6 Beispiele von Polytopen

Transkript

1 U. BREHM: Konvexgeometrie Beispiele von Polytopen Die 0-imensionalen Polytope sin genau ie Punkte. Die 1-imensionalen Polytope sin genau ie abgeschlossenen Intervalle (= Strecken). Die 2-imensionalen Polytope sin kombinatorisch äquivalent zum regelmäßigen n-eck ( n 3 ) (= konvexe Hülle er n-ten Einheitswurzeln in CI IR 2 ). B e w e i s : Übungsaufgabe (Satz 4.4 könnte helfen) Die 5 Platonischen Körper im IR 3 Facetten Tetraeer 4 gleichseitige Dreiecke Oktaeer 8 gleichseitige Dreiecke Würfel 6 Quarate Ikosaeer 20 gleichseitige Dreiecke Doekaeer 12 gleichseitige Fünfecke. Definition: Eine maximale Kette es Seitenverbanes eines Polytops heißt eine Fahne,.h. eine Fahne ist eine Kette von Seiten F0 F1 F P mit im Fi 1 im Fi 1. Die Symmetriegruppe eines Polytops ist ie Gruppe er Isometrien f :IR IR mit f P P. Eine Isometrie ist eine lineare Isometrie mit anschließener Translation. Eine Polytop heißt regulär, wenn seine Symmetriegruppe transitiv auf en Fahnen operiert,.h. wenn jee Fahne in jee urch eine Isometrie, ie as Polytop auf sich abbilet, überführt weren kann. Aus er Definition folgt sofort, ass alle Seiten eines regulären Polytops regulär sin. Satz 6.1: Die regulären 3-imensionalen Polytope sin genau ie 5 Platonischen Körper. B e w e i s : Die regulären 2-imensionalen Polytope sin genau ie regelmäßigen n-ecke (leicht zu sehen). Die Winkelsumme eines beliebigen n-ecks ist ( n 2) (zerlege in n 2 Dreiecke), also ie Winkel an jeer Ecke es regelmäßigen n-ecks ist ( n 2 ). n Die Summe er Winkel er Facetten eines 3-imensionalen Polytops in einer Ecke ist kleiner als 2. (Beweis als Aufgabe)

2 6-2 U. BREHM: Konvexgeometrie Wegen er Regularität stoßen an jeer Ecke k regelmäßige n-ecke zusammen. Also muss gelten k n 2 2, k 3, n3. n Die einzigen Lösungen sin: k n Dies sin ie Zahlen für ie 5 Platonischen Körper. Der Rest ist einfach zu sehen. Bezeichnung: Bezeichne fk ( P) ie Anzahl er k-seiten es Polytops P, also f1( P) 1. Reguläre Polytope in beliebigen Dimensionen: 1a) Das regelmäßige -imensionale Simplex: Am einfachsten lässt es sich im IR 1 beschreiben als konvexe Hülle er 1 Stanarbasisvektoren ( 0,, 0, 1, 0,,. 0) e i A i-te Stelle Es ist klar, ass jee Permutation er Ecken sich zu einer Isometrie fortsetzen lässt, also ie Symmetriegruppe ie symmetrische Gruppe S 1 er Ornung ( 1 )! ist. Offensichtlich operiert ie Symmetriegruppe fahnentransitiv,.h. as regelmäßige - Simplex ist regulär. b) Ein -Simplex ist efiniert als ie konvexe Hülle von 1 affin unabhängigen Punkten. Jee k-seite eines -Simplexes T ist ein k-simplex un ie konvexe Hülle von (beliebigen) k 1 vielen Ecken ist eine k-seite,. h. es gilt k f ( T ) 1 k 1. Beweis: Sei T o.b..a. ein -Simplex in IR. Dann spannen je Ecken eine Hyperebene auf, ie eine Stützhyperebene von T ist, also liegen je Ecken auf einer Facette un a er Durchschnitt von Seiten eine Seite ist, spannen je k 1 viele Ecken eine k-seite auf. Je zwei -Simplizes sin affin äquivalent,.h. lassen sich urch eine affine bijektive Abbilung ineinaner überführen; also sin sie kombinatorisch äquivalent ( L( T ) P({1,, 1}). 1 2 Offenbar gilt: T T ist ein ( 1 2 1) -Simplex.

