Atom- und Quantenoptik (WS 2009) Dr. Robert Löw, Dr. Sven M. Ulrich, Jochen Kunath. Beugungsphänomene

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1 Praktikumsversuch zur Wahlpflicht-Vorlesung Atom- und Quantenoptik (WS 009) Dr. Robert Löw, Dr. Sven M. Ulrich, Jochen Kunath Beugungsphänomene In dieser Versuchsreihe sollen verschiedene Experimente zum besseren Verständnis und zur Unterscheidung von Beugungs- und Interferenzeffekten durchgeführt werden. Ein weiterer wichtiger Aspekt dieses Versuchs ist die experimentelle Untersuchung zwischen Fresnel- und Fraunhoferbeugung anhand eines Einzelspaltes. Stichwörter für die Vorbereitung des Versuches: Beugung und Interferenz am Einzel-, Doppelspalt und Gitter Fresnel- und Fraunhoferbeugung Grundlagen Beugung und Interferenz Gewöhnliche Schatten, wie man sie erhält, wenn man zwischen Lichtquelle und Wand einen undurchsichtigen Gegenstand bringt, weichen bei näherer Betrachtung zum Teil stark von den Gesetzen der geometrischen Optik ab. Abbildung 1 zeigt die Beugung von Lichtwellen an einer scharfen Kante. Man erkennt, dass das Licht einerseits in Bereiche eindringt, die gemäß der geometrischen Optik verboten wären, wie auch andererseits das Beugungsmuster auch an den Stellen, an denen das Licht nach den Gesetzen der geometrischen Optik ungestört an der Kante vorbeilaufen müsste. Abbildung 1: Links: Versuchsaufbau zur Beugung an einer Kante. Im Abstand R wird das Beugungsbild betrachtet. Rechts: Beugungsbild an einer Kante im Abstand von R = 10 cm. Aufgetragen ist die Intensität in willkürlichen Einheiten über der Position des Beobachtungspunktes in Metern. 1

2 Die Wellen werden an der Kante gebeugt, wodurch diese interferieren und Beugungsminima und -maxima erzeugen. Die Begriffe Beugung und Interferenz werden im Sprachgebrauch oft nicht eindeutig verwendet, im Allgemeinen gibt es aus physikalischer Sicht keinen Unterschied. Prinzipiell spricht man bei der Überlagerung vieler Wellen von Beugung und bei der Überlagerung weniger Wellen von Interferenz, wie Abbildung 3 zeigt. Allerdings kann die Beugung nicht durch das Huygenssche Prinzip erklärt werden. Dieses besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront Ausgangspunkt einer neuen Sekundärwelle sein kann. Da das Huygenssche Prinzip alle Wellenlängen gleich behandelt, dürfte es keinen Unterschied bei der Ausbreitung zwischen Schallwellen (λ cm) und Lichtwellen (λ nm) geben. Allerdings kann man eine Person, die sich in einem anderen Raum aufhält, zwar nicht sehen, bei offener Tür aber durchaus hören. Die Wellen breiten sich unterschiedlich aus; ein scheinbarer Widerspruch zum Huygens- Prinzip. Um diese Unzulänglichkeit zu beheben, erweiterte Fresnel das Huygenssche Prinzip, indem er die Interferenz einführte: Jeder nicht abgeschirmte Punkt einer Wellenfront bildet zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Quelle sekundärer Elementarwellen, deren Frequenz mit jener der Primärwelle übereinstimmt. In jedem nachfolgenden Punkt ist die Amplitude des optischen Feldes durch die Überlagerung aller dieser Elementarwellen (unter Berücksichtigung der Amplituden und relativen Phasen) gegeben (aus [1]). Als unmittelbare Folgerung ergibt sich: Ist die Größe eines Einzelspaltes klein gegen die Wellenlänge, so breiten sich die Wellen unter großen Beugungswinkeln aus. Umgekehrt erhält man bei großen Spaltgrößen ein relativ scharfes Maximum. Abbildung : Beugungsbilder bei konstanter Spaltgröße und variablem Abstand Spalt-Schirm (von oben nach unten zunehmend). Aufgetragen ist die Intensität in willkürlichen Einheiten über der Position des Beobachtungspunktes am Schirm in Metern. Fresnel- vs. Fraunhoferbeugung Die Fraunhoferbeugung ist lediglich ein Spezialfall der Fresnelbeugung, der eintritt, wenn der Schirm, beziehungsweise die Quelle, sehr weit vom beugenden Objekt entfernt ist. Fährt man mit dem Schirm immer näher an das beugende Objekt heran, so weicht das Beugungsbild deutlich von dem der Fraunhofernäherung ab. Man gelangt vom Fernfeld (Fraunhoferbeugung) ins Nahfeld (Fresnelbeugung), wie Abbildung zeigt. Das erste Bild entspricht dem Abstand Spalt-Schirm der Größe des Einzelspaltes, hier 0,1 mm, beim letzten Bild beträgt dieser Abstand 1 m. Man

