Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität

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1 Einführung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexität Tobias Lieber 10. Dezember / 16

2 Grundlegendes Approximationsalgorithmen Parametrisierte Komplexität 2 / 16

3 Grundlegendes Definition (Die Klassen P und NP) Eine Sprache L Σ ist in P (NP) enthalten, wenn es eine (nicht)deterministische Turingmaschine M gibt, deren Ausgabe, nach polynomiell vielen Schritten in der Größe der Eingabe x, durch { 1 x L M(x) = 0 x L gegeben ist. 3 / 16

4 Grundlegendes Definition (Many-One-Reduktionen) Eine Sprache A Σ ist (polynomiell many-one-)reduzierbar auf B Σ wenn es eine in Polynomialzeit berechenbare Funktion f : Σ Σ gibt, so dass x A f (x) B gilt. Wir schreiben A m B. Definition (NP-Vollständig) Eine Sprache L ist NP-Vollständig, wenn L NP und für alle Sprachen B NP gilt: B m L. 4 / 16

5 Grundlegendes Definition (Das Problem VertexCover) Eine Menge X V ist ein VertexCover von einem Graphen G = (V, E), wenn es für jede Kante e E einen Knoten v X gibt so dass v e gilt. Die Sprache VertexCover enthält alle Eingaben G = (V, E) und k N 0, die ein VertexCover der Größe k haben. 5 / 16

6 Grundlegendes Abbildung: Beispiel: Ein VertexCover 6 / 16

7 Grundlegendes Abbildung: Beispiel: Ein VertexCover Das (Entscheidungs-)Problem VertexCover ist NP-Vollständig (Reduktion von IndependentSet). 6 / 16

8 Approximationsalgorithmen Algorithm 2.1: Approximationsalgorithmus für VertexCover C ; while e = (u, v) E do C C {u, v}; entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind; return C; 7 / 16

9 Approximationsalgorithmen Algorithm 2.2: Approximationsalgorithmus für VertexCover C ; while e = (u, v) E do C C {u, v}; entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind; return C; Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus 7 / 16

10 Approximationsalgorithmen Algorithm 2.3: Approximationsalgorithmus für VertexCover C ; while e = (u, v) E do C C {u, v}; entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind; return C; Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus 7 / 16

11 Approximationsalgorithmen Algorithm 2.4: Approximationsalgorithmus für VertexCover C ; while e = (u, v) E do C C {u, v}; entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind; return C; Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus 7 / 16

12 Approximationsalgorithmen Definition (Approximationsgüte) Die Approximationsgüte ρ von einem Algorithmus A ist definiert durch: { A(I ) ρ A = max, opt } I. I L opt I A(I ) 8 / 16

13 Approximationsalgorithmen Approximationsgüte des VertexCover-Algorithmus Jede Kante muss von mindestens einem Knoten abgedeckt werden. Eine optimale Lösung muss auf alle Fälle die ausgewählten Kanten abdecken. 9 / 16

14 Approximationsalgorithmen Approximationsgüte des VertexCover-Algorithmus Jede Kante muss von mindestens einem Knoten abgedeckt werden. Eine optimale Lösung muss auf alle Fälle die ausgewählten Kanten abdecken. Also muss die Optimallösung mindestens so viele Knoten enthalten, wie Kanten ausgewählt wurden. Die Approximationsgüte ist also 2. 9 / 16

15 Approximationsalgorithmen Definition (Approximationsklassen) Name Güte Zeit f (n) n O(1) APX const. n O(1) PTAS 1 + ɛ n f ( 1 ɛ ) EPTAS 1 + ɛ FPTAS 1 + ɛ f ( 1 ɛ )no(1) (n + 1 ɛ )O(1) 10 / 16

16 Parametrisierte Komplexität Definition (Die Klasse FPT) Sei L Σ N eine Sprache und f : N N. Wir schreiben L FPT, wenn alle (x, k) L in Zeit f (k) x O(1) von einer DTM erkannt werden. 11 / 16

17 Parametrisierte Komplexität Algorithm 3.1: Hat G ein VertexCover der Größe k T 1 { }; for i=1 to k do forall the X T i do Wähle eine Kante {u, v} G [V \ X ]; T i+1 (T i \ X ) {X {u}, X {v}}; if G [V \ (X {u})] = then return X {u}; if G [V \ (X {v})] = then return X {v} 12 / 16

18 Parametrisierte Komplexität Definition Sei L Σ N eine Sprache und d, f, g, h : N N. 1. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) L in Zeit d(k) x O(1) von einer DTM erkannt werden. 2. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) L in Zeit f (k) + g(k) x + k O(1) von einer DTM erkannt werden. 3. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) L in Zeit h(k) + x O(1) von einer DTM erkannt werden. Beweis. 13 / 16

19 Parametrisierte Komplexität Definition Sei L Σ N eine Sprache und d, f, g, h : N N. 1. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) L in Zeit d(k) x O(1) von einer DTM erkannt werden. 2. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) L in Zeit f (k) + g(k) x + k O(1) von einer DTM erkannt werden. 3. Beweis. 2) 1) Annahme: p(x) = x d. Wenn a, b 1 gilt, folgt aus a + b a(b + 1): g(k) + f (k)(n + k) d (g(k) + f (k)(k + 1) d )(n + 1) d 13 / 16

20 Parametrisierte Komplexität Definition Sei L Σ N eine Sprache und d, f, g, h : N N. 1. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) L in Zeit d(k) x O(1) von einer DTM erkannt werden Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) L in Zeit h(k) + x O(1) von einer DTM erkannt werden. Beweis. 1) 3) f (k)p(n) f (k) 2 + p(n) 2 13 / 16

21 Parametrisierte Komplexität Definition Sei L Σ N eine Sprache und d, f, g, h : N N Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) L in Zeit f (k) + g(k) x + k O(1) von einer DTM erkannt werden. 3. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) L in Zeit h(k) + x O(1) von einer DTM erkannt werden. Beweis. 3) 2) klar 13 / 16

22 Parametrisierte Komplexität Definition (Die Klasse XP) Sei L Σ N eine Sprache und f : N N. Wenn alle (x, k) L von einer DTM in x f (k) Schritten erkannt werden, dann ist L XP. 14 / 16

23 Parametrisierte Komplexität Definition (Die Klasse XP) Sei L Σ N eine Sprache und f : N N. Wenn alle (x, k) L von einer DTM in x f (k) Schritten erkannt werden, dann ist L XP. Beispiel für XP: IndependentSet ist in XP. Aber Färbbarkeit von Graphen ist nicht in XP ausser P = NP (3-Färbbarkeit ist NP-Vollständig). 14 / 16

24 Parametrisierte Komplexität Lemma L EPTAS L FPT. Beweis. Wir wollen entscheiden ob eine Eingabe X mit Parameter k eine Lösung hat. Wir führen ein EPTAS A mit der Eingabe X und ɛ = 1 k+1. Erhalten wir eine Lösung Y, die ein Beweis für (X, k) ist, so akzeptieren wir. Sonst ist Y höchstens ein Beweis für (X, k + 1). Somit: opt X = A(X ) ρ L k k+1 Wir können also mit Sicherheit ablehnen. = (k + 1)2 k + 2 > k 15 / 16

25 Parametrisierte Komplexität Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 16 / 16

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