Der Simplex Algorithmus:
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- Minna Chantal Beutel
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1 Ausrbetug zum Them Der Smplex Algorthmus: Formulerug, Bespele ud etrtete Fälle m Prosemr Alytsche Geometre m WS 007/08 be Herr Prof. Dr. Werer Seler vo Chrst Gerlch
2 Ihltsverzechs Eführug.... Problemstellug... Der Smplex Algorthmus Stz Formulerug des Smplex Algorthmus Bespel Erwetertes Bespel... Etrtete Fälle Fll: Lösugsmege K cht kompkt Fll: mehrere optmle Ecke Fll: mehrfche Ecke Fzt ud kurzer Ausblck Fzt Kurzer Ausblck... 5 Lterturverzechs...
3 Eführug I deser Ausrbetug möchte ch mee Vortrg vom zum Them Der Smplex Algorthmus: Formulerug, Bespele ud etrtete Fälle zusmmefsse. Bevor ch de Smplexlgorthmus explzt formulere, möchte ch deser Stelle zuächst och eml ds Bespelproblem vor Auge führe, ds der zugrude legede Lektüre ls Esteg für de Lere Optmerug ud somt de Smplexlgorthmus geführt wrd.. Problemstellug G. Fscher behdelt ds Them hd ees Bespels us der Ldwrtschft mt folgeder Problemstellug: E Ldwrt bestzt ee Stll für 0 Kühe ud 0 h Ld. Pro Jhr k er 400 Arbetsstude (Ah) ufwede. Um ee Kuh zu uterhlte beötgt er pro Jhr 0,5 h Ld, sowe 00 Ah. Der Abu vo h Weze erfordert 00 Ah. Durch ee Kuh erzelt er m Jhr 50,- ud h Weze brgt hm m gleche Zetrum 60,-. I desem Zusmmehg soll de Frge betwortet werde, mt we vele Kühe ud we vel h Weze se Gew mxml wrd? Zuächst werde de obe gete Bedguge mthemtsche Form gebrcht. Dbe etsprcht x der Azhl Kühe ud x der Fläche uf der Weze gebut wrd. () x 0 () x 0 () x 0 (Restrkto durch de Stll mx. 0 Kühe) (4),5x + x 0 (Restrkto durch de Abufläche 0 h Ld) 0 (5) 00x + 00x 400 (Restrkto durch de Zet mx. 400 Ah/Jhr) De Restrktoe ) ud ) ergebe sch dbe vo selbst. Alytsche Geometre, G. Fscher, 7. Auflge, Veweg Verlg 00 Ds vo mr her behdelte Them umfsst dort de Kptel.. bs..6 (Sete 5 5). Ich werde mch m Verluf deser Ausrbetug sbesodere der Eführug uf Sätze, Deftoe etc. us de vorgeggee Abschtte.0 bs..0 bezehe. Vgl. Fscher 00, Sete 9.
4 Zu de Restrktoe st zusätzlch e Kostefuktol gegebe, mt welchem sch der Gew bereche lässt: ψ : ², ( x, x ) 50x + 60x Fscher gbt zuächst ee geometrsche Lösug des Problems, hd derer schleßed e ves Verfhre 4 zur Lösug der Problemstellug etwckelt wrd. Sowohl ds ve Verfhre lso uch geht ebeso we ds Smplexverfhre gehe dvo us, dss de Lösugsmege ee kovexe Mege st. 5 Vgl. Fscher 00, Sete 9. Vgl. Fscher 00, Sete 9. Vgl. Fscher 00, Sete 9. 4 Vgl. Fscher 00, Sete 00 ff. 5 Vgl. Fscher 00, Sete 95.
5 Der Smplex Algorthmus I dem Buch Alytsche Geometre werde de otwedge Utesle, we z.b. ds Austuschlemm, ds Treugslemm oder de Tbleux zur Verfügug gestellt. Ddurch k m ds Austuschlemm, ds Abschtt..5 der zugrude legede Lektüre llgeme für K Vektorräume beschrebe wrd, uf de - Vektorrum Fuktole uf verwede. ( * ) der lere. Stz Se K Õ de Lösugsmege des lere Uglechugssystems HxL + b 0,..., m HxL + b m = 0. De Ecke p œ K werde beschrebe durch HxL + b =... = HxL + b = 0 ud ee zu p bechbrte Ecke q werde beschrebe durch HxL + b =... = - HxL + b - = HxL + b = + HxL + b + =... = HxL + b = 0 d.h. durch Austusch der te Glechug durch ee Glechug mt dem Idex œ { +,...,m}. Vgl. Fscher 00, Sete 07 ff. 4
6 M betrchte dzu de Tbleux vo p ud q: p + +, +, Wert +, ( p) + b + + ( p ) + b m m ψ c m c ( p ) + b m m m c ψ ( p) q ' + +,, ' + Wert ' +, ( q) + b + + ' ' ' ( ) b q + m ψ, ' + c ' ' m c' ' ( q ) + b m m m c' ψ (q) Vgl. Fscher 00, Sete 6. 5
7 D gelte für de Übergg zwsche de bede Tbleux de folgede Bezehuge: () ' ( = ) () ) ' = ( ) für λ {,..., }, λ λ λ b) ( q) b = ( ( p) + b ) ( ) () ) ' b) c ' + ( = k k c ( = ) ) (4) ) ' = ( ) für λ {,..., }, λ kλ kλ k λ k { +,..., m}, k b) c' = c c ( ) für λ {,..., }, λ λ λ λ c) ( q) + b = ( ( p) + b ) ( ( p) + b ) ( ) k k k k k für k { +,..., m}, k d) ψ ( q) ψ ( p) c ( ( p) + b ) ( = De Umrechug der Ecketbleux erfolg geu ch de Regel des Austuschlemms bzw. des o.g. Stzes. ) Vgl. Fscher, S. 07 ff Vgl. Fscher, S. 6 ff 6
