Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5
|
|
- Daniela Baumann
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 (Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei gleich große Winkel 0) β = 4,8 ; γ = 70,4 06) a) 6 b) 6 (?) d) 7, 07) a) α = γ, δ = γ (ABC, BDC sind gleichschenklig) damit: ε = 80 γ (Winkelsumme Dreieck ABC) ε = γ (Nebenwinkel) γ = (80 γ ) / = 90 γ (Winkelsumme Dreieck BDC) γ = γ + γ = 90 b) ε = α; δ = 90 α ) Innenwinkel im inneren Fünfeck: 08 Basiswinkel in einem der gleichschenkligen Dreiecke: 7 Winkel an Spitze: 6 Winkelsumme: 80 b) gleichseitig 0) a) z. B.: 90 -Winkel konstruieren (Lot), 60 -Winkel konstruieren (gleichseitiges Dreieck), beide addieren der Nebenwinkel ist 0 ; diesen halbieren b) z. B. 90 -Winkel zweimal halbieren, Ergebnis vom Winkel in (a) subtrahieren; oder: zwei 60 -Winkel plus ein viertel 90 -Winkel; oder: 80 minus 60 plus ein viertel von 90 04) a) z. B. 90 plus 60, zweimal halbieren b) 60 0) 6 gleichseitige Dreiecke alle 6 Seiten gleich lang, alle 6 Winkel gleich groß regelm. Sechseck c) rechtwinklig ) Thaleskreis über [AB] geht durch C 4) α = 6 ; β = ) a) α = β = 4 b) α (oder β) = 0 6) a) Spiegeln an längerer Kathete gleichseitiges Dreieck b) gleichschenklig Höhe ist Mittelsenkrechte; C liegt auf Thaleskreis Höhe ist doppelt so lang wie Grundseite; aus beidem zusammen folgt Behauptung (Skizze!) 8) a) allgemein: δ = 4 γ / 4; hier: b) 60 (oder mit Thaleskreis begründen!) Stark 8 S. 7/76) vom Standpunkt der Maus aus Tangente an Kreis; Weg: längs Tangente und Kreis Stark 8 S. 76/8) a) Kreis um P mit Radius cm schneidet Schenkel in Berührpunkten (gleichseitiges Dreieck); Lote in Berührpunkten schneiden sich und Winkelhalbierende in Mittelpunkt (oder: Parallelen zu Winkelhalbierende im Abstand, cm schneiden Schenkel in Berührpunkten) b) Lot auf Winkelhalbierende in Q (c) nicht auf Übungsblatt) (Stark 7 S. ff) Lösungen IV. 7) a) Schnittpunkt der Mittelsenkrechten b) Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
2 c) () Schnittpunkt der Seitenhalbierenden () im Gleichgewicht 7) Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; etwa: I(,0 0,60) 76) a) Kreise um zwei beliebige Punkte von a durch B schneiden sich in B ; etwa: B(8,,) b) Grundkonstruktion c) Schnittpunkt von a mit einer anderen Mittelsenkrechten von ABB d) Verbindung von Punkt und Spiegelpunkt steht immer senkrecht auf Spiegelachse 77) Winkel BAW (im Uhrzeigersinn) und WBA (dagegen) verdoppeln; C: Schnitt der freien Schenkel Lambacher-Schweizer Geometrie S. 6f: Lösungen IV. ) r + s = t ; v + w = u ; b + c = a ; x + z = y ; a + c = b 4) x = 89 9,4; y = 8 9,; z =,; u = 4,; v = 80 8,9 ) a) 4 b) 89 c) 08 4,4 d) 7 e) f) 4 = 6,7 g) 8 h) 7 i) 0 7, 6) beide rechtwinklig: = ; 0,48 +,86 =,90 7) a) s = 64 cm 0 cm ( 0, 8 m 9 cm) b) c = 4 cm ( 94 cm 87,7 cm) c) h c = 6 cm 7,9 cm (, 44 m,7 m) ) a) 8 cm (,4 m) b) 4,4 cm (, m) 0) a) d = cm b) d Fenster =, 4 m,84 m nein c) 0 cm 7 cm 7, cm ) a) 0 cm ( 4, 4 dm 6,44 dm) b) h a = cm; A = cm ), m 4) 7,89 cm;,78 cm (,6 cm; 7,9 cm) Lambacher-Schweizer Geometrie S. 76: ) 6cm (, 7 cm, cm) ) e 6,8 cm; f,0 cm (e 6,0 cm; f 0,4 cm) 4) a) d,6 cm; e 6,7 cm; f 8,4 cm b) b 4, cm; e 8, cm; f 6, cm 6) s,8 cm (s, cm) Lambacher-Schweizer Geometrie S. 7: 40) r = 7 6 4) a) h = Fuß b) h = 4, Fuß 4), bzw. 7, eln 4) h = Ellen Lambacher-Schweizer Geometrie S. 78: 8) stures Rechnen, z. B. + 4 = = = usw. 9) a) z. B. mit. binomischer Formel linke Seite vereinfachen: = x 4 + x y + y 4 ; mit. binomischer Formel rückwärts rechte Seite b) a= x y ; b = xy; c = x + y c) wählt man beliebige ganze Zahlen x und y (mit x > y), so ergeben sich mit den Formeln in (b) immer ganze Zahlen a, b, c; laut (a) erfüllen diese a, b, c dann immer auch die Bedingung a + b = c ; z. B. (8;6;0), (;6;0), (4;0;6), (6;0;4), (;4;40); da x und y beliebig sind: unendlich viele!