3 U. BREHM: Konvexgeometrie 6-3 2) Der -imensionale Würfel C. Er ist gleich C : konv{( x1,, x) xi{ 1, 1} für i1,, }. Der -Würfel hat 2 viele Facetten, ie ( 1) -Würfel sin (bis auf Isometrie). Die Facetten liegen auf einer Hyperebene er Form x i i, wobei i { 1, 1 }. Daraus folgt, ass ie affine Hülle einer k-seite von er Form xi i,, x 1 1 i k i mit i i k 1,, k verschieen, i1, { 1, 1} ist. Also k fk ( C ) 2. k Die Symmetriegruppe als Matrizengruppe (bezüglich Stanarbasis) besteht aus allen ( ) -Matrizen, ie in jeer Zeile un Spalte genau ein Element aus { 1, 1 } haben un sonst überall Null. Sie hat ie Ornung 2! Sie operiert fahnentransitiv (B e w e i s Übungsaufgabe, sehr einfach), also ist er -imensionale Würfel C ein reguläres Polytop Es gilt C C C 2, insbesonere C II mit I [ 1,1]. 3) Das -imensionale regelmäßige Kreuzpolytop X. X : konv{ ei i1,, }, wobei e i, i 1,, ie Stanarbasis es IR sei. { ei} {( x1,, x) xi 1}, also ist ( X ) C, also ( ) 1 fk X fk( C ) (vgl. folgene Bemerkung), also k fk( X )2 1 ek 1j Es gilt X X X 2, insbesonere X II. Bemerkung: Allgemein gilt für ein -imensionales Polytop P IR mit 0 intp : f ( P ) f ( P) k k1 wegen Satz 5.2 un a im F im F 1 (en Facetten ( 1 ) Seiten entsprechen ie Ecken = 0-Seiten). Die eigentlichen Seiten es (regelmäßigen) Kreuzpolytops sin (regelmäßige) Simplizes, enn offensichtlich sin ie Facetten regelmäßige Simplizes. Bemerkung: Allgemein gilt: Wenn f eine lineare Isometrie es IR ist (also f ( 0) 0), ann ist ( f[ X]) f[ X ], a f ann mit em Skalarproukt, verträglich ist. Insbesonere ist ie Polarmenge eines regulären Polytops mit 0 als Zentrum (Schwerpunkt) wieer ein reguläres Polytop.

4 6-4 U. BREHM: Konvexgeometrie Das regelmäßige Kreuzpolytop X ist regulär. Die regulären Polytope in 4 IR : Name Schläfli-Symbol Facetten Eckenfigur f0 f 1 f 2 f3 Simplex {3,3,3} Tetraeer Tetraeer Würfel {4,3,3} Würfel Tetraeer Kreuzpolytop {3,3,4} Tetraeer Oktaeer Tell {3,4,3} Oktaeer Würfel Zell {3,3,5} Tetraeer Ikosaeer Zell {5,3,3} Doekaeer Tetraeer Definition: Eine -Pyramie P ist ie konvexe Hülle eines ( 1) -Polytops Q genannt Basis von P un eines Punktes xaff Q genannt Spitze von P. Sei F eine k-seite von P bestimmt urch ie Stützhyperebene h, also F H P. Da exp F exp P exp Q { x} gibt es zwei Möglichkeiten: a) xexp F. Dann ist F eine k-seite von Q ( F Q zugelassen). b) x exp F. Dann exp F \ { x} exp Q un exp F \ { x } ist ie Menge er Ecken er ( k 1) -Seite H Q F Q von Q. Also ist F ie Pyramie mit Basis F Q un Spitze x. Umgekehrt ist Q eine Seite von P, also jee Seite von Q eine Seite von P. Falls F H 0 Q eine Seite von Q ist, wobei H0 aff Q eine Stützhyperebene von Q in aff Q sei, ann ist aff( H0 { x}) eine Stützhyperebene von P. Die Seiten von P sin also genau ie in a) un b) beschriebenen Seiten un es folgt f ( P) f ( Q) f 1 ( Q). k k k Bemerkung: Sei 0 relint Q. Dann ist P offensichtlich kombinatorisch äquivalent zu Q {0}.