8 Bewes: Alle Glechuge etspreche de m Austuschlemm hergeletete. De Glechuge für de Wertesplte, lso (b), (4c) ud (4d) blebe och zu zege. De Aussge (b) st edoch gerde ds Mß für de Abstd zwsche de Ecke p ud q. Nch Defto vo p ud q glt ( q ) ( p) = ( ( q) ( p)) = ( ( q) + b ), k k k k setzt m u (b) e, erhält m (4c) ud (4d).. Formulerug des Smplex Algorthmus Sofer de Lösugsmege K kompkt st ud lle Ecke efch sd, stehe etzt lle Hlfsmttel zur Verfügug, um ee lere Optmerugsufgbe löse zu köe,. Dmt m de Algorthmus bege k, wrd och ee Ausggsecke vo K beötgt. Dese ergbt sch ber de meste prktsche Fälle drekt us dem Uglechugssystem, geuer gesgt us Restrktoe der Form x 0,..., x 0. De Ecke 0 st d ee möglche Strtecke. Trtt der Fll uf, dss sch so kee Strtecke blese lässt, so k m mttels des ve Lösugsverfhres ee Ecke fde mt der m de Algorthmus strte k. Vgl. Fscher 00, Sete 6. Vgl. Fscher 00, Sete 7. 7
9 Der Smplex Algorthmus Gegebe: Ausggsecke p K Leres Uglechugssystem x ) + b, mt =,..., m E Fuktol ψ K kompkt ( Gesucht: optmle Ecke q K Der Algorthmus:.) Stelle ds Tbleu für de Ausggsecke p uf p + +, +, Wert χ p b χ +, ( ) ( p ) + b χ m m ψ c m c ( p ) + b χ m m m m c ψ ( p).) Bestmme de Pvot we folgt:.) Kotrollere, ob der Wertesplte ußer be ψ kee 0 steht. Ist des der Fll, d st de Ecke efch. b.) Wähle deege Splte ls Pvotsplte der c < 0 glt ud der mdestes e < 0 st. Sollte c < 0 ud < 0 für mehrere Idzes gelte, so k k m uter de etsprechede fre wähle. k Egee Formulerug/Drstellug Alehug Fscher 00, Kptel. 8
10 c.) M bereche de chrkterstsche Quotete χ für lle deege, für de < 0 glt. Für de chr. Quotete glt χ = ( p ) + b. De ächste Ecke st dbe weder efch, we der mxmle Wert des chr. Quotete ur eer ezge Zele geomme wrd. d.) De Zele der der chr. Quotet mxml wrd, wrd zur Pvotzele gewählt. e.) Der Etrg wrd zum Pvot gewählt..) Tusche u de -te ud -te Uglechug us, d.h. gege ud bereche ds Tbleu der ächste Ecke ch de folgede Regel:.) Ersetze de Pvot durch se Iverses ' = ( ). b.) Ersetze lle Eträge der Pvotsplte (ußer dem Pvot selbst) durch ' = k k für k = +,..., m mt k. c.) Ersetze lle Eträge der Pvotzele (ußer dem Pvot selbst) durch l ' = für l =,..., mt l. l d.) Ersetze lle restlche Eträge ußerhlb der Pvotzele ud splte durch ' kl l = ( ) für k = +,..., m ud l =,..., mt k, l. kl k e.) Ersetze lle c k durch k c' = c c für k =,..., mt k. Für k = k k glt c ' = c ( ). f.) Bereche lle ( q) + b = ( ( p) + b ) ( ( p) + b ) ( ) für k k k k k k = +,..., m mt k. Für k = glt ( q) + b = ( ( p) + b ) ( ). ( p) + b g.) Bereche ψ ( q) = ψ ( p) c ( ). 4.) Wederhole de Schrtte.) ud.) bs de optmle Ecke gefude st. Dbe st ee Ecke optml, we für lle c > 0, k =,..., glt. k 9
11 Dese llgeme formulerte Algorthmus wedet Fscher uf ds Afgsbespel, um de mxmle Gew des Ldwrts zu bereche.. Bespel Es see u de Restrktoe we m Afgsbespel gegebe. Zur bessere Überscht führe ch se och eml uf: () x 0 () x 0 () x 0 (Restrkto durch de Stll mx. 0 Kühe) (4),5x + x 0 (Restrkto durch de Abufläche 0 h Ld) 0 (5) 00x + 00x 400 (Restrkto durch de Zet mx. 400 Ah/Jhr) Dmt de Restrktoe () bs (5) für de Algorthmus verwedet werde köe, brgt m se uf de Form vo () ud (): () x (4) x x (5) x x Außerdem se ds Fuktol we zu Beg ψ = 50x 60x. M bechte dbe, dss für ds Fuktol glt: ψ mxml otwedg, d sost cht c < 0 für k =,..., gelte würde. k ψ mml. Des st Wege () ud () wrd mt der Ecke (0,0) ud dem zugehörge Tbleu begoe: Vgl. Fscher 00, Sete 7 f. 0
12 x x Wert χ ψ Als Pvotzele k her sowohl de erste ls uch de zwete Splte gewählt werde, de der ψ Zele sd bede Koeffzete egtv. Fscher etschedet sch für de erste Splte ud berechet de chr. Quotete der χ Splte. De Berechug ergbt, dss de erste Zele Pvotzele wrd (de: -0 st der größte der dre Werte). D etzt der Etrg = ls Pvot gewählt wurde, tuscht m x gege. Des ergbt ds Tbleu x Wert χ x ψ us dem m (0,0) ls Koordte der Ecke blese k (uterstrche). Etspreched dem Algorthmus muss = ls Pvot gewählt werde, de ur der zwete Splte st der Koeffzet der Zele für ds Fuktol egtv ud der drtte Zele der chr.
13 Quotet m größte. Drus folgt, dss x gege 5 getuscht werde muss, um zur ächste Ecke zu gelge. Der Tusch ergbt ds folgede Tbleu 5 Wert χ x x - 4 ψ Drus lässt sch de Ecke (0,4) blese. D u der Koeffzet des Fuktols der erste Splte weder egtv ud der chr. Quotet der zwete Zele m größte st, muss och gege getuscht werde ud m erhält Wert x 8 x 56 ψ We m seht, sd bede Koeffzete der ψ Zele sd postv ud somt st de optmle Ecke der Lösugsmege gefude.
