Lösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5

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1 (Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei gleich große Winkel 0) β = 4,8 ; γ = 70,4 06) a) 6 b) 6 (?) d) 7, 07) a) α = γ, δ = γ (ABC, BDC sind gleichschenklig) damit: ε = 80 γ (Winkelsumme Dreieck ABC) ε = γ (Nebenwinkel) γ = (80 γ ) / = 90 γ (Winkelsumme Dreieck BDC) γ = γ + γ = 90 b) ε = α; δ = 90 α ) Innenwinkel im inneren Fünfeck: 08 Basiswinkel in einem der gleichschenkligen Dreiecke: 7 Winkel an Spitze: 6 Winkelsumme: 80 b) gleichseitig 0) a) z. B.: 90 -Winkel konstruieren (Lot), 60 -Winkel konstruieren (gleichseitiges Dreieck), beide addieren der Nebenwinkel ist 0 ; diesen halbieren b) z. B. 90 -Winkel zweimal halbieren, Ergebnis vom Winkel in (a) subtrahieren; oder: zwei 60 -Winkel plus ein viertel 90 -Winkel; oder: 80 minus 60 plus ein viertel von 90 04) a) z. B. 90 plus 60, zweimal halbieren b) 60 0) 6 gleichseitige Dreiecke alle 6 Seiten gleich lang, alle 6 Winkel gleich groß regelm. Sechseck c) rechtwinklig ) Thaleskreis über [AB] geht durch C 4) α = 6 ; β = ) a) α = β = 4 b) α (oder β) = 0 6) a) Spiegeln an längerer Kathete gleichseitiges Dreieck b) gleichschenklig Höhe ist Mittelsenkrechte; C liegt auf Thaleskreis Höhe ist doppelt so lang wie Grundseite; aus beidem zusammen folgt Behauptung (Skizze!) 8) a) allgemein: δ = 4 γ / 4; hier: b) 60 (oder mit Thaleskreis begründen!) Stark 8 S. 7/76) vom Standpunkt der Maus aus Tangente an Kreis; Weg: längs Tangente und Kreis Stark 8 S. 76/8) a) Kreis um P mit Radius cm schneidet Schenkel in Berührpunkten (gleichseitiges Dreieck); Lote in Berührpunkten schneiden sich und Winkelhalbierende in Mittelpunkt (oder: Parallelen zu Winkelhalbierende im Abstand, cm schneiden Schenkel in Berührpunkten) b) Lot auf Winkelhalbierende in Q (c) nicht auf Übungsblatt) (Stark 7 S. ff) Lösungen IV. 7) a) Schnittpunkt der Mittelsenkrechten b) Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

2 c) () Schnittpunkt der Seitenhalbierenden () im Gleichgewicht 7) Schnittpunkt der Winkelhalbierenden; etwa: I(,0 0,60) 76) a) Kreise um zwei beliebige Punkte von a durch B schneiden sich in B ; etwa: B(8,,) b) Grundkonstruktion c) Schnittpunkt von a mit einer anderen Mittelsenkrechten von ABB d) Verbindung von Punkt und Spiegelpunkt steht immer senkrecht auf Spiegelachse 77) Winkel BAW (im Uhrzeigersinn) und WBA (dagegen) verdoppeln; C: Schnitt der freien Schenkel Lambacher-Schweizer Geometrie S. 6f: Lösungen IV. ) r + s = t ; v + w = u ; b + c = a ; x + z = y ; a + c = b 4) x = 89 9,4; y = 8 9,; z =,; u = 4,; v = 80 8,9 ) a) 4 b) 89 c) 08 4,4 d) 7 e) f) 4 = 6,7 g) 8 h) 7 i) 0 7, 6) beide rechtwinklig: = ; 0,48 +,86 =,90 7) a) s = 64 cm 0 cm ( 0, 8 m 9 cm) b) c = 4 cm ( 94 cm 87,7 cm) c) h c = 6 cm 7,9 cm (, 44 m,7 m) ) a) 8 cm (,4 m) b) 4,4 cm (, m) 0) a) d = cm b) d Fenster =, 4 m,84 m nein c) 0 cm 7 cm 7, cm ) a) 0 cm ( 4, 4 dm 6,44 dm) b) h a = cm; A = cm ), m 4) 7,89 cm;,78 cm (,6 cm; 7,9 cm) Lambacher-Schweizer Geometrie S. 76: ) 6cm (, 7 cm, cm) ) e 6,8 cm; f,0 cm (e 6,0 cm; f 0,4 cm) 4) a) d,6 cm; e 6,7 cm; f 8,4 cm b) b 4, cm; e 8, cm; f 6, cm 6) s,8 cm (s, cm) Lambacher-Schweizer Geometrie S. 7: 40) r = 7 6 4) a) h = Fuß b) h = 4, Fuß 4), bzw. 7, eln 4) h = Ellen Lambacher-Schweizer Geometrie S. 78: 8) stures Rechnen, z. B. + 4 = = = usw. 9) a) z. B. mit. binomischer Formel linke Seite vereinfachen: = x 4 + x y + y 4 ; mit. binomischer Formel rückwärts rechte Seite b) a= x y ; b = xy; c = x + y c) wählt man beliebige ganze Zahlen x und y (mit x > y), so ergeben sich mit den Formeln in (b) immer ganze Zahlen a, b, c; laut (a) erfüllen diese a, b, c dann immer auch die Bedingung a + b = c ; z. B. (8;6;0), (;6;0), (4;0;6), (6;0;4), (;4;40); da x und y beliebig sind: unendlich viele!