3 Lambacher-Schweizer Geometrie S. 70: 8) p + h = b h = b p (I) q + h = a h = a q = a (c p) = a c + cp p I und II gleichsetzen: b p = a c + cp p p = b (II) + c a c ; q = c p = a + c b c Lösungen IV.4 ) a) 4 cm,66 cm (, m, m; dm) b) cm 8,66 cm; cm 4,0 cm (, m,9 m;,9 m ; dm; dm,0 dm ) ) a) 6 cm 8,49 cm b) 8 cm,8 cm (; 7 cm 46,77 cm ) ) a) 6 m 0,048 m b) 6 m = 4,6 m 4) a),86 cm (4,6 cm) b), cm; 0, cm;,4 cm;,4 cm ) a) cm b) 9 cm c) 8 cm d) 74,4 cm 6) 84 cm ( cm) 7) b) cm,0 cm c) r Inkreis = h (Höhe = Seitenhalb.) adreieck = r A Dreieck = 4 = ASechseck ; zeichnerisch: Dreiecksseiten halbieren jeweils die 6 gleichseitigen Dreiecke des Sechsecks Lambacher-Schweizer Geometrie S. 6: 8) 96 cm 66, cm 9) a) A = r ; u = 4 r b) Umfang: etwa,% größer; Flächeninhalt:, % größer a 0) AS = + a,9 a; Abstand: a 0,6 a 4 ) a) b) 0 c) d) x ) + ( y ) ( x y ) 7; 4; 986 ) g: y = x + ; l : y = x ; F(, 0,); d(p ;g) =,, Lösungen IV. Lambacher-Schweizer Geometrie S. 87: ) cm; ; ;,4; ; ; ) a b h p h q b a p h q h 4) a) Umkehrung Pythagoras:, +,6 = 6, b) 0,077; 0,86; 0,89; 0,86; 0,077;,6970
4 ) 0,9; 0,4;,; 0,4; 0,9; 0,4 Lambacher-Schweizer Geometrie S. 9f: ) c,6 m; α,6 ; β 8,4 6) a) c= 6, cm; α 67,4 ; β,6 b) c 46 m; α 7,9 ; β, c) c 4, m; α,9 ; β 4, d) c 9,6 m; b 6,7 m; α = e) a 47 m; c m; β = 7, f) b 8 m; c 8 m; β = 49 g) a,4 km; b,4 km; β 8 h) b 8, m; α 40,6 ; β 49,4 i) a 40,6 m; α 46,0 ; β 44,0 7) a) 6,4 cm;,6 cm; 4,8 cm b), m;,9 m;, m c), m;,8 m; 7, m d), cm; 0,9 cm;, cm e) 8, m; 6,4 m; 7, cm f),6 cm; 6,8 cm;, cm 8) a) β = 6 ; γ = 6 ; a = 8,6 m; c,0 m b) α = β = 4 ; b = 4, m; c 68, m c) α = 6 ; γ = 08 ; a = b 77, m d) α = β = 0, ; a = b 7,6 m e) α = β 6, ; γ 49,4 ; b = 6,4 m 0), ) 6,6 ) 46,8 ) a) 8, b),4 c) 4,0 4), cm ),9 m (4,6 m?) 6) 4, ; 877 m 7) 60, m 8) 9,7 m 9), cm ) a) 4,7 b), ) 4 ;,6 ; 64,9 4) 0 N; 6, ) 706 N Zusammenhänge: 4 ) ( ; ; 0,6; 0,987; ; ) 4) ( ; ; 0,8; 0,49; ; ) 4 ) ; ; ; 6) a) tan α = = sin α cos α cosα b) 7,9 ( ) 7 7) a) sin α = tanα + tan α b) 0,980 8) 7 0, ) a) cos α = 4 8 c) cos α = 0,968; tan α = 4 0,848; tan α = 6 0,8 b) cos α = 0, 0,74; tan α 0,980 0,66 d) sin α = 0,744; tan α =,80 e) sin α = 0,99 0,990; tan α 9,9499 f) sin α = 0,774; tan α = 0,707 4 g) sin α = ; cos α = h) sin α = 0,744; cos α = 0) nachrechnen! ) a) sin α b) cos α c) sin α d) f) + tan α g) sin α h) sin α cos α i) cos α sin α e) = = cosα
5 ) a) benutze Definition des Tangens und trigonometrischen Pythagoras b) benutze sin α = cos(90 α) und (a) Lambacher-Schweizer Geometrie S. 9: ) a) 0; ; 0; b) ; 0; ; 0 c) 0; 0 Lösungen IV.6 ) a),0 ; 6,0 b) 9, ; 09, c) 4, ;,7 d) 86,7 ;, e) 7, ; 87,7 f),8 ;,8 g),4 ; 08,6 h) 94,9 ; 6, i) 6, ; 4, a) Sinussatz (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 99?) Lösungen IV.7 ) a) der übliche... b) c : sc : b = sin γ : sin α : sin(80 γ α) c) c : a : sc = sin γ : sin(80 γ α) : sin β d) c : a : w α = sin(80 