14 Aus der erste ud drtte Zele des Ergebstbleus k m u de Koordte der 8 56 optmle Ecke blese. De optmle Ecke legt be (, ) ud der mxmle Gew be ,67 Euro. M k sehe, dss mt dem Algorthmus ver Tbleux ufgestellt bzw. berechet werde musste. Hgege müsste für de geometrsche Lösug ur e Glechugssystem mt zwe Glechuge gelöst werde. Des legt schlcht der Efchhet des gewählte Bespels, d.h. der Algorthmus etfltet see Krft erst be höherdmesole Probleme, be dee de ormle Aschuug versgt ud m ur och e bstrktes Uglechugssystem betrchtet. Der egetlche Vortel deses Algorthmus legt dher der Ttsche, dss er reltv lecht zu progrmmere st, so dss er d vo Recher usgeführt werde k. Trotz deser Ttsche betrchte wr u och ds folgede erweterte Bespel..4 Erwetertes Bespel Fscher geht u weder vo dem Afgsbespel des Buerhofes us. Jedoch mmt er u zusätzlch, dss der Buer seem Stll ebe de Kühe och Schwee hlte k. Ds heßt m Klrtext er erwetert ds Bespel vom ² uf de ³. Um ds Uglechugssystem ufzustelle, solle de Restrktoe we folgt ussehe: Astelle eer Kuh psse Schwee de Stll. E Schwe beötgt h Ld zum Abu vo Futter. E Schwe beötgt 0 Ah pro Jhr. E Schwe brgt pro Jhr ee Gew vo 00,- Euro Se u x de Azhl der Schwee, so ergbt sch ds folgede Uglechugssystem: () x 0 () x 0 () x 0 (4) x + x 0 x x (Beschräkug durch de Stll) Vgl. Dskusso zum Vortrg m Prosemr m Vgl. Fscher 00, Sete 9 ff.
15 (5) x + x + x 0 x 6x x (Beschräkug durch de Ldfläche) (6) 00 x + 00x + 0x 400 0x 5x x (Beschräkug durch de Arbetszet) Für ds Fuktol ergbt sch d: ψ = 50x 60x 00x D wege (), () ud () der Ursprug (0, 0, 0) ee Ecke der Lösugsmege st, k m dort mt dem Smplex Algorthmus bege. Des ergbt d cheder de folgede Tbleux: Ausggsecke (0, 0, 0) 4 Ecke (0, 0, 0) x x x Wert χ ψ x x 4 Wert χ x ψ
16 Ecke (0, 0, 0) x 5 4 Wert χ x x 6 9 ψ Optmle Ecke p = (,, ) (4,;,; 7,7) x x x ψ Wert Der Gew beträgt lso = 657,89. 9 Vorher lg de optmle Ecke be (,67; 8,67) mt ee Gew vo 5786,67 Euro. Durch de Aufhme vo Schwee ht sch der Gew um etw 0% erhöhe lsse ud uch der Stll st u voll geutzt. 5
17 Etrtete Fälle Be der Lösug der lere Optmerugsufgbe wurde zur Verefchug mmer geomme, dss de Lösugsmege kompkt st ud usschleßlch efche Ecke ht. Außerdem beschräkte m sch druf ur ee ezge optmle Pukt zu bestmme. I der Prxs bedeutet deses fst e ee Eschräkug. Des schleßt edoch cht us, dss e solch fst umöglcher Fll eem spezelle Bespel doch eml uftrtt. Des beuruhgt de theoretsche Mthemtker edoch mehr ls de prktsche. Dher wll ch desem Kptel kurz uf de Aushmefälle egehe... Fll: Lösugsmege K cht kompkt De Lösugsmege K ees lere Uglechugssystems brucht cht ubedgt beschräkt lso uch cht kompkt zu se. Dmt st d cht ubedgt mmer glech klr, ob ds Fuktol ψ uf K e Mmum mmt. Verdeutlche wr des folgedem Bespel Ist K = {( x, x ) ² : x 0, x 0 }, so mmt ψ : = x + x 0 K e Mmum. Dgege st ψ ' = ψ uf K ch ute ubeschräkt. Flls K kee Ecke bestzt versgt ds Verfhre. Auf möglche Modfktoe soll deser Stelle cht egegge werde. Ist ee Ecke gegebe, so k m etschede, ob se optml st. We cht, k m (flls se efch st) ee Suchstrhl X betrchte. + Ohe de Vorussetzug der Kompkthet vo K köte u der Fll etrete, dss gz X + K legt. Des lässt sch uch dr erkee, dss ke Koeffzet der Pvotsplte egtv st. D st ψ uf X cht ch ute beschräkt, lso k ψ uf K ke + Mmum ehme ud dmt bestzt de lere Optmerugsufgbe kee Lösug... Fll: mehrere optmle Ecke Deser Aushmefll st äußerst hrmlos. Betrchte dzu folgede Bemerkug Se K de Lösugsmege des lere Uglechugssystems Vgl. Fscher 00, Sete ff. Vgl. Fscher 00, Sete. Vgl. Fscher 00, Sete. 6
18 ( x) b 0, =,,m + Ud es exstere b := m { ψ ( x) : x K }. De Mege K ' = { x K : ψ ( x) = b} se Kompkt. D st K de kovexe Hülle der (edlch vele) optmle Ecke vo K. Bewes K st de kovexe Hülle seer Ecke p,..., p. Wege Lemm..5 sd p,..., p k k uch Ecke vo K. Trvlerwese st ede optmle Ecke vo K ee Ecke vo K. Uter de obge Vorussetzuge k m eem Tbleu eer efche Ecke p vo K sofort blese, ob es wetere optmle Ecke gbt. Des st geu d der Fll, we der ψ Zele mdestes e Koeffzet glech Null st... Fll: mehrfche Ecke Deser Aushmefll st der letzte ud uch der ugeehmste Fll vo lle. Dzu wll ch zuächst utersuche, uter welche Vorussetzuge ds Tbleu ds üblche Verfhre zum Übergg zu eer bechbrte Ecke gewdt werde k. Betrchte dzu ds folgede Bespel Im ² se ds Uglechugssystem () x 0 () x 0 () x + 0 (4) x + 0 (5) x + x 0 ud ds zugehörge Fuktol ψ : = x gegebe. I der Ecke (0, 0) der Lösugsmege sd de Uglechuge (), () ud (5) mt de Glechhetszeche erfüllt. Für dese Ecke ht m lso de Auswhl zwsche dre verschedee Tbleux: Sehe S. 99, Alytsche Geometre, G. Fscher Vgl. Fscher 00, Sete ff. 7
19 x x Wert ψ b x x Wert ψ - 0 c x x Wert ψ De Pvotsplte st ewels edeutg festgelegt. Wedet m ds gewohte Verfhre, so erhält m für de Suche ch eer bessere Ecke de folgede Suchstrhle: ) {( X = x, x ) : x = 0, x 0}, + b) {( X = x, x ) : x = 0, x 0}, + c) {( X = x, x ) : x = x, x 0}. + Der Strhl ) führt us der Lösugsmege K hus. Im Fll b) ud c) erhält m ewels de gleche Strhl. De Begrüdug herfür k m sch geometrsch klrmche: Im Fll ) verläuft de Uglechug (5) de flsche Rchtug. Im Tbleu äußert sch des ddurch, dss der zu (5) gehörede Koeffzet der Pvotsplte ( dem Fll -) egtv st. Zur Verefchug ehme m u für ee cht otwedg efche Ausggsecke, dss de erste Splte Pvotsplte st ud zege de folgede Stz De Lösugsmege K se kompkt. ( x) b 0, =,,m + des lere Uglechugssystems 8
