2 Physikalische Modelle

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1 Aufgabe der physikalischen Modellbildung ist die Reduktion der betrachteten mechanischen Struktur auf ein funktionell gleichwertiges Ersatzsystem, das der systematischen mathematischen Behandlung leichter zugänglich ist Es stellt sich hierbei eine ausgesprochene Ingenieuraufgabe, deren Lösung Erfahrung erfordert und maßgeblich vom technischen Hintergrund abhängig ist In der Regel sind dabei Elastizitäts- und Masseeigenschaften zu beachten, oftmals ergänzt durch Dämpfungseinflüsse und äußere Erregungen 21 Ersatzsystem-Typen Für die Analyse mechanischer Strukturen sind im Lauf der Zeit eine Reihe von Modelltypen bzw Methoden entstanden, die je nach Aufgabenstellung ausgewählt werden: Mehrkörpersysteme (MKS), s Kapitel 3, Finite-Elemente-Methode (FEM) / Rand-Elemente-Methode (BEM), s Kapitel 7, Kontinuierliche Systeme (KOS), s Kapitel 6, Hybride Mehrkörpersysteme (HMKS), s Kapitel 7 Bei einem Mehrkörpersystem wird das betrachtete Objekt in einzelne Körper zerlegt, die untereinander durch Gelenke, Federn usw miteinander verbunden sind (Bild 21) und die aus konstruktiven Gegebenheiten resultieren Es entsteht damit ein Diskontiua-Modell Die Teilkörper können hierbei relativ zueinander (ggf große) Verdrehungen oder Verschiebung erfahren Ein Finite-Elemente-Modell besteht hingegen aus einem Netz von Elementen (stabförmig, drei- oder viereckig usw) mit verteilter Masse und Elastizität, das die betreffende Struktur überzieht und wesentlich mehr Freiheitsgrade aufweist (Bild 22) Es eignet sich Fahrer Auspuff Motor Schalldämpfer Aufbau Rad Hinterachse Bild 21: MKS-Modell eines Kraftfahrzeugs

2 Bild 22: Finite-Elemente-Modell einer Fahrzeugkarosserie besonders für die Berechnung von Verformungen einzelner Körper Beide Typen von Ersatzsystemen können über gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden Kontinuierliche Systeme benötigen zu ihrer mathematischen Beschreibung hingegen partielle Differentialgleichungen, die allerdings nur für einfache Geometrien (Stäbe, Balken, Platten usw) exakt gelöst werden können Einer Anwendbarkeit sind daher starke Einschränkungen gesetzt Hybride Mehrkörpersysteme sind eine Kombination aus MKS mit Finiten-Elementen Modellen oder kontinuierlichen Systemen Tabelle 21 fasst wichtige Kennzeichen der einzelnen Modelltypen zusammen Tabelle 21: Charakteristische Kennzeichen physikalischer Modelltypen Modelltyp MKS FEM KOS Teilkörper starr, ggf elastisch elastisch elastisch Systemgeometrie kompliziert kompliziert einfach Zahl der Freiheitsgrade beschränkt groß unendlich Erfassung von Deformationen eingeschränkt immer enthalten immer enthalten Kräfte, Drehmomente diskret verteilt und diskret verteilt und diskret berechnete Eigenfrequenzen eher zu niedrig eher zu hoch exakt 22 Modellelemente von Mehrkörpersystemen Bild 21 enthält eine Reihe typischer Grundelemente für die Modellbildung, die besonders bei Mehrkörpersystemen vorkommen und die nun im Einzelnen betrachtet werden sollen 221 Nachbildung von Massenträgheit Bild 23 zeigt die typischen Symbole zur Darstellung von Massen, und zwar ohne und mit Drehträgheit, die im räumlichen Fall über einen Tensor beschrieben werden muss

