Anwendungen von Netzwerkfluss. Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin

Transkript

1 Anwendungen von Netzwerkfluss Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin

2 Gliederung Einführung Netzwerk, Fluss und Schnitt Max-Flow-Min-Cut Theorem Algorithmen zum Bestimmen vom maximalen Fluss Ford Fulkerson Algorithmus Edmonds Karp Algorithmus Anwendungen Bipartites Matching Zirkulation mit Anforderungen (mit unteren Schranken) Umfrageentwurf Bildsegmentierung Projektauswahl

3 Einführung: Netzwerk Ein Netzwerk N=(V, E, s, t, c) ist... ein gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten s mit zwei ausgezeichneten Knoten Quelle s aus V Senke t aus V c=1 c=3 c=1 c=2 t c=4 c=3 c=0 c=2 mit einer Kapazitätsfunktion c, die jeder Kante e aus E eine nicht-negative, reellwertige Kapazität c(e) zuweist Ein Restnetzwerk (Residualnetzwerk) vom N ist ein Netzwerk N'=(V, E, s, t, c'), in dem die Kapazitäten jeder Kante um den Fluss durch diese Kante vermindert wurden

4 Einführung: s-t-fluss Ein s-t-fluss ist eine Funktion f, die jeder Kante e im Netzwerk einen nicht-negativen, reellen s Flusswert f(e) zuweist Bedingungen vom Fluss: Kapazitätsbeschränkung c=1 f=0 c=3 f=1 c=1 f=0 c=2 f=0 t c=4 f=1 c=1 f=1 c=3 f=2 c=2 f=1 0 f e c e, e E Flusserhaltung f e f e =0 einc v e ausv Wert vom Fluss im Netzwerk Verbesserungspfad ist ein Pfad (v[1],..., v[k]), wobei v[1] = s, v[k]=t c(v[i],v[i+1]) f(v[i], v[i+1]) > 0

5 Einführung: Schnitt Ein Schnitt ist eine Menge von Kanten eines Graphen G = (V,E), die zwischen zwei Knotenmengen S und T liegt, wobei S T =V S T = Kapazität c(s, T) vom Schnitt (S,T) S c=1 c=3 s c=1 c=2 t c=4 c=3 c=0 c=2 T

6 Einführung: Max-Flow-Min-Cut Der maximale Fluss im Netzwerk hat genau den Wert dessen minimalen Schnitts. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: f ist der maximale Fluss in G das Restnetzwerk G' enthält keinen Verbesserungspfad f = c(s,t) gilt für irgendeinen Schnitt (S,T)

8 Algorithmen: Ford-Fulkerson Erfinder Lester Randolph Ford, Jr beteiligt auch an Bellman-Ford Algorithmus Delbert Ray Fulkerson Idee: Solange es im Netzwerk einen Verbesserungspfad gibt, richte den Fluss durch diesen Pfad Laufzeit: O( E * f' ) f' ist der maximale Fluss im Graphen Vorsicht: Algorithmus muss nicht terminieren Uri Zwick: The smallest networks on which the Ford-Fulkerson maximum flow procedure may fail to terminate

9 Algorithmen: Ford-Fulkerson (1/9)

18 Algorithmen: Edmonds-Karp Erfinder Yefim Dinitz (1970) (University of the Negev) Jack Edmonds und Richard Karp (1972) (Univ. of California) R. Karp bekannt auch wegen Karp's 21 NP-C problems Idee Funktioniert ähnlich zum Ford-Fulkerson Algorithmus. Der Verbesserungspfad wird aber mit Hilfe von Breitensuche ausgewählt, so dass die Länge der Verbesserungspfade steigt. Laufzeit: O( V * E ² ) Beweis: siehe Cormen, Leierson, Rivest und Stein O( E ) - Verbesserungspfad finden Jedes Mal wird mind. eine Kante gesättigt Laenge vom Pfad ist max. V

20 Anwendungen: Bipartites Matching Reales Problem: Paarung der Menschen Bipartites Matching / Paarung / Unabhängige Kantenmenge Eingabe: ungerichteter, bipatrtiter Graph G= L R, E M E ist ein Matching, wenn zwei beliebige Kanten aus M mit verschiedenen Knoten inzident sind Ziel: finde Paarung mit der höchsten Kardinalität

21 Anwendungen: Bipartites Matching Formulierung als Netzwerkflussproblem Erstelle Graph G ' = L R {s, t}, E ' Richte alle Kanten von L nach R und weise den unendliche Kapazität zu Füge Quelle s und Senke t hinzu Füge Kanten mit einer Kapazität von 1 von der Quelle zu jedem der Knoten aus L Füge Kanten mit einer Kapazität von 1 von jedem der Knoten aus R zu der Senke Rechne den maximalen Fluss in G' aus G G'

22 Anwendungen: Bipartites Matching

23 Anwendungen: Bipartites Matching

24 Anwendungen: Zirkulation mit Anforderungen Reales Problem: Mehrere Datenquellen und Datensenken in einem Netzwerk Eingabe Gerichteter Graph G=(V,E) Kantenkapazität c(e), für alle e aus E Angebot/Anforderung d(v), für alle v aus V Anforderung d(v) > 0 Angebot d(v) < 0 Gültige Zirkulation ist eine Funktion, die erfüllt auf solchen Graphen Kapazitätbeschränkung 0 f e c e, e E Flusserhaltung f e f e =d v einc v e ausv

