stereometrie. Rainer Hauser. Dezember 2010 Stereometrie Rainer Hauser Dezember 2010 1 Einleitung 1.1 Beziehungen im Raum Im dreidimensionalen Euklid schen Raum sind Punkte nulldimensionale, Geraden eindimensionale und Ebenen zweidimensionale Unterräume.

Mehr

Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene. Schrägbild

Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene. Schrägbild Mathematik Bl Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene Schrägbild Das Bild bei einer schrägen Parallelprojektion heisst Schrägbild und wird durch folgende Merkmale bestimmt: - Zur Zeichenebene

Mehr

Eulerscher Polyedersatz

Eulerscher Polyedersatz Eigenschaften als reguläre Parkettierungen der Sphäre Seien E die der Ecken, F die der Flächen und K die der Kanten eines konvexen Polyeders, dann gilt: K E = F 2 als reguläre Parkettierungen der Sphäre

Mehr

BMT A BAYERISCHER MATHEMATIK-TEST FÜR DIE JAHRGANGSSTUFE 8 DER GYMNASIEN PUNKTE: / 21 NOTE:

BMT A BAYERISCHER MATHEMATIK-TEST FÜR DIE JAHRGANGSSTUFE 8 DER GYMNASIEN PUNKTE: / 21 NOTE: BMT8 2009-1 - A BAYERISCHER MATHEMATIK-TEST FÜR DIE JAHRGANGSSTUFE 8 DER GYMNASIEN NAME: KLASSE: PUNKTE: 1 NOTE: Aufgabe 1 Ein Würfel der Kantenlänge 2 cm wird, wie in der Abbildung dargestellt, durch

Mehr

11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen

11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen Chr.Nelius: Graphentheorie (WS 2016/17) 38 11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen (11.1) BEM: a) Ein Polyeder (auch Vielflach oder Vielflächner) ist ein geometrischer Körper, der nur von

Mehr

Eulerscher Polyedersatz

Eulerscher Polyedersatz Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Eulerscher Polyedersatz Beweis durch planare Graphen und Anwendung auf platonische Körper Die oben abgebildete Briefmarke wurde

Mehr

Sphärische Zwei - und Dreiecke

Sphärische Zwei - und Dreiecke TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND Sphärische Zwei - und Dreiecke Proseminar innerhalb des Lehramtsstudiums im Fach Mathematik Meryem Öcal Matrikelnummer 168833 Studiengang LABG 2009 Prüfer: Prof. Dr. Lorenz

Mehr

Hans Walser, [ a] Polygone im Raum Anregung: Chr. W., B.

Hans Walser, [ a] Polygone im Raum Anregung: Chr. W., B. Hans Walser, [20080316a] Polygone im Raum Anregung: Chr. W., B. 1 Worum es geht Wir untersuchen die Winkelsumme von geschlossenen räumlichen Polygonen. Diese Winkelsumme ist kleiner oder gleich der Winkelsumme

Mehr

Fußbälle, platonische und archimedische Körper

Fußbälle, platonische und archimedische Körper Fußbälle, platonische und archimedische Körper Prof. Dr. Wolfram Koepf http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf Was ist ein Fußball? Sepp Herberger: Der Ball ist rund. Ist also ein Fußball eine Kugel?

Mehr

Polyeder und Platonische Körper

Polyeder und Platonische Körper Polyeder und Platonische Körper Ausarbeitung zum 30.11.2016 Linus Leopold Boes Matrikelnummer: 2446248 Algorithmen für planare Graphen Institut für Informatik HHU Düsseldorf Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

Mehr

Der Eulersche Polyedersatz

Der Eulersche Polyedersatz Der Eulersche Polyedersatz Def Die Anzahl der k Seiten eines konvexen Polytops P bezeichnen wir mit f k (P) oder kurz mit f k. Das n Tupel (f 0,f 1,...,f n 1 ) Z n heißt dann der f Vektor des (n dimensionalen)