α β) : sin α : sin β e) w α : a : b = sin β : sin α : sin(80 α β) ) a) α 47,9 ; γ 6, ; c,4 cm b) α 9,8 ; β, ; b 8, cm c) γ 6,9 ; α 6, ; a 4, cm d) β 8,8 ; γ, ; c 4, cm e) γ,7 ; α 4,8 ; a,7 cm f) β 6,4 ; α 4,6 ; a 6,6 cm 6) a) β 64,7 ; γ 80, ; c,7 cm oder β, ; γ 9,7 ; c,8 cm b) γ 8, ; α 68,8 ; a 7,8 cm oder γ 98,8 ; α, ; a 6, cm c) α,4 ; γ 9, ; b 0,8 cm oder α 8,6 ; γ 7,9 ; b, cm d) β 7, ; α 6,8 ; a 6, cm oder β 06,8 ; α, ; a,9 cm e) α 7, ; γ 0, ; c, cm oder α 04, ; γ, ; c, cm f) β 64,9 ; α 66, ; a 6, cm oder β, ; α,9 ; a,8 cm 9) a) sin α = c a ; sin β = c b b) folgt mit Winkelsumme im Dreieck und sin(80 α) = sin α b) Kosinussatz (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 0?) ) q = p + r p r cos α; r = p + q p q cos β; p = q + r q r cos γ 4) a) α 4,4 ; β,8 ; γ 8,8 b) α 6,4 ; β 7, ; γ 6, c) α 0,4 ; β,4 ; γ 46, d) α 64, ; β 7,7 ; γ 44, ) a) b 4,6 cm; α 70,9 ; γ 49, b) a 9, cm; β 40,9 ; γ 9, c) c 7, m; α 7,6 ; β 64,9 d) b 47 m; α, ; γ 4,9 6) a) g = l ( cos γ) und cos α = g l b) l,0 cm c) g 6, m
Lösungen V.1. Pfeile bedeuten ist auch ein. (Lambacher-Schweizer Geometrie 2, S. 150)
Lösungen V.1 I: Trapez (zwei parallele Seiten; keine Symmetrie) II: gleichschenkliges Trapez (zwei parallele Seiten, die anderen beiden gleich lang; achsensymmetrisch) III: Drachen(viereck) (jeweils zwei
MehrKonstruktionen am Dreieck
Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks. Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich weit von den beiden Schenkeln
MehrAufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken
Übungsaufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras: 1) Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Verbessere, wenn notwendig! Die Katheten grenzen an den rechten Winkel.
MehrBegründen in der Geometrie
Nr.6 9.6.2016 Begründen in der Geometrie Didaktische Grundsätze Zuerst die geometrischen Phänomene erkunden und kennenlernen. Viel zeichnen! Vierecke, Kreise, Dreiecke, Winkel, Strecken,... In dieser ersten
MehrThemenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6
Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der Bezeichnungen für besondere Dreiecke - Kenntnis der Seiten- und Winkelbezeichnungen bei besonderen Dreiecken - Kenntnis der Eigenschaften
MehrZum Einstieg. Mittelsenkrechte
Zum Einstieg Mittelsenkrechte 1. Zeichne einen Kreis um A mit einem Radius r, der größer ist, als die Länge der halben Strecke AB. 2. Zeichne einen Kreis um B mit dem gleichen Radius. 3. Die Gerade durch
MehrLösungen zum Thema Geometrie. Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt.
Lösungen zum Thema Geometrie Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt. Höhe h c Winkelhalbierende w α Mittelsenkrechte ms c Seitenhalbierende s c b)
MehrKugeldreieck. (a) München (λ = 11,5 ö. L., φ = 48,1 ) (b) New York (λ = 74,0 w. L., φ = 40,4 ) (c) Moskau (λ = 37,4 ö. L.