3 Abbildung 3: oben: Beugung am Einzelspalt mit unterschiedlicher Position der Spalte. Unten: Überlagerung der beiden Spalte ohne (links) und mit (rechts) Interferenz. Aufgetragen ist die Intensität in willkürlichen Einheiten über der Position des Beobachtungspunktes am Schirm in Metern. erkennt deutlich die einzelnen Minima und Maxima im Nahfeld, welche in der Fernfeldnäherung (Fraunhoferbeugung) verschwinden. Verringert man bei konstantem Abstand Spalt - Schirm im Fernfeld die Wellenlänge des Lichts, so erhält man wieder Fresnelbeugung. Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man statt der Wellenlänge den Spalt vergrößert. So kann das Nahfeld auch mehrere Meter betragen. Abbildung 4 zeigt die Beugung von Lichtwellen an einem Spalt der Breite b. Im Beobachtungspunkt P erhält man verschiedene Beugungsbilder (Intensitätsverteilungen) in Abhängigkeit des Abstands R von Spalt und Schirm. Das Fresnelintegral zur Berechnung der Intensitätsverteilung I auf dem Schirm ist in einer Dimension gegeben durch I 1 (λr) p(x )e iπ (x x ), (1) wobei p(x) die Spaltfunktion (Aperturfunktion) ist. Im Falle eines Einzelspaltes der Größe b ist { 1, für x < b/ p(x) =. () 0 sonst 3

4 Abbildung 4: Beugung am Spalt. Die Quelle A befindet sich im Abstand d zum Spalt der Größe b. Im Beobachtungspunkt P wird das Beugungsbild betrachtet. Für d >> λ gilt die Näherung der ebenen Wellen. Damit wird das Fresnelintegral zu I 1 b/ e iπ (x x ) (λr) b/ = 1 x+b/ x iπ e (λr). x b/ (3) (4) Unter Verwendung der Eulerschen Identität (e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ) ergibt sich damit I Fresnel 1 x+b/ ( ( ) ( )) πx πx cos + i sin dx, (5) (λr) λr λr x b/ also die Intensitätsverteilung bei der Beugung an einem Spalt der Breite b im Fresnel-Regime. Integrale der Form ( ) πα sin dα (6) nennt man Fresnel-Integrale. Diese lassen sich mit Computern relativ einfach berechnen (Abbildung, oben). Die Fresnelbeugung ist der allgemeine Fall bei der Beugung an einem Spalt. Aus dieser Darstellung erhält man wie folgt die Fraunhofernäherung: Das Fresnelintegral I 1 (λr) p(x )e iπ (x x ) (7) 4