5 U. BREHM: Konvexgeometrie 6-5 Definition: Eine -Bipyramie P ist ie konvexe Hülle eines ( 1) -Polytops Q genannt Basis von P un einer Strecke I x 0 x 1, so ass rel int Q rel int I aus einem Punkt besteht. Ähnlich wie für Pyramien sieht man leicht, ass ie eigentliche Seite von P genau ie folgenen sin: a) ie eigentlichen Seiten von Q; b) ie Pyramien mit einer eigentlichen Seite von Q als Basis un x 0 un x 1 als Spitze; c) ie Ecken { x 0 } un { x 1 }. Daraus folgt: fk( P) fk( Q) 2fk1( Q) für 0 k 2 f ( P) 2 f ( Q). 1 2 Bemerkung: Sei 0 relint Q, 0 relint I. Dann ist P offensichtlich kombinatorisch äquivalent zu Q I. Sei Q ein ( 1) -Polytop un I eine abgeschlossene Strecke, so ass aff I zu keiner Geraen in aff Q parallel ist. Dann heißt Q I ein -Prisma mit Basis Q. Wenn I konv x0, x1, ann ist (nach Satz 1.5, b)) Q I konv ( Q x ) ( Q x ) 0 1. Offensichtlich ist P kombinatorisch äquivalent zu Q I. Definition: Ein Polytop P heißt simplizial, falls alle Facetten von P Simplizes sin. P heißt einfach, falls jee Ecke in genau Facetten liegt (wobei : imp). Sei P ein Polytop mit Oint P. Dann ist P einfach genau ann, wenn P simplizial ist. P ist simplizial genau ann, wenn P einfach ist. B e w e i s : Klar, a simplizial für ein -Polytop beeutet: Jee Facette enthält genau Ecken.

6 6-6 U. BREHM: Konvexgeometrie Beispiele: Das Simplex, as Kreuzpolytop, as Ikosaeer, eine Bipyramie über einem simplizialen Polytop sin simplizial. Das Simplex, er Würfel, as Doekaeer, ein Prisma über einem einfachen Polytop sin einfach. Sei X IR enlich un in allgemeiner Lage (.h. je 1 Punkte aus X seien affin unabhängig). Dann ist konv X ein simpliziales Polytop. (Beachte, ass ie Ecken eines simplizialen Polytops keineswegs in allgemeiner Lage sein müssen, wie as Beispiel es Oktaeers zeigt.) Eine wichtige Familie von Polytopen (wegen Extremaleigenschaften ihres f-vektors) sin ie zyklischen Polytope. Definition: Sei x :IR IR ie urch xt tt t (): (, 2,, ) efinierte Kurve ( Momentenkurve ). Ein zyklisches Polytop Cv (, ) ist ie konvexe Hülle von v 1 verschieenen Punkten auf M: x IR. l i vq ie gegebene Teilmenge von M. Sei V x( t ) 1 i v, t1 t2 t Wir wollen nun ie Seiten von Cv (, ) bestimmen (.h. eren Eckenmengen). Dazu zunächst Lemma 6.1: Cv (, ) ist ein simpliziales Polytop. B e w e i s : Wir zeigen, ass ie Punkte von M in allgemeiner Lage sin. Sei W M mit carw 1 un sei W lx( si ) 0i q. F G H s s s 1 s1 s1 s1 et ( sj si) 0 0 i j G J, 2 1 s s s i0 also folgt aus i xs ( i ) 0 un Also ist M un amit V I J K i 0 i0, ass alle i 0, also ist W affin unabhängig. M in allgemeiner Lage un amit Cv (, ) simplizial. Bezeichnung: Seien abc,, M. Wir sagen b liegt zwischen a un c, falls a x t b x( t2 ), c x( t3 ) mit t1 t2 t3 oer t3 t2 t1. ( ) 1,