3 Lambacher-Schweizer Geometrie S. 70: 8) p + h = b h = b p (I) q + h = a h = a q = a (c p) = a c + cp p I und II gleichsetzen: b p = a c + cp p p = b (II) + c a c ; q = c p = a + c b c Lösungen IV.4 ) a) 4 cm,66 cm (, m, m; dm) b) cm 8,66 cm; cm 4,0 cm (, m,9 m;,9 m ; dm; dm,0 dm ) ) a) 6 cm 8,49 cm b) 8 cm,8 cm (; 7 cm 46,77 cm ) ) a) 6 m 0,048 m b) 6 m = 4,6 m 4) a),86 cm (4,6 cm) b), cm; 0, cm;,4 cm;,4 cm ) a) cm b) 9 cm c) 8 cm d) 74,4 cm 6) 84 cm ( cm) 7) b) cm,0 cm c) r Inkreis = h (Höhe = Seitenhalb.) adreieck = r A Dreieck = 4 = ASechseck ; zeichnerisch: Dreiecksseiten halbieren jeweils die 6 gleichseitigen Dreiecke des Sechsecks Lambacher-Schweizer Geometrie S. 6: 8) 96 cm 66, cm 9) a) A = r ; u = 4 r b) Umfang: etwa,% größer; Flächeninhalt:, % größer a 0) AS = + a,9 a; Abstand: a 0,6 a 4 ) a) b) 0 c) d) x ) + ( y ) ( x y ) 7; 4; 986 ) g: y = x + ; l : y = x ; F(, 0,); d(p ;g) =,, Lösungen IV. Lambacher-Schweizer Geometrie S. 87: ) cm; ; ;,4; ; ; ) a b h p h q b a p h q h 4) a) Umkehrung Pythagoras:, +,6 = 6, b) 0,077; 0,86; 0,89; 0,86; 0,077;,6970

