Konstruktion des regulären Fünfecks mit dem rostigen Zirkel (rusty compass)

Transkript

1 onstruktion des regulären Fünfeks mit dem rostigen Zirkel (rusty ompss) Vrinte 1 Oliver ieri ie hier vorliegende Methode zur onstruktion eines regulären Fünfeks unter Zuhilfenhme eines rostigen Zirkels und eines Linels wurde uns mit freundliher enehmigung von lfred oehn zur Verfügung gestellt. ie Originlversion knn uf lfred oehns persönliher Weseite nhgelesen werden und zwr unter Index.htm. 1. Vorereitung oehns Methode edient sih der Eigenshft, dss die Mittelprllele eines gleihseitigen reieks von den reieksseiten und dem Umkreis im oldenen Shnitt geshnitten wird. Entdekt wurde diese Ttshe vermutlih 1980 von eorge Odom. lreht eutelspher eshrie den oldenen Shnitt im gleihseitigen reiek erstmls in der deutshen Litertur. 1 ildung 1 zeigt uf der linken Seite die Odom she onstruktion des oldenen Shnittes in einem gleihseitigen reiek. emäss dem oldenen Shnitt gilt die eziehung LM : L τ zw. LM : MT τ, woei τ ss dem ttsählih so ist, lässt sih nhnd der rehten Seite von ildung 1 nhvollziehen. Es sei der Mittelpunkt des Umkreises und der Rdius r. Für den Rdius des Inkreises gilt dnn L r. er kleinste reis he einen Rdius von r. ls erstes erehnen wir die Streken L und mit ilfe des Stzes von Pythgors: (r ) ( ) L L r 3r, r ( ) r 15r. 1. eutelspher,. Petrie, er oldene Shnitt, Mnnheim, 1988, S. f 1

2 onstruktion des regulären Fünfeks, Vrinte 1 L M T L M T ildung 1: Odom she onstruktion des oldenen Shnittes. Nun gilt es zu üerprüfen, o die edingung des oldenen Shnittes erfüllt ist. LM L L L 3r 15r 3r. ie onstruktion des Fünfeks τ ls erstes müssen wir ds rehtwinklige reiek von vorhin konstruieren, welhes die Proportion ypotenuse zu kleiner thete gleih :1 erfüllt. zu zeihnen wir eine erde. Nun gilt es, den reisrdius festzulegen, den wir die gesmte onstruktion hindurh eiehlten werden. ie ffnung unseres rostigen Zirkels wird später genu der Seitenlänge des zu konstruierenden Fünfeks entsprehen. er erste Shritt esteht drin, eine Senkrehte uf zu konstruieren. zu entigen wir zwei ilfspunkte und, die von der erden us üer zwei reisgen ermittelt werden knnen. ie erde durh und shneidet im Punkt. Indem wir einen reis um shlgen, erhlten wir den Shnittpunkt mit der Senkrehten uf. es weiteren entigen wir eine Mittelsenkrehte uf die Streke und ziehen deshl einen reisogen um und shneiden ihn mit dem reis um. Es resultieren die Punkte E und F. Wir wiederholen diesen Shritt mit der Streke und konstruieren die Mittelsenkrehte, welhe uns die Punkte und liefert. Nun legen wir eine erde durh und und shneiden diese mit dem reis um. ies ergit. s reiek ist nun ds ngestrete rehtwinklige reiek, dessen Seiten und sih wie :1 verhlten. Ws wir isher konstruiert hen, ist in ildung zusmmengefsst. In einem nähsten Shritt ziehen wir einen reis um und erhlten die Shnittpunkte L 5/003

3 onstruktion des regulären Fünfeks, Vrinte 1 3 E F ildung : Im rehtwinkligen reiek stehen die theten im Verhältnis :1. und M mit der erden. er Vergleih mit ildung 1 und ergit: LM : L τ. Wir hen somit den oldenen Shnitt konstruiert, der unumgänglih ist ei der onstruktion eines regulären Fünfeks. Wir ziehen je eine erde durh die Punkte und M sowie durh und L. ie Streke M ist eine erste Seite des gesuhten Fünfeks, M folglih der zweite Ekpunkt. Nun projizieren wir die Streke uf der erden, welhe den oldenen Shnitt erfüllt, uf die erde durh und M. zu konstruieren wir zunähst eine Prllele zur erden L durh den Punkt. Eine Möglihkeit, dies mit dem rostigen Zirkel zu ewerkstelligen, geht wie folgt: Wir shlgen einen reis um den Punkt. Von einem der eiden Shnittpunkte des reises mit der erden durh L shlgen wir einen reisogen (wir wählen Punkt I). Vom Shnittpunkt des soeen geshlgenen reises mit der erden L trgen wir wiederum einen reisogen, der den reis um im Punkt J shneidet. Unsere gesuhte Prllele verläuft nun durh und J. er Shnittpunkt der Prllelen mit der erden durh und M sei Punkt N. In ildung 3 ist zusmmengefsst, ws isher geshh. ls nähstes shlgen wir um Punkt N einen reisogen, der geshnitten mit dem reis um den dritten Ekpunkt unseres 5-Eks ergit, nämlih O. Wir sollten uns die Projektion des oldenen Shnittes uf die erde durh, M und N etws genuer nshuen. ezüglih Punkt M gilt nh dem Strhlenstz ds Verhältnis ML : L M : N. ie Streken M und N erfüllen lso die edingung des oldenen Shnittes. rüer hinus fällt uf, dss ds reiek ON ein gleihshenkliges reiek ist. ie Shenkel N O zw. O sind gleih lng wie die Streke M. Offensihtlih stehen in diesem reiek die 5/003

4 onstruktion des regulären Fünfeks, Vrinte 1 J E I L F M N ildung 3: nk der Prllelen durh und J hen wir den oldenen Shnitt uf die erde durh und M projiziert. Shenkel zur sis eenflls im oldenen Shnitt. em zufolge gilt für den siswinkel des gleihshenkligen reieks (z.. N O) die folgende eziehung: os α N O 5 1 α ros er Winkel OM ist somit , ws genu dem gewünshten Winkel des Fünfeks entspriht. enn die gesmte Winkelsumme eines regulären Fünfeks ist eknntlih 50, der Winkel einer Eke des Fünfeks ht lso eine Öffnung von Im letzten Shritt gilt es, die verleienden zwei Eken des Fünfeks zu konstruieren. zu konstruieren wir die Mittelsenkrehte zur Streke M, indem wir einen reis um M ziehen. ie Mittelsenkrehte geht dnn durh die Punkte P und Q. eshnitten mit einem reisogen um O ergit sih drus der vierte Ekpunkt R. Von R trgen wir einen reisogen, der den reis um M im fünften und letzten Ekpunkt unseres Fünfeks shneidet. Es sei dies der Punkt S. mit ist unser reguläres Fünfek M SRO komplett (. ). 5/003

5 R onstruktion des regulären Fünfeks, Vrinte 1 5 J E F O I L N P S M Q ildung : Fertig ist unser reguläres Fünfek! 5/003