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002

Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Name, Vorname... Matr.Nr.... Semester-Anzahl im SS 2002:... Studiengang GH/R/S Tutor/in:... Aufg.1 Aufg,2 Aufg.3 Aufg.4 Aufg.5 Aufg.6 Aufg.7 Aufg.8 Gesamt

Mehr

21. Die Formel von Pick

21. Die Formel von Pick 21. Die Formel von Pick Ein Polygon P, dessen Ecken bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems ganzzahlige Koordinaten besitzen, soll Gitterpolygon heißen. Für geschlossene überschneidungsfreie Gitterpolygone

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006. Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev. Geometrie

Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006. Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev. Geometrie Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin Geometrie Aufgabe G.1 Berechne die Innenwinkelsumme eines n-ecks. Aufgabe G.2 Zeige, dass

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

Eulerscher Polyedersatz

Eulerscher Polyedersatz Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Eulerscher Polyedersatz Beweis durch planare Graphen und Anwendung auf platonische Körper Die oben abgebildete Briefmarke wurde

Mehr

Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2.

Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2. GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Seite 1 Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe: 2. Mai 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle

Mehr

5 Sphärische Trigonometrie

5 Sphärische Trigonometrie $Id: sphaere.tex,v 1.5 2013/08/13 17:21:33 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie m Ende der letzten Sitzung hatten wir mit der Untersuchung sphärischer Dreiecke begonnen. Gegeben war eine Sphäre K, oder

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

Das Prisma ==================================================================

Das Prisma ================================================================== Das Prisma ================================================================== Wird ein Körper von n Rechtecken und zwei kongruenten und senkrecht übereinander liegenden n-ecken begrenzt, dann heißt der

Mehr

Körper kennen lernen Station 1

Körper kennen lernen Station 1 Körper kennen lernen Station 1 Aufgabe 1.1) Der kleine Lars hat mit Bauklötzen eine Stadt nachgebaut. Welche Teile (geometrische Körper) hat er dabei verwendet? Fertigt eine Liste an. Aufgabe 1.2) Viele

Mehr

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1 Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie. Bei einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 00 cm beträgt die Seitenkante 3 cm. a) Welche Höhe hat die Pyramide? b) Wie groß

Mehr

1. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen

1. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen 1. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 1. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulolympiade) Klasse 11 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit

Mehr

2.6. Aufgaben zu Kongruenzabbildungen

2.6. Aufgaben zu Kongruenzabbildungen Aufgabe.6. Aufgaben zu Kongruenzabbildungen Gegeben sind die Dreiecke ABC mit A(0 ), B( 0) und C(3 0) sowie A B C mit A ( ), B (3 ) und C ( ). Beschreibe die Abbildung, die das Dreieck ABC auf das Dreieck

Mehr

Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 3E am

Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 3E am Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 3E am 22.05.2014 SCHÜLERNAME: Gruppe A Lehrer: Dr. D. B. Westra Punkteanzahl : von 24 Punkten NOTE: NOTENSCHLÜSSEL 23-24 Punkte Sehr Gut (1) 20-22 Punkte Gut (2) 16-19

Mehr

Geometrie für den Mathematikunterricht. Unterlagen

Geometrie für den Mathematikunterricht. Unterlagen Geometrie für den Mathematikunterricht Unterlagen Proseminar Wintersemester 2003/2004 (LVA Nr. 113.071) J. Wallner, Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie, TU Wien 1 Inhaltsverzeichnis Elementare

Mehr

Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A Bremen. Die Kursübersicht für das Fach Mathematik

Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A Bremen. Die Kursübersicht für das Fach Mathematik Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A 28195 Bremen Die Kursübersicht für das Fach Mathematik Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe

Mehr

Arbeitsblätter zur Arbeit mit GEOGEBRA in Klasse 6

Arbeitsblätter zur Arbeit mit GEOGEBRA in Klasse 6 Arbeitsblätter zur Arbeit mit GEOGEBRA in Klasse 6 Die folgenden Arbeitsblätter sind für die Arbeit im Mathematikunterricht Klasse 6 bestimmt. Sie kommen im Verlauf von Lernbereich 3 Dreiecke und Vierecke

Mehr

2. Platonische Körper

2. Platonische Körper 2 Platonische Körper 27 2. Platonische Körper Dieses Kapitel legt den Schwerpunkt auf die Geometrie. Geometrie in der Grundschule befasst sich mit zwei zentralen Gebieten: Symmetrie und Raumvorstellung.

Mehr

MATHEMATIK-WETTBEWERB 2001/2002 DES LANDES HESSEN

MATHEMATIK-WETTBEWERB 2001/2002 DES LANDES HESSEN MATHEMATIK-WETTBEWERB 00/00 DES LANDES HESSEN AUFGABEN DER GRUPPE A PFLICHTAUFGABEN P. Von 40 Schülern fahren 44 mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur Schule. Wie viel Prozent sind das? P. Nach einer Preiserhöhung

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 65

Beispiellösungen zu Blatt 65 µathematischer κorrespondenz- zirkel Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufgabe 1 Beispiellösungen zu Blatt 65 Welche regelmäßigen n-ecke der Seitenlänge 1 kann man in kleinere

Mehr

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m) Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus

Mehr

REGULÄRE UND SEMIREGULÄRE POLYTOPE

REGULÄRE UND SEMIREGULÄRE POLYTOPE REGULÄRE UND SEMIREGULÄRE POLYTOPE regulare und semireguläre polytope ANDREAS PAFFENHOLZ FU Berlin Germany Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und

Mehr

Sekundarschulabschluss für Erwachsene

Sekundarschulabschluss für Erwachsene SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2011 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60

Mehr

MaLa A.Pruchnewski...Klasse 9/10...1

MaLa A.Pruchnewski...Klasse 9/10...1 MaLa - 008...............A.Pruchnewski...............Klasse 9/10...............1 Graphentheorie Sei G = (V, E) ein Graph mit der Knotenmenge V und der Kantenmenge E. Der Knotengrad d(v) eines Knoten v

Mehr

30. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulrunde) Klasse 7 Saison 1990/1991 Aufgaben und Lösungen

30. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulrunde) Klasse 7 Saison 1990/1991 Aufgaben und Lösungen 30. Mathematik Olympiade 1. Stufe (Schulrunde) Klasse 7 Saison 1990/1991 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 30. Mathematik-Olympiade 1. Stufe (Schulrunde) Klasse 7 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen

Mehr

Aufgaben für die Klassenstufen 11/12

Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 Aufgaben für die Klassenstufen 11/12 mit Lösungen Einzelwettbewerb Gruppenwettbewerb Speedwettbewerb Aufgaben OE1, OE2, OE3 Aufgaben OG1, OG2, OG3, OG4 Aufgaben OS1, OS2, OS3, OS4, OS5, OS6, OS7, OS8 Aufgabe

Mehr

Tag der Mathematik 2007

Tag der Mathematik 2007 Tag der Mathematik 2007 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Speed-Wettbewerb Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind

Mehr

20.0 Gegeben sind die Skizzen von Parallelogrammen. Stelle die Formel für den Flächeninhalt auf. Benutze dabei nur die angegebenen Bezeichnungen.

20.0 Gegeben sind die Skizzen von Parallelogrammen. Stelle die Formel für den Flächeninhalt auf. Benutze dabei nur die angegebenen Bezeichnungen. Flächeninhalte von Vielecken Parallelogramm Übungen - 9 20.0 Gegeben sind die Skizzen von Parallelogrammen. Stelle die Formel für den Flächeninhalt auf. Benutze dabei nur die angegebenen Bezeichnungen.

