Die Ellipse, Zusammenhänge und Konstruktion

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1 ie Ellipse, Zusammenhänge und Konstruktion ie Ellipse hat eine große chse und eine kleine chse. Es lassen sich zwei Kreise bilden, einen mit dem großen urchmesser und einen dem kleinen urchmesser. In der linken Zeichnung ist vorstellbar, wie der große Kreis vertikal gedrückt und der kleine Kreis horizontal gedehnt wird, bis die violette Ellipse erreicht wird. iese vertikale Verkürzung lässt sich mit einer rehung des großen Kreises veranschaulichen, bei dem dieser als Ellipse abgebildet wird. Siehe untere, linke Zeichnung. Werden nun beliebige Radien (violett, orange, rot, grün) in die Kreise eingezeichnet, so ergeben diese jeweils auf dem kleinen und dem großen Kreis affine (zugeordnete) unkte. Werden von diesen aus die Verkürzung in vertikaler Richtung und die ehnung in horizontaler Richtung ausgeführt, ergibt dies exakt unkte auf der Ellipse. Siehe oberes, rechte ild. ies ist eine ethode Ellipsen zu konstruieren, wenn die Scheitel (,,, ) gegeben sind. ie geometrische efinition der Ellipse bezieht sich auf die rennpunkte: ie Ellipse ist die enge aller unkte, für die die Summe der bstände von zwei festen unkten (den rennpunkten F1 und F2), gleich groß ist (nämlich die große chse ). F 1 F 2 ie rennpunkte werden aus dieser efinition her konstruiert, indem der halbe große urchmesser () vom Scheitelpunkt auf den großen urchmesser abgeschlagen wird. In der nimation im obigen Link ist diese efinition klar zu erkennen und daraus geht auch die sogenannte apierstreifenmethode hervor, bei der in die rennpunkte Stecknadeln gesetzt werden und ein geschlossenes and mit der doppelten Länge des großen urchmessers gemäß der nimation mit dem leistift eine Ellipse gezeichnet werden kann. er Vergleich der Ellipse mit dem Kreis, der auch als Ellipse mit zwei gleichen chsen betrachtet werden kann, ergibt, dass die efinition des Kreises bedeutend einfacher ist: er Kreis ist die enge aller unkte, die von einem unkt (dem ittelpunkt ) gleich weit entfernt sind (Radius r ). r atei: ellipsenkonstr10

2 Konstruktion einer Tangente in einem unkt K K g2 Im unkt der Ellipse soll eine Tangente konstruiert werden. a eine Ellipse als schräge nsicht eines Kreises gesehen werden kann, können alle Kreiskonstruktionen affin (zugeordnet) auf die Ellipse angewandt werden. 1. Um die Ellipse wird ein Kreis mit der Radius der großen Ellipsenachse gezeichnet (In der rechten Seitenansicht entspricht das einem aufrichten der elliptischen arstellung des violetten Kreises in Hauptlage). er affine unkt auf dem Kreis ist K. 2. urch diesen Kreispunkt wird nun eine Kreistangente konstruiert. 2.1 Verbinden unkt K mit unkt. 2.2 Im rechten Winkel entsteht die Gerade, die Tangente an den Kreis. 2.3 iese schneidet die horizontale chse im unkt. 3. Vom oberen Scheitel des Kreises wird eine zur chse parallel Gerade gelegt (Scheiteltangente Kreis), die den Schnittpunkt ergibt. 4. Vom unkt der Ellipse wird ebenfalls eine Gerade parallel zur chse gelegt (Scheiteltangente Ellipse). 5. Nun wird der unkt auf die Schräglage des violetten Kreises, der Ellipse gedreht und ergibt den unkt. 6. er unkt wird nun mit dem unkt verbunden und ergibt g2, die Tangente an die Ellipse. iese Konstruktion eignet sich besonders, um zwischen den Krümmungskreisen der Ellipse bei der Näherungskonstruktion einen genauen unkt der Ellipse und dessen Tangente zu zeichnen. uf den nächsten Seiten wird das im etail gezeigt er unkt wandert weiter von der Ellipse weg, je näher der gewünschte Tangentenpunkt zum oberen Scheitelpunkt der Ellipse gelegt wird. In der Zeichnung sind alle Zusammenhänge zwischen Kreis und Ellipse gezeichnet und erklärt. b Seite 4 sind Konstruktionen der Ellipse in Einzelschritten erklärt.