Kugeldreieck 1. Berechnen Sie die Fläche des vom Äquator, vom Nullmeridian und dem Längenkreis durch den angegebenen Ort begrenzten Kugeldreiecks. Geben Sie den sphärischen Exzeß des Dreiecks im Grad-
MehrElemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematik - Sommer 06 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 8 Aufgabe 7 (8 Punkte). Ein Parallelogramm ist ein Rechteck ABCD mit Seiten a, b, c, d wie unten dargestellt, mit
MehrFACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011
1 FACHHOCHSCHULE ZÜRICH Musterprüfung Geometrie * Klasse ZS K2 18. März 2011 A Name:... 1. Teil: Winkelberechnungen Aufgabe W-1: In nebenstehendem Sehnenviereck sei = 80º und = 70º. Wie gross sind dann
Mehr8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck
8.5.1 Real Geometrie Viereck, Dreieck P8: Mathematik 8 G2: komb.üchlein Zeitraum : 3 Wochen Inhalte Kernstoff Zusatzstoff Erledigt am Vierecke Typen: Quadrat, Rechteck, P8: 146 P8: 147 Rhombus, Parallelogramm,
MehrEin Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse halb so lang wie die Hypotenuse.
Item 2 Schreibe so viele Verallgemeinerungen (Sätze, Definitionen, Eigenschaften, Folgerungen) wie du kannst auf, die mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun haben. Ein Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck
Mehr1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)
Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus
MehrTrigonometrische Berechnungen
Trigonometrische Berechnungen Aufgabe 1 Berechnen Sie im rechtwinkligen Dreieck die fehlenden Seiten und Winkel: a) p = 4,93, β = 70,3 b) p = 28, q = 63 c) a = 12,5, p = 4,4 d) h = 9,1, q = 6,0 e) a =
MehrGEOMETRIE (4a) Kurzskript
GEOMETRIE (4a) Kurzskript Dieses Kurzskript ist vor allem eine Sammlung von Sätzen und Definitionen und sollte ausdrücklich nur zusammen mit weiteren Erläuterungen in der Veranstaltung genutzt werden.
MehrExamen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke. 24. Juni 2014
Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke 24. Juni 2014 VI. Dreiecke Frage 1 Wie werden im rechtwinkligen Dreieck die beiden Seiten genannt, die dem rechten Winkel anliegen? VI. Dreiecke Frage 1 Wie werden
MehrGrundwissen JS 7: Geometrie 17. Juli (a) Wann heißt eine Figur achsensymmetrisch? Welche Bedeutung hat die Symmetrieachse anschaulich
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM EGNITZ math-technolog u sprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 91257 EGNITZ FERNRUF 09241/48333 FAX 09241/2564 Grundwissen JS 7: Geometrie 17 Juli 2007 1(a) Wann heißt
Mehr7. Klasse. Algebra. 2.1 Kommutativgesetz (KG) der Addition und Multiplikation Für alle rationalen Zahlen a und b gilt: a+b = b+a a b = b a
Algebra 1. Termen mit Variablen Ein Term ist ein Rechenausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen kann. Variablen sind Platzhalter für Zahlen oder für Größen. Eine Variable steht immer
MehrInhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Zahlen 7 1.1 Zahlen und Zahlenmengen....................................... 7 1.2 Rechnen mit Zahlen und Termen....................................
MehrRepetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012
Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte
MehrGrundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 7(G8)
Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium Gymnasium Eckental Neunkirchener Straße 9042 Eckental Grundwissen Jahrgangsstufe: 7(G8) Vereinfachen von Summen
Mehr7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen
Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 1 Grundwissen 7. Klasse 7.1 Algebra 7.1.1 Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen WH: Siehe dazu..3 Vorrangregeln und.. K-, A-, D-Gesetze sowie 6. Rechengesetze
Mehr2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen
2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere
MehrRegiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7
Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 7 Wissen und Können 1. Terme Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke mit Zahlen, Variablen und Rechenzeichen. Berechnung von Termwerten
MehrÜbungen. Löse folgende Aufgaben mit GeoGebra
Übungen Löse folgende Aufgaben mit GeoGebra A1 Die Fachbegriffe in den Kästchen sollen den untenstehenden Aussagen bezüglich eines Dreiecks ABC zugeordnet werden. Du darfst die Kärtchen mehrfach verwenden
MehrKlausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002
Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Name, Vorname... Matr.Nr.... Semester-Anzahl im SS 2002:... Studiengang GH/R/S Tutor/in:... Aufg.1 Aufg,2 Aufg.3 Aufg.4 Aufg.5 Aufg.6 Aufg.7 Aufg.8 Gesamt
MehrSeiten 7 / 8 Aufgaben Punktmengen (Die Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 1 a) Problemanalyse
Seiten 7 / 8 Aufgaben Punktmengen (Die Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 1 a) Problemanalyse k mam 1. näher bei M als bei A (Entfernung von 2 Punkten) 2. weniger als 35mm von A entfernt (Entf. von
MehrStufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.