20 Weter see,..., ler ubhägg ud es se p K ee Ecke mt ( p ) + b { > wobe 0, = 0, =,..., r = r +,..., m r glt. Für =,, m betrchte wr de Drstellug = Wr setze vorus, dss glt: 0 für = +,, r. (*) ) D gbt es e { r +,..., m}, so dss 0 st. < b) Se { r +,..., m} so gewählt, dss 0 glt ud < χ ( p ) + : = b mxml st. Ist d q Lösug des lere Glechugssystems ( x) b = ( x) + b + = = + =... b 0, so st q Ecke ud [p, q] Kte vo K. Bewes Ist p efch, so st r = ud wr hbe de Aussge des Normlflles. Im llgemee Fll betrchtet m weder de Strhl X : = { x : ( x) + b 0, ( x) + b... = ( x) + b = = + M zegt, dss ll see Pukte wege Bedgug (*) de Uglechuge mt de Idzes +,, r erfülle. Se lso x X ud { +,..., r}. D st + (p) = (p) + (p) (p) ud x) = ( x) + ( p) ( ) lso ( p 0}. ( x) + b = ( x) ( p) = + ( ( x) ( p)) = ( ( x) + b ) 0. Um de letzte K gelegee Pukt des Strhls X zu bestmme, sd ur och de + Uglechuge der Idzes r +,, m zu berückschtge ud k d geuso vorgehe we m Bewes für efche Ecke. Vgl. S. ff Alytsche Geometre, G. Fscher, Veweg-Studum, 00 9
21 M k u uch drekt m Tbleu vo der Ecke p blese, ob de Bedgug (*) vo obe erfüllt st. Dzu brucht m ur de Koeffzete der Pvotsplte zu betrchte, dere Wertesplte 0 steht, vo ebe dese drf keer egtv se. Nu kommt m zur Kerfrge des Problems, ämlch der Frge, ws m tu muss, we de Bedgug (*) cht erfüllt st. Ausgehed vom obge Bespel betrchte ds Tbleu x x Wert ψ I desem Tbleu st de Bedgug (*) cht erfüllt, de be steht der Pvotsplte - 5 ls Koeffzet. Wählt m h ls Pvot (lso tuscht m x gege 5 ) erhält m ds Tbleu b) vom Afg des Kptels., welches de Bedgug (*) erfüllt. Herbe wrd edoch kee eue Ecke errecht, dher heßt e solcher Austuschschrtt sttoär. Es st edoch möglch durch edlch vele sttoäre Austuschschrtte e Tbleu zu fde, welches de Bedgug (*) erfüllt. Dzu verwedet m de sogete lexkogrphsche Regel, de usschleße, dss m us eem schlechte Tbleu ch edlch vele sttoäre Austuschschrtte weder dsselbe Tbleu zurückerhält. Deses uerwüschte Phäome et m Krese. Fscher führt edoch, dss deses Phäome der Prxs cht vorkommt, soder ur desem spezelle dfür kostruerte Bespel. Ee wetere Methode um mehrfche Ecke zu umgehe, st de Störug der Kostte. Se beruht druf, dss ee mehrfche Ecke mehrere efche Ecke zerfällt, we m de Kostte b e kle weg verädert. A deser Stelle verwest Fscher uf Dtzg, G.B. Lere Progrmmerug ud Erweteruge Sprger, Berl 966 für mehr Detls. 0
22 4 Fzt ud kurzer Ausblck 4. Fzt We m de Afg des Kptels der Begletlektüre mt dem Bespel us. verglecht, k m sehe, dss der Algorthmus her de ufwedgere Methode vo bede st. Des ergbt sch us der Efchhet des gewählte Bespels: Ds Problem us dem Bespel des Buerhofes lebt m zwedmesole reelle Rum (d ur Kühe ud Weze betrchtet werde) ud st durch wege Restrktoe geometrsch sehr schulch. Ds Aufstelle der ver ötge Tbleux verurscht desem Fll deutlch mehr Aufwd ls ds Löse ees Glechugssystems mt zwe Glechuge (ws der geometrsche Lösug etspräche). See whre Schellgket etfltet der Smplex Algorthmus erst be größere Probleme. Nämlch ee, welche geometrsch cht mehr schulch sd ud be dee sehr vele Restrktoe bechtet werde müsse. Ohe ds Smplexverfhre müsste m höherdmesole Optmerugsufgbe resge Glechugssysteme löse. D ds Löse so großer Glechugssysteme ee sehr große Aufwd bedeutet, wäre des der Prxs vollkomme ueffektv, we cht sogr mehr oder weger umöglch (zumdest verhältsmäßger Zet). E weterer Vortel des Smplex Algorthmus st, dss de Fuktoswerte de Ecke (de m Tbleu der Wert Splte stehe) recht efch ud ohe Kets der Koordte der momete Ecke berechet werde köe. Alle Werte des ächste Tbleus köe durch ds Smplexverfhre lle us de Eträge des momete Tbleus berechet werde. Ddurch eget sch deses Verfhre bzw. deser Algorthmus sehr gut, um es für ee Computer zu progrmmere Kurzer Ausblck Wr hbe u Optmerugsufgbe utersucht, be dee wr es sowohl mt lere Restrktoe ls uch mt eem lere Kostefuktol zu tu htte. I der Prxs sd solche Optmerugsufgbe selte bs e ler, so dss de lere Optmerug mestes ur ee erste Aäherug de wrklche Zusmmehäge lefert. Alytsche Geometre, G. Fscher, Veweg-Studum, 7. Auflge, 00. Vgl. Dskusso zum Vortrg m Prosemr m Vgl. Dskusso zum Vortrg m Prosemr m Vgl. Dskusso zum Vortrg m Prosemr m
23 Für komplexere cht lere Optmerugsprobleme ud Modelle werde d Methode der kovexe Optmerug beutzt. Be dese Methode werde kovexe Fuktole uf kovexe Mege utersucht. Wobe e kovexes Fuktol dbe we folgt defert st: Ist de Lösugsmege K kovex, so heßt ee Fukto : K ψ kovex, we für lle x, y K ud λ, μ mt λ, μ 0 ud λ + μ = de Uglechug ψ ( λx + μy) λψ ( x) + μψ ( x) glt. Ich möchte deser Stelle llerdgs cht weter druf egehe, d des de Rhme deses kurze Ausblcks überstege würde.