5 kann geschrieben werden als I 1 (λr) p(x )e iπx iπx λr e ixx λr e. (8) Ist der Abstand R zwischen Spalt und Schirm sehr groß, so können die quadratischen Terme in Gleichung (8) vernachlässigt werden und man erhält I Fraunhofer 1 (λr) p(x )e ixx, (9) also das lineare Ergebnis für die Fraunhoferbeugung. Vergleicht man Gleichung (9) mit der Fouriertransformierten F = f(x)e ikx dx (10) einer Funktion f(x) mit der Wellenzahl k = x, so liefert dies ein erstaunliches Ergebnis: Die λr Intensitätsverteilung der Fraunhoferbeugung im Fernfeld ist also gerade die Fouriertransformierte der Spaltfunktion p(x). Im Falle eines Einzelspaltes ist p(x) durch Gleichung () gegeben und die Intensitätverteilung liefert für diesen Fall gerade I(θ) = I(0) sin((mb/) sin θ), (11) (mb/) sin θ wobei hier m gerade die Position des m-ten Maximum ist, wie in Abbildung 3 (oben) zu sehen ist. Bestimmung der Haardicke über Beugungserscheinungen Nach dem Babinet-Theorem haben zwei geometrisch komplementäre Gegenstände das gleiche Beugungsbild. Deshalb kann ein Draht (oder ein Haar) auch als Einzelspalt angesehen werden. Dies liegt daran, dass das Beugungsbild im Unendlichen (Fernfeld) gerade die Fouriertransformierte der Spaltfunktion ist. Da diese beim Einzelspalt und Draht (bis auf das Vorzeichen) gleich sind, folgt daraus, dass sie das gleiche Beugungsbild besitzen. Für die Spaltbreite eines mit Licht bestrahlten Einzelspaltes folgt aus Abbildung 5: sin α = s b = m λ, m N und tan α = x b R und unter Berücksichtigung kleiner Winkel (tan α sin α) gerade (1) x R = m λ b b = m λ R, m N. (13) x Dabei ist b die Spaltbreite, R der Abstand Einzelspalt-Schirm und die Zahl m bezeichnet das m te Minimum beziehungsweise Maximum. 5

6 Abbildung 5: Beugung am Einzelspalt Speicherkapazität einer CD bzw. DVD In der digitalen Verarbeitung werden sämtliche Informationen als Kette von Nullen und Einsen repräsentiert. Diese werden mit einem Laser auf ein lichtdurchlässiges Trägermaterial auf der CD als Vertiefungen (Pits) und Erhebungen (Lands) geschrieben. Dabei entspricht ein Übergang von Land zu Pit beziehungsweise von Pit zu Land einer logischen 1, kein Übergang (d.h. zwei Pits oder zwei Lands hintereinander) entspricht einer logischen 0 (siehe Abbildung 6). Abbildung 6: Speicherung der digitalen Informationen mit Lands und Pits, d.h. Nullen und Einsen. Die Pits und Lands haben eine Länge l und eine Breite b, die Pits zusätzlich eine Vertiefung t gegenüber den Lands. Dieser Weglängenunterschied beim Abtasten des Lasers erzeugt Interferenzmaxima (bei einem Übergang Land-Land oder Pit-Pit) und -minima (Land-Pit oder Pit-Land). Die Menge an Nullen und Einsen, die auf eine CD oder DVD gespeichert werden kann, bezeichnet man als ihre Speicherkapazität. Daraus folgt: Je mehr Pits und Lands (also Nullen und Einsen) man auf eine CD speichern kann, desto höher ist ihre Kapazität. Diese sind auf der CD beziehungsweise DVD spiralförmig auf den Rillen angeordnet. Bei einer CD haben die Pits und Lands eine Länge von je 0,83 µm, bei einer DVD jeweils 0,4 µm. 6