3 Konstruktion einer Tangente in einem unkt g2 K ie gleiche Konstruktion, wie auf der vorigen Seite, Ist, auch um 90 gedreht auf den kleinen Kreis der Ellipse bezogen, möglich. Im unkt der Ellipse soll eine Tangente konstruiert werden. a eine Ellipse als schräge nsicht eines Kreises gesehen werden kann, können alle Kreiskonstruktionen affin (zugeordnet) auf die Ellipse angewandt werden. 1. In die Ellipse wird ein Kreis mit dem Radius der kleinen Ellipsenachse gezeichnet. er affine unkt auf dem Kreis ist K. 2. urch diesen Kreispunkt wird nun eine Kreistangente konstruiert. 2.1 Verbinden unkt K mit unkt. 2.2 Im rechten Winkel entsteht die Gerade, die Tangente an den Kreis. 2.3 iese schneidet die vertikale chse im unkt. 3. Vom linken Scheitel des Kreises wird eine zur vertikalen chse parallel Gerade gelegt (Scheiteltangente Kreis), die den Schnittpunkt ergibt. 4. Vom unkt der Ellipse wird ebenfalls eine Gerade parallel zur vertikalen chse gelegt (Scheiteltangente Ellipse). 5. Nun wird der unkt von der Kreistangente auf die Ellipsentangente gedehnt. 6. er unkt wird nun mit dem unkt verbunden und ergibt g2, die Tangente an die Ellipse. iese Konstruktion eignet sich besonders, um zwischen den Krümmungskreisen der Ellipse bei der Näherungskonstruktion einen genauen unkt der Ellipse und dessen Tangente zu zeichnen. In der Zeichnung sind alle Zusammenhänge zwischen Kreis und Ellipse gezeichnet und erklärt. uf den nächsten Seiten sind Konstruktionen der Ellipse in Einzelschritten erklärt.

4 Konstruktionen an der Ellipse im etail: Tangente 1) Ellipse gegeben, durch den unkt soll eine Tangente gelegt werden 2) Ein Kreis mit dem urchmesser der großen chse, der Großkreis wird der Ellipse umschrieben. 3) er unkt wird von der Ellipse auf den Kreis übertragen und ergibt K. K 4) urch K wird die Tangente an den Kreis konstruiert. ie Tangente schneidet die verlängerte große chse der Ellipse im unkt. K K 5) er Tangentenpunkt K wird auf die Ellipse rückgeführt und ergibt die Tangente durch den unkt. K K g2

5 Näherungskonstruktion der Ellipse 1) Ellipse durch die beiden chsen gegeben 2) Umschließendes Rechteck zeichnen 3) Kleine chse und große chse an den Scheitelpunkten verbinden. oder oder oder. 4) Eine Senkrechte auf diese Verbindungslinie durch den nächst gelegenen Eckpunkt des Rechteckes zeichnen. 5) iese Senkrechte ergibt auf der großen chse und auf der verlängerten kleinen chse die ittelpunkte RK und RG der Krümmungsradien. RK 6) Von diesen ittelpunkten RK und RG können nun die Krümmungskreise gezeichnet werden. Um die anderen beiden Krümmungskreise zeichnen zu können, werden die ittelpunkte gespiegelt (rechts und oben) RG RK RG

6 Konstruktionen an der Ellipse: unkt und Tangente 1) it der Näherungskonstruktion wurde die Krümmungskreise der Ellipse gezeichnet. 2) Im Überlappungsbereich der Krümmungskreise ist ein genauer unkt der Ellipse zu konstruieren. 3) er Großkreis wird der Ellipse umschrieben. 4) urch den unkt K wird die Tangente an den Kreis konstruiert und diese ergibt auf der chse den unkt. K K 5) uf der Scheiteltangente ergibt sich. K K 6) er unkt wird auf die Scheiteltangente der Ellipse übertragen und ergibt den unkt und... K K 7).. Und dieser mit verbunden ergibt den unkt. K K g2 8) ie Ellipse kann gezeichnet werden. Zusätzlich zum unkt ist auch die Tangente konstruiert worden.