7 U. BREHM: Konvexgeometrie 6-7 Satz 6.2: Sei V M enlich un W V mit car W. Dann ist konvw eine Facette von konvv genau ann, wenn zwischen je zwei Punkten von V \ W eine gerae Anzahl von Punkten von W liegt. ( GALE s Geraheits-Beingung) Beweis: W ist nach Lemma 6.1 affin unabhängig, also H aff W eine Hyperebene in IR. Da M eine Kurve -ter Ornung ist, folgt H M W un ie Punkte von W teilen M in 1 Stücke, ie abwechseln auf jeer Seite von H liegen. konvw ist eine Facette von konvv genau ann, wenn H eine Stützhyperebene ist,.h. alle Punkte von V \ W auf erselben Seite von H liegen. Dies ist nun offenbar genau ann er Fall, wenn zwischen je zwei Punkten von V \ W eine gerae Anzahl von Punkten von W liegen. Definition: Der f -Vektor eines -Polytops P ist er Vektor ( f ( P),, f ( P)). 0 1 fi( P) ist ie Anzahl er i-ten Seite von P, also insbesonere f1( P) 1, f ( P) 1. Das Hauptziel er kombinatorischen Theorie er Polytope wäre, alle kombinatorischen Typen von Polytopen (.h. alle Seitenverbäne) zu beschreiben (etwa für feste Dimension un Eckenzahl n). Dies ist für 2 trivial, für n 8 ist es mit viel Mühe un Computerhilfe geglückt, für allgemeines nur für n 2, für simpliziale Polytope für n 3. Da as Problem zu schwierig ist, hat man versucht, wenigstens zu bestimmen, welche Zahlentupel f - Vektor eines simplizialen Polytops sin. Dies ist 1980 gelungen. Wir wollen später en f -Vektor von Cv (, ) bestimmen. Dazu zunächst einige Bezeichnungen: Sei V x( t1), x( t2),, x( t v ) k p mit t 1 t 2 t v l i, i1,, jq mit xi W X W heißt ein Stück von W, falls X x x x 1 i j v). car X ji1 heißt ie Länge es Stücks X. Eine Menge Y W er Form Y kx 1,, x i p, xi 1 W heißt Anfangsmenge; Y lxj,, xvq, xj 1 W heißt Enmenge.. x : x( t ), W V. i i 1, xj 1 W (für ein Jee echte Teilmenge W V lässt sich eineutig schreiben als W Y1 X1 Xi Y2, wobei ie X i Stücke von W sin, Y 1 bzw. Y 2 Anfangs- bzw. Enmenge oer ie leere Menge.