7 Die Kapazität einer CD beziehungsweise DVD erhält man, wenn man deren Rillenabstand d misst. Diesen bestimmt man aus dem Abstand zweier benachbarter Beugungsmaxima, welche als Punkte auf dem Schirm zu erkennen sind. Um die Anzahl der Lands und Pits zu bestimmen, benötigt man die Gesamtlänge der Datenspirale auf der CD. Diese erhält man, wenn man sich die Spirale als langgezogenes Rechteck der bekannten Breite d und der gesuchten Länge l vorstellt. Mit der beschreibbaren Fläche A der CD folgt aus l = A d (14) gerade die Länge der Datenspirale. Aufgabenstellung Fresnel- vs. Fraunhoferbeugung Im ersten Versuchsteil soll der Unterschied zwischen Beugung und Interferenz untersucht werden. Zur Verfügung stehen mehrere Dias: Einzelspalt Doppelspalt Dreifachspalt Gitter... Wie können Sie damit den Unterschied zwischen Beugung und Interferenz deutlich machen? Führen Sie dazu geeignete Messungen durch, indem Sie zum Beispiel untersuchen, wie sich das Beugungsbild verändert, wenn man die Spaltgröße variiert. Im zweiten Versuchsteil untersuchen Sie das Nahfeld eines Einzelspaltes. Beleuchten Sie den variablen Einzelspalt mit dem Laser, indem Sie den Strahl mit zwei Linsen aufweiten. Die Größe des Einzelspaltes verändern Sie, indem Sie an der Schraube oberhalb des Spaltes drehen. Untersuchen Sie den Unterschied zwischen Fresnel- und Fraunhoferbeugung. Überprüfen Sie, ob die Bedingung R > b λ für das Fraunhofer-Regime sinnvoll ist. Detektieren Sie das Nahfeld mit der Photodiode und dem Oszilloskop. Dazu müssen Sie die Zeiteinstellung des Oszilloskops auf etwa eine Sekunde stellen. Haardicke ausmessen Bei diesem Versuch soll die Dicke eines Haares über Beugung bestimmt werden. Dazu legen Sie ein Dia mit einem eingespannten Haar in den Halter und lassen dieses von dem Laserstrahl ausleuchten. Dann messen Sie den Abstand R vom Einzelspalt (=Haar) zum Schirm und den Abstand x (15) 7

8 zweier aufeinanderfolgender Beugungsminima oder -maxima. Aus diesen Werten können Sie mit Gleichung (13) die Dicke des Haares berechnen. Vergleichen Sie diese berechnete Haardicke mit der Dicke eines Haares von Ihnen, indem Sie dieses in den Laserstrahl halten und den Abstand der Beugungsmaxima oder -minima messen. Speicherkapazität einer CD bzw. DVD Im ersten Versuchsteil bestimmen Sie die Kapazität einer CD. Dazu verwenden Sie ein Blatt Papier mit einem kleinen Loch, durch das der Laserstrahl gelangen kann, als Schirm. Der von der CD reflektierte Strahl (Maximum 0. Ordnung) sollte direkt auf den Laser zurückreflektiert werden. Markieren Sie die beiden nebeneinanderliegenden Maxima, die auf dem Schirm zu sehen sind, mit einem Stift. Aus dem Abstand der beiden Maxima können Sie den Rillenabstand d bestimmen. Berechnen Sie die beschreibbare Fläche der CD und ermitteln Sie mit Gleichung (14) die Länge l der Datenspirale. Im Binärsystem bezeichnet man eine 0 oder eine 1 als Bit. 8 Bits ergeben 1 Byte, 1000 Bytes entsprechen 1 KB in der Dezimalschreibweise 1. Geben Sie die Speicherkapazität der CD in MB (Megabyte) an. Im zweiten Versuchsteil bestimmen Sie die Speicherkapazität einer DVD. Dazu verfahren Sie analog zum vorhergehenden Versuchsteil. Warum liegen die Beugungsmaxima weiter auseinander? Geben Sie die Kapazität der DVD in MB und GB an. Aufgaben zur Vorbereitung 1. In Abbildung 7 befindet sich eine punktförmige Quelle im Abstand d vom Mittelpunkt eines kreisförmigen Lochs mit dem Radius a in einem undurchsichtigen Schirm. Der Abstand von der Kante des Loches zur Quelle beträgt d + h. Abbildung 7: Zu Aufgabe 1 Weisen Sie nach, dass im Falle λd >> a 1 Im binären System entsprechen 104 (= 10 ) Bytes gerade 1 KB. 8

9 auf einem weit entfernten Schirm Fraunhoferbeugung auftritt. Welchem Wert entspricht d mindestens, wenn a = 1 mm, λ = 500 nm und h λ 10 ist?. Wie ändert sich das Beugungsbild im Fraunhofer-Regime für den Fall λ 0? Literatur [1] E. Hecht, Optik (Oldenbourg Verlag) [] D. Meschede, Gerthsen Physik (Springer Verlag) [3] W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 3 (Springer Verlag, 007) 9

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