3 m Θ Hierbei gilt: Punktmasse m in kg, Bild 23: Symbole für Punkt- und Drehmassen Masse mit zusätzlichem Trägheitsmoment Θ bzw Trägheitstensor (mit Einheit kg m 2 ) 222 Nachbildung von Elastizität und von Dämpfung Federn und viskose Dämpfer werden gemäß Bild 24 und 25 dargestellt Sie sind stets masselos und werden sowohl zur Idealisierung entsprechender konstruktiver Bauelemente wie auch zur Nachbildung des Deformationsverhaltens einzelner Körper verwendet, wie es das Beispiel in Bild 26 zeigt Für die Kennlinien der Federn und viskosen Dämpfer gilt: Lineare Kennlinie einer Linienfeder: Fk Federkraft inn Fk = kx mit kx Federsteifigkeit inn/m Federlängung inm Lineare Kennlinie einer Drehfeder: Mk Federmoment innm Mk = kθ mit kθ Federsteifigkeit innm Federverdrehung(in rad) positiv beizug positiv beiverlängerung (21) (22) Lineare Kennlinie eines viskosen Liniendämpfers: Fd Dämpfungskraft inn positiv beizug F = d & mit d Dämpfungskoeffizient in Ns/m (23) d x x & Längungsgeschwindigkeit inm/s positiv beiverlängerung Lineare Kennlinie eines viskosen Drehdämpfers: Md Dämpfungsmoment innm M = & d dθ θ mit dθ Dämpfungskoeffizient innms & θ Verdrehgeschwindigkeit in1/s (24) k x k θ Bild 24: Linienfeder und Drehfeder mit linearen Kennlinien

4 d x d θ Bild 25: Viskoser Linien- und Drehdämpfer mit linearen Kennlinien m N Nutzlastmasse m 2 = m N + ½ µ l EA Längssteifigkeit l Länge µ Masse pro Längeneinheit δ Dämpfungskoeff pro Längeneinh k x = EA/l d x = δ l m T Triebwerksmasse m 1 = m T + ½ µ l abgegrenztes System einfachstes physik Ersatzmodell Bild 26: Beispiel der Modellierung eines Kontinuums durch ein Mehrkörpersystem (Längsdynamik einer Rakete im Freiflug) Eine zweite Art von Dämpfer, der auf Coulombscher Reibung beruht, ist symbolisch als Linienausführung in Bild 27 dargestellt Für die Kennlinien der Linien- wie der Drehausführung gilt: Kennlinien für Reibdämpfer: Fr Reibkraft inn positiv beizug Fr = rxsign( &) mit r Reibkoeffizient inn (25) x & Längungsgeschwindigkeit inm/s positiv beiverlängerung M Mr Reibmoment innmpositivbeizusammendrehen = rθ sign( & θ mit r Reibkoeffizient innm (26) θ & θ Verdrehgeschwindigk in1/s r ) r x Bild 27: Linienreibdämpfer

5 223 Nachbildung von Lagern Lager nehmen Kräfte und Drehmomente auf und schränken zugleich die Bewegungsmöglichkeiten mechanischer Strukturen ein, was zu einer Verringerung der Zahl der Freiheitsgrade führt Bild 28 enthält einige typische Beispiele (vgl auch Bild 26) Parallelführung festes verschiebliches Einspannung Gelenklager Gelenklager Bild 28: Beispiele für Lagertypen mit verbleibenden Bewegungsmöglichkeiten 224 Nachbildung von Stell- und Sensorelementen Mechanische Strukturen enthalten teilweise auch Komponenten, die nicht wie die bisher vorgestellten Elemente rein passiv wirken, sondern ein aktives Verhalten zeigen Zu solchen so genannten Stellgliedern zählen beispielsweise Hydraulikzylinder oder Elektromotoren Außerdem finden sich an mechanischen Strukturen vielfach Sensorelemente, die zb zu Zwecken der Überwachung bzw der Regelung die Verformung oder die Bewegung der Struktur erfassen Zwei einfache Symbole hierfür zeigt Bild 29 Bild 28: Symbol für Stellelemente (links) und Sensorelemente (rechts)