24 5 Lterturverzechs Fscher, Gerd Alytsche Geometre, Veweg Studum, Wesbde 00. Prosemr Alytsche Geometre , Vortrg vo Chrst Gerlch ud schleßede Dskusso.
Reihen n. Man benutzt letztere Schreibweise aber häufig auch zur Bezeichnung der Partialsummenfolge. konvergiert, die geometrische Reihe.
Deftoe ud Aussge über Rehe Bchräume ud Hlberträume E vollstädger ormerter Vektorrum (sehe Bemerkuge zur Alyss) heßt Bchrum Stmmt de Norm vo eem Sklrprodukt v = , so sprcht m vo eem Hlbertrum ZB sd
Es ist dann nämlich 2 2 2
Ege Bemerkuge zum Sklrprodukt See U,V,W Vektorräume üer eem Körper K. Ee Aldug ϕ :U V W heßt ler, we λ, λ, µ, µ K, u, u U, v, v V : ϕ( λ u + λ u, µ v + µ v ) = λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u,
Programmierung und Angewandte Mathematik
Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk C++ /Sclb Progrmmerug ud Eführug ds Kozept der objektoreterte Aweduge zu wsseschftlche Reches SS Ihlt Folge Rehe Verfhre zur Kovergez Bestmmug Progrmmerug ud Agewdte Mthemtk
MST Übung 3 Mathematik 2 Prof.Dr.B.Grabowski Tel.:
MST Übug Mthemtk Prof.Dr.B.Grbowsk e-ml: grbowsk@htw-srld.de Tel.: 87- Iverse Mtrze ufgbe : Bereche Se de Iverse Mtr zu folgede Mtrze. Prüfe Se Ihr Ergebs, dem Se - bereche! b dg-,,-,,-, c 7 d ufgbe :
3 Allgemeine lineare Gleichungssysteme über R. Superposition
Fole 3 Allgeee lere Glechugssystee üer R. Superposto (3.) Defto: E leres Glechugssyste Uestte ud Glechuge st: De sd de Koeffzete us R. De sd wetere Zhle, uch de Kostte get, ud de sd de Uestte, zw. de Uekte,
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( x) eine Funktion definiert, in der nur die i-te Komponente variabel ist. Folgende Schreibweisen werden aufgrund dieser Anmerkungen auch verwendet:
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mthphys-ole Alyss. Klsse Techk Itegrlrechug Vertefug des Itegrlegrffs De Itegrlrechug ht ds Zel, de Flächehlt krummlg egrezter Flächestücke zu ereche. Be der äherugswese Berechug der Fläche uter Polyomfuktoe
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug
Ordnungsstatistiken und Quantile
KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der
Ein polynomialer Algorithmus für minimale Kreisbasen
E polyomler Algorthmus für mmle Kresbse Überblck:. Motvto. Deftoe 2. Algorthmus für ee Kresbss mmler Läge, Lufzet O(m³) 3. Läge eer kürzeste Kresbss 4. Algorthmus für ee suboptmle Kresbss der Läge O(²);
Moments and Deviations
Tl dstrbuto Ds Ermttel des Erwrtugswertes, we zuletzt m Coupo Collector's Problem, st zwr oft Auge öffed ber be wetem cht mmer Zel führed ws de gesuchte Whrschelchkete geht. Ws pssert bespelswese we ee
Methodik: auf einer kompakten (beschränkten und abgeschlossenen) Menge, z.b. einem n-dimensionalen Quader,
. Verllgemeeruge Aweduge Glole Etrem Defto: Ee ukto f : M R R ht der Stelle M e gloles Mmum we f f M. = M = [] = f m m Allgeme glt der Stz vo Weerstrss: Ist f ee stetge ukto uf eer eschräkte ud geschlossee
Analytischer Hierarchieprozess
Vorussetzug ud verwdte Theme Für dese Beschrebuge sd Grudlge der Mthemtk vortelhft. Weterführede ud verwdte Theme sd de Nutzwertlyse. Eführug Der sogete Alytsche Herrcheprozess, kurz AHP, det zum Löse
Konzentrationsmessung
Kozetrtosmessug We telt sch de gesmte Merkmlssumme uf de ezele uf? Auftelug der Gesmtbevölkerug Gemede verschedeer Größeklsse Auftelug des gesmte Steuerufkommes uf de ezele Steuersubekte Auftelug der gesmte
für j=0,1,...,n Lagrange zur Lösung der Interpolation nicht geeignet, da numerisch problematisch und teuer. 1 n
Aahme: Es gbt zwe Polyome p ud q vom Grad
III. Die persönliche Einkommensteuer
Kp. -d Verso vom 3.0.05 III. De persölche Ekommesteuer Steuer küpfe ber cht ur - we de Verbruch- oder Verkehrsteuer - der Verwedug des Ekommes, soder uch desse Etstehug. De Steuerzhlug bemsst sch d cht
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
Erzeugen und Testen von Zufallszahlen
Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto
Eigenwerteinschließungen I
auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
Einführung in die Stochastik 3. Übungsblatt
Eführug de Stochastk 3. Übugsblatt Fachberech Mathematk SS 0 M. Kohler 06.05.0 A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 9 (4 Pukte) Der Mkrozesus st ee statstsche Erhebug. Herbe werde ach bestmmte
Sitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
Kapitel XI. Funktionen mit mehreren Variablen
Kaptel XI Fuktoe mt mehrere Varable D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se R ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt (,,, D( f durch ee Vorschrft f ee reelle Zahl z = f (,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge
Arithmetische Schaltkreise
Kptel Arthmetsche Schltkrese. Adderer. Sutrherer Multplzerer ALU Berd Becker Techsche Iformtk I Wederholug: Se -... ee Folge vo Zffer, {,} Bärdrstellug: Zweerkomplemet: [ -... ] Recheregel: mt [ ] [
(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
Grundbildung Lineare Algebra und Analytische Geometrie (LPSI/LS-M2) SoSe C. Curilla/ B. Janssens
Fchberech Mthemtk Algebr und Zhlentheore Chrstn Curll Grundbldung Lnere Algebr und Anltsche Geometre (LPSI/LS-M) Bltt 1 SoSe 011 - C. Curll/ B. Jnssens Präsenzufgben (P1) Mch Se sch be den folgenden Glechungssstemen