1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets
MehrAchsen- und punktsymmetrische Figuren
Achsensymmetrie Der Punkt P und sein Bildpunkt P sind symmetrisch bzgl. der Achse s, wenn ihre Verbindungsstrecke [PP ] senkrecht auf der Achse a steht und von dieser halbiert wird. Zueinander symmetrische......strecken
MehrVariable und Terme A 7_01. Variable sind Platzhalter für Zahlen aus einer vorgegebenen Grundmenge G, z. B. x IN; y ; a Q
Variable und Terme A 7_01 Variable sind Platzhalter für Zahlen aus einer vorgegebenen Grundmenge G, z B x IN; y ; a Q Jede sinnvolle Zusammenstellung aus Zahlen und Variablen mit Hilfe von Rechenzeichen
MehrSekundarschulabschluss für Erwachsene. 1. Grundkonstruktionen 1.1 Zeichnen Sie alle Winkelhalbierenden ein. (3 P)
SE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie 2013 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Geometrie-Werkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60 Für die
MehrAnalytische Geometrie. Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG. Stand November F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Analytische Geometrie Dreiecke Vierecke GROSSE AUFGABENSAMMLUNG Wird erweitert Lösungen nur auf der Mathe CD Datei Nr. 0050 Stand November 005 F. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 0050 Dreiecke
MehrVorwort: Farbe statt Formeln 7
Inhaltsverzeichnis Vorwort: Farbe statt Formeln 7 1 Die Grundlagen 11 1.1 Vom Geodreieck zum Axiomensystem................ 11 1.2 Erste Folgerungen aus den Axiomen................. 24 1.3 Winkel.................................
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich
MehrAufgabe 1 Erstelle mit Hilfe von GEOGEBRA ein dynamisches Geometrie-Programm, das die Mittelsenkrechte
AB Mathematik Experimentieren mit GeoGebra Merke Alle folgenden Aufgaben sind mit dem Programm GEOGEBRA auszuführen! Eine ausführliche Einführung in die Bedienung des Programmes erfolgt im Unterricht.
MehrWinkel zeichnen. Hilfe. ACHTUNG! Achte immer genau darauf
Hilfe Winkel zeichnen 1. Zeichne einen Schenkel (die rote Linie) S 2. Lege das Geodreieck mit der Null am Scheitelpunkt an. (Dort wo der Winkel hinkommen soll) S 3. Möchtest du zum Beispiel einen Winkel
MehrBerechnungen am rechtwinkligen Dreieck, Satz des Pythagoras
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck, Satz des Pythagoras Aufgabe 1 Berechne die fehlenden Grössen (a, b, c, h, p, q, A) der rechtwinkligen Dreiecke: a) p = 36, q = 64 b) b = 13, q = 5 c) b = 70, A =
MehrOvTG Gauting, Grundwissen Mathematik 7. Klasse
1. Symmetrie (vgl. auch Grundwissen 5. Klasse) Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. a Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer
MehrMontessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke
Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke 1 Material 4 metallene Rahmen (14 cm X 14 cm) mit gleichseitigen Dreiecken (Seitenlänge 10 cm). Die Dreiecke sind wie folgt unterteilt Ganze Halbe Drittel Viertel
MehrGeometrische Grundkonstruktionen
Geometrische Grundkonstruktionen Strecken...2 Halbierung einer Strecke und Mittelsenkrechte...2 Teilung einer Strecke in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile...2 Halbierung eines Winkels...3 Tangente an
MehrDie Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.
Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende
MehrDie Kapitel 1 und 2.1 haben wir im Jahr 2012 behandelt. Im Zirkel am haben wir mit Kapitel 2.2 begonnen.
Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Elementargeometrie. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft(MSG) im Schuljahr 2012/2013. Die vorliegende
MehrGrundlagen der Geometrie
Grundlagen der Geometrie Vorlesungsausarbeitung zum WS 2010/11 von Prof. Dr. K. Fritzsche ii Inhalt 0 Grundlagen der Schulgeometrie 1 I Die Elemente : Inzidenz und Anordnung 9 1. Die deduktive Methode
MehrDie Ecken werden immer gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, sonst falscher Umlaufsinn!