8 6-8 U. BREHM: Konvexgeometrie W heißt von Typ ( rs, ) falls carw sin. Satz 6.3: Sei W V C v r un genau s er Stücke X i von ungeraer Länge exp (, ) ( v 1 ). Dann ist konvw eine k-seite von Cv (, ) ( 0 k 1) genau ann, wenn W von Typ ( k 1, s) für ein s k 1 ist. Beweis: Für k 1 folgt ie Behauptung unmittelbar aus Satz 6.2. Sei W V mit carw k 1 ie gegebene Teilmenge. Falls W höchstens k 1 Stücke ~ ungeraer Länge enthält, ann gibt es W W V un W ~ ist vom Typ (, 0 ) also eine Facette (vergrößere W zunächst inem zu jeem ungeraen Stück er erste nachfolgene Punkt von V hinzugefügt wir un vergrößere ann ie Anfangsmenge nacheinaner bis W ~ Punkte enthält). W ~ ist ann also Teilmenge er Eckenmenge einer Facette, also ist W wegen Cv (, ) simplizial ie Eckenmenge einer Seite. Umgekehrt falls konvw eine Seite von Cv (, ) ist, ann gibt es eine Facette konv W ~ mit ~ W W V (vgl. Satz 4.4.5). Also ist W ~ vom Typ (, 0 ), also kann W höchstens ( k 1 ) viele Stücke ungeraer Länge haben (a as Entfernen eines Punktes ie Zahl er ungeraen Stücke höchstens um 1 vergrößert). Folgerung 6.1: Der kombinatorische Typ von Cv (, ) hängt nicht von er Auswahl von V M ab. Beweis: Sei V 1 { x( t 1 ),, x( t v )}, V 2 { x( s 1 ),, x( s v )} mit t 1 t 2 t v, s 1 s 2 s v. Dann efiniert h: V1 V2 mit hxt ( ( i)): xs ( i) eine Bijektion zwischen en Eckenmengen, ie eine Bijektion zwischen en Facettenmengen inuziert. h inuziert einen kombinatorischen Isomorphismus, a wegen Satz un jee Seite Durchschnitt er Facetten ist, ie iese Seite enthalten. Definition: Ein Polytop P heißt k-nachbarschaftlich, falls jee k-elementige Teilmenge von exp P gleich er Eckenmenge einer eigentlichen Seite von P ist. Folgerung 6.2: Cv (, ) ist 2 -nachbarschaftlich. Beweis: Jee 2 -elementige Teilmenge von V ist vom Typ ( 2, s) für ein s 2 2, ist also nach Satz 6.3 ie Eckenmenge einer ( 2 1) -Seite von Cv (, ). Es folgen einige Sätze über k-nachbarschaftliche Polytope.

9 U. BREHM: Konvexgeometrie 6-9 Satz 6.4: Sei P ein k-nachbarschaftliches -Polytop. Dann gilt: 1) Je k Ecken von P sin affin unabhängig. 2) Je k Ecken von P spannen eine ( k 1) -Seite von P auf, ie ein Simplex ist, un jee ( k 1) -Seite von P ist ein Simplex. 3) Falls 1 j 4) f j( P) v j 1 k, ann ist P auch j-nachbarschaftlich. e j für alle 0 1 j k, wobei v f0( P). 5) Falls W exp P un carw k 1, ann ist konvw auch k-nachbarschaftlich. 6) Falls k 2, ann ist P ein Simplex. 7) Falls 2 k, ann ist P simplizial. Beweis: Sei V: expp. 1) Sei W { w1,, wk} V affin abhängig. Dann ist wkaff{ w1,, wk1} o.b..a. Sei z V \ W, Z: { w1,, wk1, z}. Da P k-nachbarschaftlich ist, ist F konv Z eine Seite von P un Z exp F. Für jee Hyperebene H mit F H P gilt wkaff{ w1,, wk1} aff Z H, also wk F. Da wk V F exp F folgt wk Z. Wierspruch! 2) 1. Aussage folgt irekt aus 1). Jee ( k 1) -Seite von P enthält minestens k Ecken, ie jeoch nach er 1. Aussage bereits eine ( k 1) -Seite aufspannen, also nach Lemma 4.4.a gleich er Seite sin. 3) Klar mit 2). 4) Klar mit 3). 5) Klar mit 1) un Lemma ) Wenn P kein -Simplex ist, ann ist carv 2. Sei W V mit carw 2. Nach em Satz von RADON (2.2) gibt es Y, Z W mit YZ, YZ W, konv Y konv Z. O.B..A. car Y ( 2) 1 k Da P k-nachbarschaftlich ist, ist nach 3) konvy eine Seite von P. Für eine Stützhyperebene H von P mit H P konv Y haben wir H konv Z (a H Stützhyperebene) im Wierspruch azu, ass H V Y. Also ist carv 1, also ist as -Polytop P ein Simplex. 7) Sei F eine Facette von P. Dann ist F nach 5) ein k-nachbarschaftliches ( 2k 1) -Polytop, also nach 6) ein Simplex.