Tutoraufgabe 1 (Induktionsbeweis): Lösung:
Prof Dr J Gesl M Brokshmdt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hwese: De Husufge solle Gruppe vo je 2 Studerede us dem glehe Tutorum eretet werde De Lösuge der Husufge müsse s M, 12052010 m Tutorum gegee
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes Quellecoderug Durch de Quellecoderug werde de Date aus der Quelle codert, bevor se ee Übertragugskaal übertrage werde De Coderug det der Verkleerug
5 Reproduktions- und Grenzwertsätze
Reproduktos- ud Grezwertsätze Reproduktos- ud Grezwertsätze. Reproduktossätze Bespel 0: Der Aufzug eer Frma st zugelasse für Persoe bzw. 000 kg. Das Durchschttsgewcht der Agestellte der Frma st µ = 80
Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 7, Wintersemester vom 21. Januar 2006
Prof. E.-W. Zk Isttut für Matheatk Huboldt-Uverstät zu Berl Eleete der Algebra ud Zahletheore Musterlösug, Sere 7, Wterseester 2005-06 vo 21. Jauar 2006 1. Se = 2 p 1 Mersee-Zahl, d.h. p P 1. a) Zege:
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
Definitionen und Aussagen zu Potenzreihen
Deftoe ud Aussage zu Potezrehe User bsherges Repertore a stetge Abblduge basert auf ratoale Fuktoe, also Ausdrücke, dee Addto, Subtrakto, Multplkato ud Dvso vorkomme. Auf dese Wese sd aber Epoetalfukto,
Erinnerung: Funktionslernen. 5.6 Support Vector Maschines (SVM) Beispiel: Funktionenlernen. Reale Beispiele
Ererug: Fuktoslere 5.6 Support Vector Masches (SVM) überomme vo Stefa Rüpg, Kathara Mork Uverstät Dortmud Vorlesug Maschelles Lere ud Data Mg WS 2002/03 Gegebe: Bespele X LE de ahad eer Wahrschelchketsvertelug
Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.
Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0
Konzentrationsanalyse
Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher
Eine Folge ist eine durchnummerierte (Index) Abfolge von Zahlen die eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Zahlenmenge darstellt.
. Kovergez.. Eiführug i ds Prizip der Folge Eie Folge ist eie durchummerierte (Idex) Abfolge vo Zhle die eie Abbildug der türliche Zhle uf eie dere Zhlemege drstellt. Beispiel: : = k uch ls Abbildug: f
Ergebnis- und Ereignisräume
I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt
Interpolationspolynome
Iterpolatospolyome Ac Gegebe sd +1 Stützstelle x 0 bs x zusamme mt hre Stützwerte y 0 bs y. Durch de Pukte ( x / y ) soll e Polyom p(x) -te Grades gelegt werde : p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + + a x = Das
Einige dezimale Codes
Goethe-Gymsum Regesburg Semrrbet m Fch: Mthemtk Ege dezmle Codes XXXXXXXXX Schulhr: 7/8 be Mrkus Merger Ege teresste Dezmlcodes Vorwort 3 Ds Eschluss-Ausschluss-Przp 4. Allgemees 4. Awedug der Koderugstheore
Mathematik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösungen zu Serie 6
Mthemtik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösuge zu Serie 6 26 Utersuche die folgede Fuktioefolge uf puktweise beziehugsweise gleichmäßige Kovergez, d.h. bestimme jeweils ob diese vorliegt ud gebe
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik. Sommersemester 2009/10
Dt er Alyss er Se II Rolle er reelle Zhle Humbolt-Uverstät zu Berl, Isttut für Mthemt Abgeorete Lehrer: R.Gese, U.Hey, B.Mus Sommersemester 009/0 Iteretsete zur Vorlesug: http://t.mth.hu-berl.e/ex.php?rtcle_=35&clg=0
2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:
1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De
Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln
5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst
Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 54
Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 54 3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für de Rskoestellug Rskoverhalte bsher grob kategorsert ach Rskoeutraltät, -symathe ud averso be Rskoaverso: (X) < SÄ Rskoräme
Regressionsverfahren haben viele praktische Anwendungen. Die meisten Anwendungen fallen in eine der folgenden beiden Kategorien:
Regressoslse De Regressoslse st ee Slug vo sttstshe Alseverfhre. Zel e de häufgste egesetzte Alseverfhre st es Bezehuge zwshe eer hägge ud eer oder ehrere uhägge rle festzustelle. Se wrd sesodere verwedet
4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 4. Marshallsche Nachfragefuktoe Frage:
1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen - Arithmetik. von Prof. Dr. Dr. Heribert Popp, TH Deggendorf
.4 Recheregel mt reelle Zhle - Arthmetk vo Prof. Dr. Dr. Herbert Popp, TH Deggedorf Glederug Summezeche Produktzeche Bomlkoeffzet ud Fkultät Logrthmus turls (l) .4 Recheregel mt reelle Zhle - Arthmetk
Deskriptive Statistik - Aufgabe 3
Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der
Der Approximationssatz von Weierstraß
Der Approxmatossatz vo Weerstraß Ja Köster 22. Oktober 2007 1 Eführug Aus der Aalyss wsse wr, dass sch aalytsche Fuktoe durch Potezrehe der Form f(x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... darstelle lasse. Dabe kovergert
Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
Statistik. ist die Kunst, Daten zu gewinnen, darzustellen, zu analysieren und zu interpretieren um zu neuem Wissen zu gelangen.