Mehr

Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012

Repetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012 Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte

Mehr

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Fit in Mathe. Mai Klassenstufe 9. Körper ohne π

Fit in Mathe. Mai Klassenstufe 9. Körper ohne π Thema Musterlösungen 1 Körper ohne π Ein rechtwinkliges Dreieck besteht aus den Seiten a, b und c, wobei der Seite c ein rechter Winkel gegenüberliegt. Berechne jeweils die Länge der fehlenden Seite(n).

Mehr

Platonische Körper. 1 Die fünf platonischen Körper

Platonische Körper. 1 Die fünf platonischen Körper Platonische Körper Vortrag von Annamaria Jahn Im Proseminar Lehramt am 11.1.006 Kontakt: annamaria.jahn@online.de 1 Die fünf platonischen Körper Ein platonischer Körper ist ein Polyeder mit zueinander

Mehr

Konstruktionen am Dreieck

Konstruktionen am Dreieck Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks. Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich weit von den beiden Schenkeln

Mehr

= x 2x = x (x 12) = 0 x 5 =0 (lokales Maximum) x 6,7 = ± 12 (lokale Minima)

= x 2x = x (x 12) = 0 x 5 =0 (lokales Maximum) x 6,7 = ± 12 (lokale Minima) Maturitätsprüfung 7 Mathematik Aufgabe Gegeben ist die Funktion f(x) = x x + a) Untersuchen Sie die Funktion bezüglich Symmetrien, bestimmen Sie die Nullstellen, zeigen Sie, dass es zwei Minimalstellen

Mehr

Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel

Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel Seminar aus Reiner Mathematik Viktoria Weißensteiner 04. Dezember 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Vorbereitende Theorie 3 2.1 ebene Graphen..........................

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich

Mehr

Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6

Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der Bezeichnungen für besondere Dreiecke - Kenntnis der Seiten- und Winkelbezeichnungen bei besonderen Dreiecken - Kenntnis der Eigenschaften

Mehr

KARL-FRANZENS-UNIVERSITÄT GRAZ. Seminar aus Reiner Mathematik. Die Museumswächter. Krupic Mustafa Wintersemester 2013/14

KARL-FRANZENS-UNIVERSITÄT GRAZ. Seminar aus Reiner Mathematik. Die Museumswächter. Krupic Mustafa Wintersemester 2013/14 KARL-FRANZENS-UNIVERSITÄT GRAZ Seminar aus Reiner Mathematik Die Museumswächter Krupic Mustafa Wintersemester 2013/14 Inhaltsverzeichnis 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Museumswächter-Satz 6 2.1

Mehr

Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie. (Parallelenaxiom) folgen, gehören zur euklidischen

Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie. (Parallelenaxiom) folgen, gehören zur euklidischen 5 Das Parallelenaxiom 5.1 Absolute Geometrie, euklidische Geometrie, hyperbolische Geometrie Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie. Alle Sätze, die aus den

Mehr

Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.

Die Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen. Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende

Mehr

GRUPPENTHEORIE AUFGABEN ZUR PRÜFUNGSVORBEREITUNG II

GRUPPENTHEORIE AUFGABEN ZUR PRÜFUNGSVORBEREITUNG II Universität Bielefeld WS 2012/13 GRUPPENTHEORIE AUFGABEN ZUR PRÜFUNGSVORBEREITUNG II DR. PHILIPP LAMPE Rat sucht man deshalb, weil man die einzige Lösung kennt, aber nichts davon wissen will. Erica Jong

Mehr

Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5

Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5 (Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei

Mehr

(a) 2 Punkte, (b) 2 Punkte (a) 1 Punkt, (b) 1 Punkt, (c) 2 Punkte (a) 1 Punkt, (b) 3 Punkte