4 ) 0,9; 0,4;,; 0,4; 0,9; 0,4 Lambacher-Schweizer Geometrie S. 9f: ) c,6 m; α,6 ; β 8,4 6) a) c= 6, cm; α 67,4 ; β,6 b) c 46 m; α 7,9 ; β, c) c 4, m; α,9 ; β 4, d) c 9,6 m; b 6,7 m; α = e) a 47 m; c m; β = 7, f) b 8 m; c 8 m; β = 49 g) a,4 km; b,4 km; β 8 h) b 8, m; α 40,6 ; β 49,4 i) a 40,6 m; α 46,0 ; β 44,0 7) a) 6,4 cm;,6 cm; 4,8 cm b), m;,9 m;, m c), m;,8 m; 7, m d), cm; 0,9 cm;, cm e) 8, m; 6,4 m; 7, cm f),6 cm; 6,8 cm;, cm 8) a) β = 6 ; γ = 6 ; a = 8,6 m; c,0 m b) α = β = 4 ; b = 4, m; c 68, m c) α = 6 ; γ = 08 ; a = b 77, m d) α = β = 0, ; a = b 7,6 m e) α = β 6, ; γ 49,4 ; b = 6,4 m 0), ) 6,6 ) 46,8 ) a) 8, b),4 c) 4,0 4), cm ),9 m (4,6 m?) 6) 4, ; 877 m 7) 60, m 8) 9,7 m 9), cm ) a) 4,7 b), ) 4 ;,6 ; 64,9 4) 0 N; 6, ) 706 N Zusammenhänge: 4 ) ( ; ; 0,6; 0,987; ; ) 4) ( ; ; 0,8; 0,49; ; ) 4 ) ; ; ; 6) a) tan α = = sin α cos α cosα b) 7,9 ( ) 7 7) a) sin α = tanα + tan α b) 0,980 8) 7 0, ) a) cos α = 4 8 c) cos α = 0,968; tan α = 4 0,848; tan α = 6 0,8 b) cos α = 0, 0,74; tan α 0,980 0,66 d) sin α = 0,744; tan α =,80 e) sin α = 0,99 0,990; tan α 9,9499 f) sin α = 0,774; tan α = 0,707 4 g) sin α = ; cos α = h) sin α = 0,744; cos α = 0) nachrechnen! ) a) sin α b) cos α c) sin α d) f) + tan α g) sin α h) sin α cos α i) cos α sin α e) = = cosα

5 ) a) benutze Definition des Tangens und trigonometrischen Pythagoras b) benutze sin α = cos(90 α) und (a) Lambacher-Schweizer Geometrie S. 9: ) a) 0; ; 0; b) ; 0; ; 0 c) 0; 0 Lösungen IV.6 ) a),0 ; 6,0 b) 9, ; 09, c) 4, ;,7 d) 86,7 ;, e) 7, ; 87,7 f),8 ;,8 g),4 ; 08,6 h) 94,9 ; 6, i) 6, ; 4, a) Sinussatz (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 99?) Lösungen IV.7 ) a) der übliche... b) c : sc : b = sin γ : sin α : sin(80 γ α) c) c : a : sc = sin γ : sin(80 γ α) : sin β d) c : a : w α = sin(80 α β) : sin α : sin β e) w α : a : b = sin β : sin α : sin(80 α β) ) a) α 47,9 ; γ 6, ; c,4 cm b) α 9,8 ; β, ; b 8, cm c) γ 6,9 ; α 6, ; a 4, cm d) β 8,8 ; γ, ; c 4, cm e) γ,7 ; α 4,8 ; a,7 cm f) β 6,4 ; α 4,6 ; a 6,6 cm 6) a) β 64,7 ; γ 80, ; c,7 cm oder β, ; γ 9,7 ; c,8 cm b) γ 8, ; α 68,8 ; a 7,8 cm oder γ 98,8 ; α, ; a 6, cm c) α,4 ; γ 9, ; b 0,8 cm oder α 8,6 ; γ 7,9 ; b, cm d) β 7, ; α 6,8 ; a 6, cm oder β 06,8 ; α, ; a,9 cm e) α 7, ; γ 0, ; c, cm oder α 04, ; γ, ; c, cm f) β 64,9 ; α 66, ; a 6, cm oder β, ; α,9 ; a,8 cm 9) a) sin α = c a ; sin β = c b b) folgt mit Winkelsumme im Dreieck und sin(80 α) = sin α b) Kosinussatz (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 0?) ) q = p + r p r cos α; r = p + q p q cos β; p = q + r q r cos γ 4) a) α 4,4 ; β,8 ; γ 8,8 b) α 6,4 ; β 7, ; γ 6, c) α 0,4 ; β,4 ; γ 46, d) α 64, ; β 7,7 ; γ 44, ) a) b 4,6 cm; α 70,9 ; γ 49, b) a 9, cm; β 40,9 ; γ 9, c) c 7, m; α 7,6 ; β 64,9 d) b 47 m; α, ; γ 4,9 6) a) g = l ( cos γ) und cos α = g l b) l,0 cm c) g 6, m

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