10 6-10 U. BREHM: Konvexgeometrie Bemerkung: Da eine Pyramie über einem k-nachbarschaftlichen Polytop auch k-nachbarschaftlich ist, gibt es nicht-simpliziale k-nachbarschaftliche ( 2k 1) -Polytope (z. B. Pyramie mit Basis C( v, 2 k) mit v 2k 2). Bemerkung (ohne Beweis): Falls v 2k 3, ann ist ein k-nachbarschaftliches ( 2k) - Polytop mit v Ecken kombinatorisch isomorph zu C( v, 2 k), anererseits gibt es Beispiele für 2-nachbarschaftliche 4-Polytope mit 8-Ecken, ie nicht kombinatorisch isomorph zu C( 84,) sin. Satz 6.5: Sei P ein reiimensionales Polytop mit kantentransitiver Symmetriegruppe. Dann ist P (bis auf Homothetie un Drehung) eines er folgenen 9 Polytope: 1) 5) einer er 5 Platonischen Körper oer 6) as Kuboktaeer, as ie konvexe Hülle er Kantenmittelpunkte es Würfels ist (= konvexe Hülle er Kantenmittelpunkte es Oktaeers) oer 7) as Doekaikosaeer, as ie konvexe Hülle er Kantenmittelpunkte es Doekaeers ist (= konvexe Hülle er Kantenmittelpunkte eines Ikosaeers) oer 8) as Rhombenoekaeer, as polar zum Kuboktaeer ist (wobei 0 im Schwerpunkt liegt) oer 9) as Rhombentriakontaeer, as polar zum Doekaikosaeer ist (wobei 0 im Schwerpunkt liegt). f-vektoren f 0 f 1 f 2 6) Kuboktaeer 12 (4valent) (6 Quarate + 8 Dreiecke) 8) Rhombenoekaeer (4valent 3valent) (Rhomben) 7) Doekaikosaeer 30 (4valent) (12 Fünfecke + 20 Dreiecke) 9) Rhombentriakontaeer (Rhomben)

11 U. BREHM: Konvexgeometrie 6-11 Beweis: 1. Fall: Alle Ecken haben ie gleiche Valenz un alle Facetten ieselbe Eckenzahl. Dann gibt es bis auf kombinatorische Äquivalenz nur ie 5 Platonischen Körper (siehe Beweis ort, argumentiere mit urchschnittlichen Winkeln); wegen er kantentransitiven Symmetriegruppe ist P einer er Platonischen Körper. 2. Fall: In jeer Kante stoßen ein p-eck un ein q-eck ( p q) zusammen. Dann stoßen (wegen er kantentransitiven Symmetriegruppe) in jeer Ecke abwechseln p-ecke un q-ecke zusammen. Ferner sin ie p-ecke un q-ecke regelmäßig, enn: Q 2 k1 Q 1 k 2 Die Isometrie, ie k 1 auf k 2 abbilet, muss P auf P sich abbilen (a P nicht auf Q 2 abgebilet weren kann). Also sin ie Winkel p 2 q 2 bzw. ; sei k ie Anzahl er p-ecken un q- p q Ecken, ie in jeer Ecke zusammenstoßen (also Valenz 2k ), ann muss gelten F I F I K p 2 q 2 k H p q K p 2 q 2 2, also k H p q 2. () Sei o.b..a. p q. Wegen k 2, p 3, q p1 sin ie einzigen Lösungen von (): a) k 2, p3, q4 b) k 2, p3, q5. Im Fall a) stoßen also abwechseln Quarate un gleichseitige Dreiecke in jeer Ecke zusammen (un zwar insgesamt jeweils 2). Dies ist schon as halbe Kuboktaeer. Im Fall b) stoßen also abwechseln reguläre Fünfecke un gleichseitige Dreiecke in jeer Ecke zusammen (insgesamt jeweils 2). Dies ist schon as halbe Doekaikosaeer.