(a) 2 Punkte, (b) 2 Punkte (a) 1 Punkt, (b) 1 Punkt, (c) 2 Punkte (a) 1 Punkt, (b) 3 Punkte Mathematik Aufnahmeprüfung 015 Aufgabe 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Summe Punkte 4 4 3 3 3 3 4 4 4 4 40 Punkte für die Teilaufgaben: (a) Punkte, (b) Punkte (a) 1 Punkt, (b) 1 Punkt, (c) Punkte (a) 1 Punkt,

Mehr

Winkeldefizite bei konvexen Polyedern

Winkeldefizite bei konvexen Polyedern 44 Hans Walser Winkeldefizite bei konvexen Polyedern Die Summe der ebenen Winkel an einer konvexen Polyederecke ist kleiner als 360. Zu jeder Polyederecke gibt es also ein Winkeldefizit als Ergänzung auf

Mehr

Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die

Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die geometricdesign Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper Die Proportionen der regelmässigen Vielecke und die Platonischen Körper Rechtecke gebildet aus Seite und Diagonale

Mehr

Tag der Mathematik 2010

Tag der Mathematik 2010 Zentrum für Mathematik Tag der Mathematik 2010 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt

Mehr

M 7.1. Achsensymmetrie. Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind?

M 7.1. Achsensymmetrie. Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.

Mehr

M 7.1. Achsensymmetrie. Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren.

M 7.1. Achsensymmetrie. Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.

Mehr

8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck

8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck 8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck P8: Mathematik 8 G2: komb.üchlein Zeitraum : 3 Wochen Inhalte Kernstoff Zusatzstoff Erledigt am Vierecke Typen: Quadrat, Rechteck, P8: 146 P8: 147 Rhombus, Parallelogramm,

Mehr

Symmetrie im Raum An Hand der platonischen Körper

Symmetrie im Raum An Hand der platonischen Körper Symmetrie im Raum An Hand der platonischen Körper Simon Steurer 25.6.2013 Historisches Platonische Körper Vorüberlegungen Oktaeder Hexaeder Tetraeder Dodekaeder & Ikosaeder Historisches benannt nach Platon

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $ $Id: dreieck.tex,v 1.7 013/04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis

Mehr

Meisterklasse Dresden 2014 Olaf Schimmel

Meisterklasse Dresden 2014 Olaf Schimmel Meisterklasse Dresden 2014 Olaf Schimmel 1 Was sind Parkettierungen? 2 Warum Winkel wichtig sind 3 Platonische Parkette 4 Archimedische Parkette 5 Welche Kombination von Vielecken erfüllen die Winkelbedingung?

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 50

Beispiellösungen zu Blatt 50 µathematischer κorrespondenz- zirkel Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Beispiellösungen zu Blatt 50 Aufgabe 1 Finde alle natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, dass die Differenz

Mehr

Symmetrien und Winkel

Symmetrien und Winkel Symmetrien und Winkel 20 1 13 Symmetrien Zeichnungen und Konstruktionen zur Symmetrie 401 A Wähle das erste oder das zweite Bild von Vasarely im mathbuch 1 auf Seite 65. Beschreibe es. B Zeichne das Bild

Mehr

Zweidimensionale Vektorrechnung:

Zweidimensionale Vektorrechnung: Zweidimensionale Vektorrechnung: Gib jeweils den Vektor AB und seine Länge an! (a A(, B(6 5 (b A(, B( 4 (c A(, B( 0 (d A(0 0, B(4 (e A(0, B( 0 (f A(, B( Gib jeweils die Summe a + b und die Differenz a

Mehr

Elementare Mathematik

Elementare Mathematik Elementare Mathematik Skript zum Workshop Platonische Körper - 1 - RF + KP 1/2012 1 Einleitung Das Thema des vorliegenden Workshops hat einen Schwerpunkt in der Geometrie des dreidimensionalen Raums, genauer:

Mehr

Liegt eine Kante k auf einem Zyklus Z, so liegt k auf dem Rand genau zweier

Liegt eine Kante k auf einem Zyklus Z, so liegt k auf dem Rand genau zweier 4 Planare Graphen Bisher wurden Graphen abstrakt durch Mengen E und K und eine Abbildung ψ : K P(E) definiert. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einem Abschnitt der sogenannten topologischen Graphentheorie.