Berechnungen in Dreiecken Allgemeines zu Dreiecken Innenwinkelsatz α + β + γ = 180 Besondere Dreiecke Gleichschenkliges Dreieck Die Ecken werden immer gegen den Uhrzeigersinn beschriftet, sonst falscher
MehrGrundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe
ALGEBRA 1. Grundlagen Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Menge der ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Menge der rationalen Zahlen Q = { z z Z und n N } (Menge aller n positiven und
MehrInstitut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel
Lösungen Übung 6 Aufgabe 1. a.) Idee: Gesucht sind p, q mit pq = 6 2 und p + q = 13. Dies entspricht genau der Situation im Höhensatz. Konstruktion: 1. Punkte A, B mit AB = 13 2. Gerade g AB mit dist(g,
MehrALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese Aufgabenblätter
Berufsmaturitätsschule GIB Bern Aufnahmeprüfung 2005 Mathematik Teil A Zeit: 45 Minuten Name / Vorname:... ALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese
MehrAchsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrAchsensymmetrie. Grundkonstruktionen
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
Mehr= = cm. = = 4.66 cm. = cm. Anschliessend: A = r 2 π = π = π =
Seiten 5 / 6 ufgaben Kreis 1 1 a) u Kreis r 15 30 cm ( 94.5 cm) Kreis r 15 5 cm ( 706.86 cm ) b) u Kreis r d 5.6 cm ( 17.59 cm) Kreis r.8 7.84 cm ( 4.63 cm ) c) u Kreis r 99 198 cm ( 6.04 cm) Kreis r 99
MehrGrundwissen 7. Klasse
Grundwissen 7. Klasse I. Symmetrie 1. Achsensymmetrie Die Punkte P und P sind achsensymmetrisch bzgl. der Symmetrieachse a. Sind Figuren zueinander achsensymmetrisch, so kannst du folgende Eigenschaften
MehrMB1 LU 20, 21,23,24 Kongruenzabbildungen Ausgefüllt
MB1 LU 20, 21,23,24 Kongruenzabbildungen Ausgefüllt Definitionen: 1. Kongruenz: Zwei Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen deckungsgleich oder kongruent. 2. Kongruenzabbildung: Eine Abbildung,
MehrPunkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrFünf Euromünzen im Kreis
Gerhard J. Woeginger 1. September 2006 Wir betrachten zwei 2-Euro Münzen (mit Durchmesser 25.75mm) und drei 1-Euro Münzen (mit Durchmesser 23.25mm). Bis auf Rotationen und Spiegelungen gibt es grundsaetzlich
MehrSAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene
SE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie 2015 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Geometrie-Werkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60 Für die
MehrRaumgeometrie - gerade Pyramide
1.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 7 cm ist Grundfläche einer geraden Pyramide ABCDS mit der Höhe h = 8 cm. S ist die Pyramidenspitze. 1.1 Fertige ein Schrägbild der Pyramide ABCDS an. 1.2 Berechne
MehrGrundwissen 7 Bereich 1: Terme
Bereich 1: Terme Termwerte 1.1 S1 T (1) = 6 T (2) = 7 T ( 2) 3 = 12 1 4 = 12, 25 1.2 S1 m 2 0, 5 0 1 2 1 3 6 6 2 A(m) 7 11 5 0 1 Setzt man die Zahl 5 ein, so entsteht im Nenner die Zahl 0. Durch 0 zu teilen
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.7 013/04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis
MehrGeometrie, Einführung
Geometrie, Einführung Punkte, Linien 1. Gib die Längen von 3 Strecken r, s. t an, welche nicht die Seiten eines Dreiecks sein können. Begründe deine Wahl. 2. a) Zeichne Punkte und Geraden, welche folgende
MehrSAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene
SE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie 2014 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Geometrie-Werkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60 Für die
MehrErwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A Bremen. Die Kursübersicht für das Fach Mathematik
Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A 28195 Bremen Die Kursübersicht für das Fach Mathematik Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe
MehrElemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Prof Dr Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 7 Aufgabe 23 9 Punkte In der folgenden Aufgabe sei mit baryzentrischen Koordinaten immer die baryzentrischen Koordinaten
MehrFit in Mathe. März Klassenstufe 9 n-ecke. = 3,also x=6
Thema Musterlösung 1 n-ecke Wie groß ist der Flächeninhalt des nebenstehenden n-ecks? Die Figur lässt sich z.b. aus den folgenden Teilfiguren zusammensetzen: 1. Dreieck (ECD): F 1 = 3 =3. Dreieck (AEF):
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/18 15:03:29 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.6 2013/04/18 15:03:29 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck Wir hatten gerade begonnen uns mit den speziellen Punkten im Dreieck zu beschäftigen. Dabei beschränken
MehrVierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist
7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7 Vierecke Trapez: Viereck, bei dem zwei Gegenseiten parallel sind gleichschenkliges Trapez: Trapez, bei dem die beiden Schenkel c gleich lang sind (b = d) d
MehrGymnasium Hilpoltstein Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
Wissen / Können 1. Symmetrie Gymnasium Hilpoltstein Grundwissen 7. Jahrgangsstufe Definitionen und Beispiele Achsensymmetrie Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie durch Umklappen um eine Gerade
MehrKoordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.
Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten
MehrWiederholungsaufgaben Klasse 10
Wiederholungsaufgaben Klasse 10 (Lineare und quadratische Funktionen / Sinus, Kosinus, Tangens und Anwendungen) 1. In welchem Punkt schneiden sich zwei Geraden, wenn eine Gerade g durch die Punkte A(1
MehrSekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A b) Strecken Sie das Dreieck ABC (Streckfaktor: -1/ Streckzentrum Z) (3 Punkte)
SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2013 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60
MehrDietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 7. Klasse Seite 1 von 6
Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 7. Klasse Seite 1 von 6 M7 - Algebra: Standardaufgaben Grundwissen M7 Beispielaufgaben mit Lösung 1. Vereinfache so weit wie möglich! Verwende Rechenregeln/-gesetze,
Mehrzur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am
Nachklausur zur Modulprüfung zum Lehrerweiterbildungskurs Geometrie am 12.7.17 Name, Vorname Matrikel-Nr. Aufg.1 Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Σ Note bzw. Kennzeichen Punkte Bearbeiten Sie bitte drei der vier folgenden
MehrLösungen Crashkurs 7. Jahrgangsstufe
Lösungen Crashkurs 7. Jahrgangsstufe I. Symmetrie und Grundkonstruktionen 1. 2. Jede Raute hat die Eigenschaften: a, b, d, e, g. 3. Der gesuchte Treffpunkt befindet sich dort, wo die Mittelsenkrechte der
MehrDreieckskonstruktionen
Dreieckskonstruktionen 1. Quelle: VER C 2008 Lösung: ja, nein, ja, ja, nein 2. Wähle aus den vorgegebenen Größen jeweils drei aus und überlege anhand einer Skizze, ob aus den ausgewählten Größen ein Dreieck
MehrAchsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1
M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke
MehrGRUNDWISSEN Seitenhalbierende Konstruktion von Vierecken [nach Lambacher Schweizer 7] [eigene Grafiken]
GRUNDWISSEN Inhalt 5.Gleichungen... 2 5.1. Gleichungen und Lösungen... 2 5.2. Äquivalente Gleichungsumformungen... 2 5.3. Systematisches Lösen einer Gleichungen... 2 5.4. Lineare Gleichungen in Anwendungsaufgaben...
MehrGrundwissen. 7. Jahrgangsstufe. Mathematik
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe Mathematik Grundwissen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Seite 1 1 Geometrie 1.1 Grundkonstruktionen Lotkonstruktion I: Gegeben ist die Gerade g und der Punkt P, der nicht auf
MehrMATHEMATIK-WETTBEWERB 2010/2011 DES LANDES HESSEN
MATHEMATIK-WETTBEWERB 2010/2011 DES LANDES HESSEN 2. RUNDE LÖSUNGEN 1. a) L = {1} oder x = 1, denn: x + 2 = 3 b) L = {... ; 7, 6, 2, 3,...}, denn: x + 2 > 3 oder x + 2 < 3 x > 1 oder x < 5 c) L = { 4;
MehrI. Symmetrie. II. Grundkonstruktionen
I. Symmetrie Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer Halbdrehung um einen Punkt ineinander
MehrWiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen
1/5 Erinnerung: Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW, SsW Wiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen Grundwissen: Elementare Sätze über Dreiecke: o Winkelsumme 180 0 o Dreiecksungleichung
MehrAufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006. Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev. Geometrie
Aufgaben des MSG-Zirkels 8b Schuljahr 2005/2006 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin Geometrie Aufgabe G.1 Berechne die Innenwinkelsumme eines n-ecks. Aufgabe G.2 Zeige, dass
MehrDualität in der Elementaren Geometrie
1 Dualität in der Elementaren Geometrie Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastic (WIAS) e-mail: stephan@wias-berlin.de url: www.wias-berlin.de/people/stephan FU Berlin,
MehrMATHEMATIK-WETTBEWERB 2009/2010 DES LANDES HESSEN
MATHEMATIK-WETTBEWERB 2009/2010 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN 1. a) L { 1; 0; 1} b) L {... ; 1; 0; 1; 2} c) L {2; 3; 4}, denn: x 4 0 oder falls x 4 > 0 dann x + 3 5 oder falls x 4 < 0 dann x + 3
MehrKreis - Tangente. 2. Vorbemerkung: Satz des Thales Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Tangente benutzt den Satz des Thales.