Statstk st de Kust, Date zu gewe, darzustelle, zu aalysere ud zu terpretere um zu euem Wsse zu gelage. Sachs (984) Aufgabe De Statstk hat also folgede Aufgabe: Zusammefassug vo Date Darstellug vo Date
Die Methode des 2.Moments
De Methode des 2.Momets Chrstoph Schmdt July 13, 2004 1 Eletug De Varaz eer Zufallsvarable st hre mttlere quadratsche Abwechug vo hrem Erwartugswert. V ar[x] = E[(X EX) 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2 Der Term E[X
Leitfaden zu den Indexkennzahlen der Deutschen Börse
Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Verso.5 Deutsche Börse AG Verso.5 Letfade zu de Idexkezahle der Deutsche Börse Page Allgemee Iformato Um de hohe Qualtät der vo der Deutsche Börse AG berechete
Einführung Fehlerrechnung
IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
Prinzip "Proportional Reduction of Error" (PRE)
Dr. Reate Prust: Eführug quattatve Forschugsmethode Bvarate Maße: Przp "Proportoal Reducto of Error" (PRE) E 1 - E Fehler be Regel 1 - Fehler be Regel = E 1 Fehler be Regel 1 Regel 1: Vorhersageregel ur
Korrelations- und Regressionsanalyse
Kaptel VI Korrelatos- ud Regressosaalse B 6 (Gegestad der Korrelatos- ud Regressosaalse) Währed de Korrelatosaalse de Estez, de Stärke ud de Rchtug des Zusammehags zwsche zwe oder mehrere statstsche Varable
Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks
Iduto am Bespel des Pascalsche Dreecs Alexader Rehold Coldtz 0.02.2005 Eletug vollstädge Iduto De vollstädge Iduto st ebe dem drete ud drete Bewesverfahre ees der wchtgste der Mathemat. Eher bespelhaft
Klausur Statistik IV Sommersemester 2009
Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame 013456 Klausur Statstk IV Sommersemester 009 Prof. Dr. Torste Hothor Isttut für Statstk Name: Name, Vorame Matrkelummer: 013456 Wchtg: ˆ Überprüfe Se, ob Ihr Klausurexemplar
FInAL. Übungen mit Lösungen zur Mathematik für Wirtschaftsinformatik. Ulrich Hoffmann
Jhrgg, Het, Otober, ISSN 99-88 IAL Übuge t Lösuge zur Mthet ür Wrtschtsort Ulrch Ho Techcl Reports d Worg Ppers Leuph Uverstät Lüeburg Hrsg der Schrtrehe INAL: Ulrch Ho Schrhorststrße, D-5 Lüeburg Übuge
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
SS 2017 Torsten Schreiber
SS Torsten Schreber e den Ebenen unterscheden wr de und de prmeterfree Drstellung. Wenn wr ene Ebenenglechung durch dre Punkte bestmmen wollen, so müssen de zugehörgen Vektoren sen, d es sonst nur ene
Lösungen. Häufigkeitsverteilung (Stabdiagramm) Aufgabe 1. Häufigkeit (h) Merkmal (x)
Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
Grundlagen der Mathematik/ Mathematik
Arbets-Skrpt zur Vorlesug Grudlge der Mthetk/ Mthetk Alyss SS 204 Prof. Dr. Dr. Herbert Popp .4 Arthetk Deser Betrg st sehr wörtlch etoe us Frz Pfuff, Mthetk für Wrtschftswsseschftler,. Aufl, veweg, 995,
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
Abschnitt III: Gleichungen, Ungleichungen, lineare Gleichungssysteme, Summen. x 2x
Thema: Glechuge 4 4 a) 3 ; b) 3 6 4 1 1 Swatje hat zwe Sparbücher mt glech hohe Beträge. Ihr Bruder Horst Kev hat ur e Sparbuch, auf dem dremal so vel Geld st we auf eem Sparbuch vo Swatje. Horst Kevs
( ) ( ) ) ( ) 1/ ( ) Beispiel: U = y1. 3. Ergänzungen zur Haushaltstheorie, insbesondere Dualität und Anwendungen
Prof. Dr. Fredel Bolle 3. rgäzuge zur Haushaltstheore, sbesodere Dualtät ud Aweduge (Btte wederhole Se zuächst emal de Haushaltstheore aus Mkro I!!!) komme gegebe errechbare Idfferezkurve festgelegt Güterprese
Grundlagen der Entscheidungstheorie
Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve
DIE VAPNIK-CHERVONENKIS THEORIE. Inhaltsverzeichnis
DIE VAPNIK-CHERVONENKIS THEORIE MATHIS KLEPPER, MICHAEL SAß Ihaltsverzechs Tel Vapk-Chervoeks Theore Tel I 2 Eführug 2 2 Glveko-Catell 5 3 Vapk-Chervoeks-Theore 0 Tel 2 Vapk-Chervoeks Theore Tel II 2 4
Lohnkosten pro Arbeitsstunde. Wie hoch sind die Lohnkosten pro Arbeitsstunde im Jahresdurchschnitt?