Mehr

Analytische Geometrie. Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG. Stand November F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Analytische Geometrie. Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG. Stand November F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Analytische Geometrie Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG Wird erweitert Lösungen nur auf der Mathe CD Datei Nr. 0050 Stand November 005 F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 0050 Dreiecke

Mehr

Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe

Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe ALGEBRA 1. Grundlagen Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Menge der ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Menge der rationalen Zahlen Q = { z z Z und n N } (Menge aller n positiven und

Mehr

Satz des Pythagoras Aufgabe Anforderungsbereich I (Reproduzieren) Anforderungsebene ESA

Satz des Pythagoras Aufgabe Anforderungsbereich I (Reproduzieren) Anforderungsebene ESA Satz des Pythagoras Aufgabe 1.1.1 Anforderungsbereich I (Reproduzieren) Anforderungsebene ESA a ) Die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck sind 8 cm bzw. 15 cm lang. Berechne die Länge der Hypotenuse.

Mehr

Die Platonischen Körper

Die Platonischen Körper Wie viele Platonische Körper gibt es? Der griechische Philosoph Platon (427-348/347 v. Chr.) beschrieb die regelmässigen, geometrischen Körper im Dialog Timaios. Es ist leicht nachzuweisen, dass es nur

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 VERMESSUNGSAUFGABEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 VERMESSUNGSAUFGABEN Mathematik Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 4 3. Semester ARBEITSBLATT 4 VERMESSUNGSAUFGABEN Nun wollen wir unser Wissen über recht- und schiefwinkelige Aufgaben an einigen Aufgaben beweisen Beispiel

Mehr

1.7 Stereometrie. 1 Repetition Der Satz von Pythagoras Die Trigonometrischen Funktionen Masseinheiten Dichte...

1.7 Stereometrie. 1 Repetition Der Satz von Pythagoras Die Trigonometrischen Funktionen Masseinheiten Dichte... 1.7 Stereometrie Inhaltsverzeichnis 1 Repetition 2 1.1 Der Satz von Pythagoras................................... 2 1.2 Die Trigonometrischen Funktionen.............................. 2 1.3 Masseinheiten.........................................

Mehr

Aufgabe S 1 (4 Punkte)

Aufgabe S 1 (4 Punkte) Aufgabe S 1 (4 Punkte) Der fünfstelligen Zahl F = 3ab1 sind die Zehner- und die Tausenderstelle abhanden gekommen Alles, was man von a, b {0, 1,, 9} weiß, sind die beiden folgenden unabhängigen Bedingungen:

Mehr

MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker

MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker R David Hilbert (1862-1943) Den Begriffen aus der Anschauungswelt fehlt die notwendige mathematische Exaktheit. Gebäude der Geometrie soll nicht

Mehr

1. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik

1. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik Bundeswettbewerb Mathematik Wissenschaftszentrum Postfach 0 14 48 53144 Bonn Fon: 08-9 59 15-0 Fax: 08-9 59 15-9 e-mail: info@bundeswettbewerb-mathematik.de www.bundeswettbewerb-mathematik.de Korrekturkommission

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN STUDIENKOLLEG MATHEMATIK

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN STUDIENKOLLEG MATHEMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN STUDIENKOLLEG TEST IM FACH MATHEMATIK FÜR STUDIENBEWERBER MIT BERUFSQUALIFIKATION NAME : VORNAME : Bearbeitungszeit : 180 Minuten Hilfsmittel : Formelsammlung, Taschenrechner.