7 Konstruktionen an der Ellipse: unkt im ereich eth.1 1) it der Näherungskonstruktion wurde die Krümmungskreise der Ellipse gezeichnet. 2) Im Überlappungsbereich der Krümmungskreise ist ein genauer unkt der Ellipse zu konstruieren. 3) er Großkreis wird der Ellipse umschrieben. 4) er unkt wird auf den Kreis übertragen und ergibt K. K K 5) ie Verbindung mit K auf die Scheiteltangente ergibt. K K 5) auf die Scheiteltangente der Ellipse übertragen ergibt den unkt und... K K 5)..und dieser mit verbunden ergibt den unkt. K K 8) ie Ellipse kann gezeichnet werden.

8 Konstruktionen an der Ellipse: unkt im ereich eth.2 1) it der Näherungskonstruktion wurde die Krümmungskreise der Ellipse gezeichnet. 2) Im Überlappungsbereich der Krümmungskreise ist ein genauer unkt der Ellipse zu konstruieren. 3) er Großkreis wird der Ellipse umschrieben. 4) er unkt wird auf den Kreis übertragen und ergibt K. Ein beliebiger unkt wird gewählt. K K 5) ie Verbindung mit K auf die Scheiteltangente ergibt. K K 6) auf die Scheiteltangente der Ellipse übertragen ergibt den unkt und... K K 7)..und dieser mit verbunden ergibt den unkt. K K 8) ie Ellipse kann gezeichnet werden.

9 Konstruktionen an der Ellipse: unkt im ereich eth.3 1) it der Näherungskonstruktion wurde die Krümmungskreise der Ellipse gezeichnet. 2) Im Überlappungsbereich der Krümmungskreise ist ein genauer unkt der Ellipse zu konstruieren. 3) er Großkreis der Ellipse wir gezeichnet. 4) er unkt wird auf den Kreis übertragen und ergibt K. er Kleinkreis wird in die Ellipse gezeichnet und K mir verbunden. K 5) ie Verbindung ergibt auf dem Kleinkreis KI. K KI 6) Wie auf Seite 1 schon erklärt wird vom unkt KI der Kleinkreis auf die Ellipse gedehnt und ergibt... K KI 7)..im Schnittpunkt mit der Vertikalen genau den unkt der Ellipse. K KI 8) ie Ellipse kann gezeichnet werden.

10 Konstruktionen an der Ellipse: apierstreifenmethode iese ethode wird kaum in der G angewendet, sie ist aber jene, die aus der eigentlichen efinition der Ellipse hervorgeht. 1) ie Ellipse durch die beiden chsen gegeben 2) er halbe große urchmesser, - wird in den Zirkel genommen und von beidseitige auf den großen urchmesser aufgetragen. amit werden die rennpunkte F1 und F2 festgelegt. F1 F2 3) er große urchmesser, - wird nochmals aufgetragen und dient als Hilfe. Ein beliebiger unkt X teilt die Strecke. X wird in den Zirkel genommen und von F1 aus abgeschlagen. X wird ebenfalls in den Zirkel genommen und von F2 abschlagen. Im Schnittpunkt ist ein Ellipsenpunkt. X 4) iese Konstruktion kann viermal mit gleichen Zirkeleinstellungen wiederholt werden und ergibt vier unkte der Ellipse. X F1 F2 F1 F2 5) er unkt X wird verschoben und ergibt jeweils eine andere Teilung des großen urchmessers. ie jeweils linke Teilstrecke wird von F1 aus aufgetragen, der jeweilige Rest des großen urchmesser wird von F2 aus aufgetragen. X X X 6) Jede Konstruktion eines Ellipsenpunktes kann vier mal mit den selben Zirkeleinstellungen ausgeführt werden und zusammen mit den Scheitelpunkten ist die Ellipse gut zu erkennen und kann gezeichnet werden. F1 F2 F1 F2

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