Kreis - Tangente 1. Allgemeines 2. Satz des Thales 3. Tangente an einem Punkt auf dem Kreis 4. Tangente über Analysis (an einem Punkt eines Ursprungkreises) 5. Tangente von einem Punkt (Pol) an den Kreis
MehrTeil 4. Aufgaben Nr. 14 bis 18 Hier nur Lösung von Nr. 14. Auf der Mathematik-CD befinden sich alle Lösungen
Teil 4 Aufgaben Nr. 4 bis 8 Hier nur Lösung von Nr. 4. Auf der Mathematik-CD befinden sich alle Lösungen Parabelfunktionen mit vielen Zusatzaufgaben (Keine Integration) Datei Nr. 405 S Januar 00 Friedrich
MehrSekundarschulabschluss für Erwachsene
SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2011 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60
MehrEin Rechteck hat zwei Symmetrieachsen: je eine durch die Hlften der gegenber liegenden
1 Vierecke Vierecke haben - wie der Name schon sagt - vier Ecken und vier Seiten. Die vier Ecken des Vierecks werden in der Regel mit A, B, C und D bezeichnet. Die Seite zwischen den Punkten A und B ist
MehrMATHEMATIK ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE
ZUR VORBEREITUNG AUF DEN UNMITTELBAREN EINTRITT IN EINEN REALSCHULREIFELEHRGANG ODER FACHSCHULREIFELEHRGANG DER BUNDESWEHRFACHSCHULE MATHEMATIK Lehreinheit 11 Geometrie: Dreiecke und Vierecke II GEOMETRIE:
MehrDreieckssätze. Pythagoras und Co. W.Seyboldt SFZ 14/15
Dreieckssätze Pythagoras und Co 1 Pythagoras 300 v.chr.: Elemente des Euklid, Stoicheia unterteilt in 15 Bücher (Kapitel) I bis XV wobei die beiden letzten erst später dazu kamen, deshalb redet man oft
MehrPasserelle Mathematik Frühling 2005 bis Herbst 2006
Passerelle Mathematik Frühling 2005 bis Herbst 2006 www.mathenachhilfe.ch info@mathenachhilfe.ch 079 703 72 08 Inhaltsverzeichnis 1 Algebra 3 1.1 Termumformungen..................................... 3
MehrBezeichnungen am Dreieck
ezeichnungen am Dreieck Verbindet man drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, so entsteht ein Dreieck. llgemeine ezeichnungen: Die Eckpunkte des Dreiecks werden mit den uchstaben, und bezeichnet.
MehrM 7.1. Achsensymmetrie. Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind?
M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.
MehrM 7.1. Achsensymmetrie. Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren.
M 7.1 Achsensymmetrie Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind? Nenne drei Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren. Gegeben sind ein Punkt und die Symmetrieachse.
MehrRealschule Abschlussprüfung
Realschule Abschlussprüfung Annegret Sonntag 4. Januar 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Strategie zur Berechnung von ebenen Figuren (Trigonometrie) 3 1.1 Skizze.................................................
MehrAufgaben Geometrie Lager
Schweizer Mathematik-Olympiade Aufgaben Geometrie Lager Aktualisiert: 26. Juni 2014 Starter 1. Zwei Städte A und B liegen auf verschiedenen Seiten eines Flusses. An welcher Stelle muss eine Brücke rechtwinklig
Mehr1. Daten und Diagramme Beispiele / Veranschaulichung
1. Daten und Diagramme / Veranschaulichung Zum Vergleich von Daten sind Säulen- und Balkendiagramme geeignet: Bei dieser Arbeit gab es zweimal die Note 1, siebenmal die Note 2, usw. Die Verteilung innerhalb
MehrKonstruktionen mit Zirkel und Lineal
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Vor den eigentlichen Konstruktionen möchte ich einige emerkungen zu Faltungen machen, da sie leider in der Schule ein Stiefkind darstellen. Mit anderen Worten, sie
Mehr1.4 Trigonometrie I. 1 Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck 2. 2 Die trigonometrischen Funktionen 4
1.4 Trigonometrie I Inhaltsverzeichnis 1 Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck 2 2 Die trigonometrischen Funktionen 4 2.1 Was sind trigonometrischen Funktionen?........................... 4 2.2
MehrBeweise. 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck.
Beweise 1. Betrachte folgenden Satz: Ein achsensymmetrisches Viereck mit einem 90 -Winkel ist ein Rechteck. (a) Gib Satz und Kehrsatz in der Wenn-dann-Form an! (b) Ist die Voraussetzung des Satzes notwendig,
MehrHerzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung
Herzlich willkommen zur der Um sich schnell innerhalb der ca. 350.000 Mathematikaufgaben zu orientieren, benutzen Sie unbedingt das Lesezeichen Ihres Acrobat Readers: Das Icon finden Sie in der links stehenden
Mehr