Mehr

Lösungen Crashkurs 7. Jahrgangsstufe

Lösungen Crashkurs 7. Jahrgangsstufe Lösungen Crashkurs 7. Jahrgangsstufe I. Symmetrie und Grundkonstruktionen 1. 2. Jede Raute hat die Eigenschaften: a, b, d, e, g. 3. Der gesuchte Treffpunkt befindet sich dort, wo die Mittelsenkrechte der

Mehr

Figuren Lösungen. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60.

Figuren Lösungen. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. 1) Welche Art Dreieck hat die beschriebene Eigenschaft? Ordne die Eigenschaften den Dreiecken zu. Alle Winkel betragen 60. Es gibt drei Symmetrieachsen. Gleichseitiges Dreieck Zwei Seiten stehen normal.

Mehr

SAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene

SAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene SE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie 2015 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Geometrie-Werkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60 Für die

Mehr

HTL Niet Fullerene, Fußball Seite 1 von 8. Vektorrechnung in 3D: Skalarprodukt, Vektorprodukt, Gerade, Schnittpunkt...

HTL Niet Fullerene, Fußball Seite 1 von 8. Vektorrechnung in 3D: Skalarprodukt, Vektorprodukt, Gerade, Schnittpunkt... HTL Niet Fullerene, Fußball Seite von 8 Name und e-mail-adresse Nietrost Bernhard, bernhard.nietrost@htl-steyr.ac.at Fullerene, Fußball Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Vektorrechnung

Mehr

Die historische Betrachtung der Platonischen Körper

Die historische Betrachtung der Platonischen Körper Die historische Betrachtung der Platonischen Körper Christian Hartfeldt Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie christian.hartfeldt@t-online.de

Mehr

Aufgaben Klassenstufe 5

Aufgaben Klassenstufe 5 Aufgaben Klassenstufe 5 Oma Streifstrumpf strickt für Peppi neue Socken. Peppi hat drei Lieblingsfarben und zwar rot, gelb und blau, die alle in den drei Streifen vorkommen sollen. a) Die Oma hat Wolle

Mehr

Tag der Mathematik 2017

Tag der Mathematik 2017 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Aufgaben mit en und Punkteverteilung Hinweise für Korrektoren Generell gilt: Zielführende Zwischenschritte geben Punkte, auch wenn das Ergebnis falsch

Mehr

Sphärische Vielecke. Hans Walser

Sphärische Vielecke. Hans Walser Sphärische Vielecke Hans Walser Sphärische Vielecke ii Inhalt 1 Sphärische Vielecke...1 1.1 Sphärische Dreiecke...1 1.2 Sphärische Zweiecke...2 1.3 Der Flächeninhalt sphärischer Dreiecke...3 2 Regelmäßige

Mehr

1 Angeordnete Körper und Anordnung

1 Angeordnete Körper und Anordnung 1 ANGEORDNETE KÖRPER UND ANORDNUNG 1 1 Angeordnete Körper und Anordnung Die nächste Idee, die wir interpretieren müssen ist die Anordnung. Man kann zeigen, dass sie nicht über jeden Körper möglich ist.

Mehr

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren so multipliziert, dass sich ein Skalar eine Zahl ergibt. Die Berechnung des Skalarproduktes ist ziemlich einfach, aber die weiteren Eigenschaften

Mehr

30. Satz des Apollonius I

30. Satz des Apollonius I 30. Satz des Apollonius I Das Teilverhältnis T V (ABC) von drei Punkten ABC einer Geraden ist folgendermaßen definiert: Für den Betrag des Teilverhältnisses gilt (ABC) = AC : BC. Für das Vorzeichen des

Mehr

3. Vorlesung. Die Existenz des Pentagons. (*)

3. Vorlesung. Die Existenz des Pentagons. (*) 3. Vorlesung. ie Existenz des Pentagons. (*) In dieser Vorlesung werden wir sehen wie die Griechen bewiesen haben, dass es das Pentagon wirklich gibt. ieser eweis ist schon recht anspruchsvoll. So anspruchsvoll,

Mehr