Klausur Wrtschaftsstatstk. [ Pukte] E Uterehme hat folgede Date ermttelt: Moat Gelestete Arbetsstude Lohkoste pro Arbetsstude Jauar 86.400 0,06 Februar 75.000 3,0 März 756.000 4,47 Aprl 768.000,53 Ma 638.400
Einführung in die digitale Signalverarbeitung
Eführg de dgtle glverrbetg Prof. Dr. tef Wezerl. Afgbebltt. Egeschfte dsreter stee. Erläter e de Begrffe Lertät Zetvrz pecherfrehet Ksltät d tbltät Lertät: E ste wrd ls ler bezechet, we für ds ste ds perpostosprzp
Kapitel VI. Eigenschaften differenzierbarer Funktionen
Kpitel VI Eigeschfte differezierbrer Fuktioe S 6 (Fermt, 6-665) Die Fuktio f sei uf dem Itervll I defiiert ud ehme der iere Stelle ξ vo I eiem bsolute Extremum Ist f der Stelle ξ differezierbr, d gilt
Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen
Fchbereich Mthemtik Algebr ud Zhletheorie Christi Curill Grudlge der Mthemtik LPSI/LS-M) Lösuge Bltt WiSe 00/ - Curill/Koch/Ziegehge Präsezufgbe P3)-d) Für jede der vier Mege gilt, dss die dri ethltee
Ein paar einfache q-analoga des binomischen Lehrsatzes
E paar efache -Aaloga des bosche Lehrsatzes Joha Cgler Sowet r beat st, gbt es ee allgeee Utersuchuge darüber, we sch das Reurrezverhalte vo Boalsue ädert, we a de Boaloeffzete durch ersetzt U ee erste
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis II FS 2018 Prof. Manfred Einsiedler. Lösung 2
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Alysis II FS 28 Prof. Mfred Eisiedler Lösug 2 Hiweise. Gehe Sie log zum Kochrezept zur Treug der Vrible i liere Differetilgleichuge vor (siehe Abschitt 7.5.3 im Skript). 2. Bemerke
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
Physikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet! Der wahre Wert ist nicht ermittelbar. Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert
Physkalsche Messuge sd mmer fehlerbehaftet! Der wahre Wert st cht ermttelbar. Der wahre Wert st cht detsch mt dem Mttelwert Der Wert legt mt eer gewsse Wahrschelchket (Kofdezahl bzw. Vertrauesveau %) m
Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, kubic@i.tum.de Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung
De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
v. Weter st + r X + = ( X + ) = ( X + ) ( X + ) = P Deshalb fr 6 6 = + X = K, d. h. I desem Berech ( 6 6 ) glt also ( Idukto ach ) ( ) ( mod ), was fr
5. De Stze vo Sylow Im gaze Abschtt st G ee edlche Grue, 4 #( G). 5.. Problem: Gbt es zu jedem Teler t vo ( tj ) ee Utergrue H mt #( H) = t? We ja, wevele? Gegebesel: 9 Utergrue H vo G = A 5 mt #( H) =
Statistische Grundlagen Ein kurzer Überblick (diskret)
Prof. J.C. Jackwerth 1 Statstsche Grudlage E kurzer Überblck (dskret De wchtgste Begrffe ud Deftoe: 1 Erwartugswert Varaz / Stadardabwechug 3 Stchprobevaraz 4 Kovaraz 5 Korrelatoskoeffzet 6 Uabhäggket
Aufgabe 1 Ordnen Sie die folgenden vier Funktionen gemäß ihrem asymptotischen Wachstums ( ) ( ) log( n) ( ) ( ) ( log ( n)
Dtestrukture ud Agorthme: Btt Berhrd Detrh (656800 Lrs Ferhomberg (65600 Sebst Kesburges (65710 Mrus Köthebürger (658550 Übugsgruppe 11 Mttwoh, 11:00-1:00 Uhr D1.0 Mtths Erst Aufgbe 1 Orde Se de fogede
Operationsforschung. (Zielfunktion) c a b R i m j n , = 1,2,..., ; = 1,2,...,.
Opertoorchug. Lere Optmerug Problemtellug: Uter eem lere Optmerugoblem verteht m olgede Problem: (Zelukto) = z = c x opt uter olgede Nebebedguge: Dbe d: = x, =, b, =,,..., m x, x,..., x 0, (Nchtegtvtätbedgug)
Z Z, kurz. Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.
Kombator Problemstellug Ausgagsput be ombatorsche Fragestelluge st mmer ee edlche Mege M, aus dere Elemete ma edlche Zusammestelluge vo Elemete aus M bldet Formal gesproche bedeutet das: Ist M a,, a ee
Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)
Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen.
Uverstät Ulm, Isttut Stochastk 5. Jul 200 Semar: Stochastsche Geometre ud hre Aweduge - Ubegrezt telbare ud stable Verteluge. Ausarbetug: Stefa Fuke Betreuer: Ju.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko Ubegrezt telbare
Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung
8 Aweduge aus der Fazmathematk Perodsche Zahluge: Rete ud Leasg Uter eer Rete versteht ma ee regelmässge ud kostate Zahlug Bespele: moatlche Krakekassepräme, moatlche Altersrete, perodsches Spare, verteljährlcher
Ausgleichsrechnung. Roman Engeli, Florian Furrer, Yannik Drapela, Fabian Geiger. Ausgleichsrechnung
Ausglechsrechug Ausglechsrechug Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger Rom Egel, Flor Furrer, Yk Drpel, Fb Geger Ausglechsrechug Eletug De Ausglechugsrechug st ee mthemtsche Optmerugsmethode, um für
Bogenlängen. Beispiele: Die Länge eines Grafen (Bogenlänge) einer Funktion f über [ a ; b ] läßt sich berechnen mit der Formel :
![Bogenlängen. Beispiele: Die Länge eines Grafen (Bogenlänge) einer Funktion f über [ a ; b ] läßt sich berechnen mit der Formel :](/thumbs/65/54237888.jpg "Bogenlängen. Beispiele: Die Länge eines Grafen (Bogenlänge) einer Funktion f über [ a ; b ] läßt sich berechnen mit der Formel :")
Bogeläge De Läge ees Gre Bogeläge eer Fuko üer [ ; ] läß sch ereche m der Formel : l ' d Des ühr de mese Fälle u komplzere Iegrde, de sch häug ur äherugswese ereche lsse. Bespele: De Keele m h, e e - h
14. Folgen und Reihen, Grenzwerte
4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=,
Das klassische Transportproblem
ptel 6 Lere Opterg Ds klsssche Trsportproble D. 6.. (Ds klsssche Trsportproble) Uter de klsssche Trsportproble versteht folgede Afgbe Her sd: M = c =, = b,, =,,..., ; =,,...,. = = = = (,,..., ) : (,,...,
ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
Probleme mit mehreren Zielen. Probleme mit mehreren Zielen. Probleme mit mehreren Zielen
Probleme mt mehrere Zele Bespel (Dkelbach) E Reseder muss sch vor Ort vo ver Hotels für ees etschede. Dabe verfolgt er folgede Zele: - Bestmöglche Ruhe - Qualtät des Frühstücks - Sauberes Bad - Scherer
5 Das reziproke Gitter
107 5 Ds rezproke Gtter Deftoe ud Bespele Erste Brllou-Zoe Gttereee ud Mllersche Idzes Nel W. Ashcroft Dvd N. Merm. Festkörperphysk. 3. veresserte Auflge 2007. ISBN 978-3-486-58273-4. Oldeourg Wsseschftsverlg
Rekurrente Markovketten
Rekurrete Markovkette Im vorge Vortrag wurde der Begrff der Rekurrez eer Markovkette egeführt. Dese woe wr jetzt geauer utersuche. Im Fogede se mmer {X N 0 } ee homogee Markovkette. Defto. () Ee Zufasvarabe
Vl. Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 3: Diskrete Verteilungen
Vl. Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Übug 3: Dsrete Verteluge Prof. Dr. B. Grabows Zur Lösug der folgede Aufgabe öe Se auch de begefügte Tabelle der dsrete Verteluge m Ahag verwede.