12 6-12 U. BREHM: Konvexgeometrie Nun ist leicht zu sehen, ass iese beien ie einzigen Polytope mit kantentransitiven Symmetriegruppen im 2. Fall sin. 3. Fall: In jeer Kante stoßen zwei k-ecke zusammen un beie Ecken jeer Kante sin p- un q-valent ( p q). Dann hat as polare Polytop (bzgl. Zentrum) ebenfalls eine kantentransitive Symmetriegruppe un wir sin im 2. Fall. Also kommen noch as Polare (bzgl. Zentrum) es Kuboktaeers, nämlich as Rhombenoekaeer, un es Doeka-Ikosaeers azu, nämlich as Rhombentriakontaeer. Bemerkung: Das Rhombenoekaeer X ist besoners wichtig, a man mit ihm en IR 3 parkettieren kann un zwar gitterförmig,. h. es gibt eine enlich erzeugte Untergruppe G von ( IR 3, ), so ass IR 3 ( X g) un ( X g1) ( X g2) gg für g, g G mit g g Eine wichtige Klasse von Polytopen sin ie Zonoeer. Definition: Die Summe von Strecken heißt ein Zonoeer. Beispiele: Im IR 2 : Im IR 3 : 1) Parallelepipe 2) Rhombenoekaeer

13 U. BREHM: Konvexgeometrie ) (in jeer Ecke ein Quarat un zwei reguläre Sechsecke aneinaner stoßen) Bemerkungen: 1) Jee Seite eines Zonoeers ist ein Zonoeer. 2) Das affine Bil eines Zonoeers ist ein Zonoeer (also insbesonere Projektionen). 3) Ein Zonoeer ist zentralsymmetrisch (Zentrum ist ie Summe er Streckenmittelpunkte; falls Zentrum in O gewählt ist, heißt as, ie Abbilung f mit f( x) x bilet as Zonoeer auf sich ab) un auch alle Seiten eines Zonoeers sin zentralsymmetrisch (mit jeweils anerem Zentrum). Ein Zonoeer kann also z. B. niemals ein Dreieck oer ein Fünfeck als Seite haben. Aufgaben 6.1 Beschreiben Sie ie Menge er j-seiten eines zyklischen Polytops (mit Begrünung). 6.2 Bestimmen Sie ie Zahl er Facetten für ie zyklischen Polytope C (10, 4) un C (10,5). 6.3 Bestimmen Sie in 3 IR alle Zonoeer mit eckentransitiver Symmetriegruppe. Definition: Ein Polytop heißt halbregulär, falls es nicht regulär ist, aber jee seiner Facetten regulär ist un ie Symmetriegruppe eckentransitiv ist. 6.4 Zeigen Sie, ass genau 13 verschieene Typen halbreguläre 3-Polytope (sogenannte ARCHIMEDische Körper) sowie 2 Folgen erartiger 3-Polytope (ARCHIMEDische Prismen bzw. ARCHIMEDische Antiprismen) existieren.

14 6-14 U. BREHM: Konvexgeometrie 6.5 a) Leiten Sie her, in welchem Verhältnis ie Kanten es (regulären) Oktaeers unterteilt weren müssen, um ie Eckenmenge eines (regulären) Ikosaeers zu liefern. b) Geben Sie (mit Hilfe von a)) ie Ecken eines Ikosaeers explizit an (in kartesischen Koorinaten). (Bezeichne : 1 5 ) 2 c) Bauen Sie ein Moell aus 3 kongruenten Rechtecken, ie so verbunen sin, ass ihre Ecken ie Ecken eines (regulären) Ikosaeers bilen. 6.6 Seien P ein 1 -Polytop, Q ein 2 -Polytop mit 0 relint P, 0 relint Q. Leiten Sie ie Formeln her für a) f ( P Q) i b) f ( P Q) i c) f ( P Q) i jeweils als Funktion er f-vektoren von P un von Q. Hinweis: Verwenen Sie Aufgabe 4.2