25 Anwendungen: Zirkulation mit Anforderungen Nötige Bedingung für eine gültige Zirkulation d v = d v =D v :d v 0 v: d v 0 Formulierung als Netzwerkflussproblem Erstelle Graph G ' = G {s, t }, E ' Füge eine Quelle s und Senke t hinzu Verbinde die Quelle mit jedem Knoten mit Angebot mit Hilfe von einer gerichteter Kante mit der Kapazität -d(v) Verbinde jeden Knoten mit Anforderung mit der Senke mit Hilfe von einer gerichteter Kante mit der Kapazität d(v) G G'

26 Anwendungen: Zirkulation mit Anforderungen G hat eine gültige Zirkulation, wenn der maximale Fluss in G' den Wert D hat

27 Anwendungen: Zirkulation mit Anforderungen und unteren Schranken Reales Problem: Netz der Abwasserkanäle Minimaler Fluss nötig Eingabe Gerichteter Graph G=(V,E) Kantenkapazität c(e) und untere Schranke l(e),für alle e aus E Angebot/Anforderung d(v), für alle v aus V Anforderung d(v) > 0 Angebot d(v) < 0 Gültige Zirkulation ist eine Funktion, die erfüllt auf solchen Graphen Kapazitätbeschränkung l e f e c e, e E Flusserhaltung f e f e =d v einc v e ausv

28 Anwendungen: Zirkulation mit Anforderungen und unteren Schranken Formulierung als Netzwerkflussproblem Erstelle Graph wie in Zirkulation mit Anforderungen Modelliere untere Schranke mit Anforderungen im G' Lasse l(e) Fluss durch die Kante durch Aktualisiere Anforderungen an beiden Enden Weiter wie Zirkulation mit Anforderungen G G'

29 Anwendungen: Umfagenentwurf Reales Problem Marktanalysen, Kundenumfragen Problem Frage n Kunden nach m Produkten Man darf den Kunden i nur dann nach Produkt j fragen, wenn i j besitzt Stelle dem Kunden i zwischen c(i) und c'(i) Fragen Befrage zwischen p(j) und p'(j) Kunden nach Produkt j Ziel: Finde eine passende Umfrage, wenn möglich

30 Anwendungen: Umfagenentwurf Formulierung als Netzwerkflussproblem Modelliere Problem als Zirkulation mit unteren Schranken Kunden und Produkte als Knoten Füge zwei Knoten s und t hinzu Verbinde mit Kunden i und Produkt j, wenn i j besitzt; Kantenschranken [0,1] Verbinde s mit allen Kunden; Kantenschranken [c(i),c'(i)] Verbinde alle Produkte mit t; Kantenschranken [p(j),p'(j)] Verbinde t mit s; Kantenschranken [0, unendl.]

31 Anwendungen: Umfagenentwurf Eine Umfrage existiert wenn es im aufgebauten Graphen eine gültige Zirkulation gibt

32 Anwendungen: Bildsegmentierung Reales Problem Erkennung von Objekten auf einem Bild Problem Jedes Pixel i hat ein Maß a(i)>=0, das seine Ähnlichkeit mit dem Vordergrund A ausdrückt Jedes Pixel i hat ein Maß b(i)>=0, das seine Ähnlichkeit mit dem Hintergrund B ausdrückt Die Entfernungsstrafe p(i,j)>=0 zwischen zwei Pixeln i und j, von den ein zum Vorder- und ein zum Hintergrund gehört Ziel: finde eine Partition p i, j Mit maximalem q A, B = a i b j i A j B i, j E ; A {i, j } =1 oder q ' A, B = b i a j p i, j Mit minimalem i A j B i, j E ; A {i, j } =1

33 Anwendungen: Bildsegmentierung Formulierung als Netzwerkflussproblem Erstelle einen Graph G=(V,E) Pixel als Knoten Füge zwei Knoten s und t hinzu Verbinde s mit allen Pixeln i; Kantenkapazität a(i) Verbinde alle Pixeln j mit t; Kantenkapazität b(j) Verbinde Benachbarte Pixel i und j mit zwei gerichteten Kanten (entgegen gesetzte Richtung) mit Kapazität p(i,j)

34 Anwendungen: Bildsegmentierung Die gesuchte Partition q'(a,b) hat die Größe des Kapazität vom Schnitt c(a,b) c A, B = b i a j i A j B i, j E ; A {i, j } =1 p i, j =q ' A, B

35 Anwendungen: Projektauswahl Reales Problem Projektverwaltung, strategische Planung Problem Es gibt eine Menge der potenziellen Projekte Mit Projekt v ist erwarteter Gewinn p(v) verbunden Gewinn kann auch negativ sein (Verlust) Manche Projekte hängen von anderen ab Eine Menge der Projekte ist gültig, wenn alle voneinander abhängige Projekte zu dieser Menge gehören Ziel: Finde eine gültige Menge der Projekte, so dass der erwartete Gewinn maximal ist Eine Partition q(a,b), so dass p i i A maximal ist

36 Anwendungen: Projektauswahl Formulierung als Netzwerkflussproblem Erstelle einen Graph G=(V,E) Projekte als Knoten Füge zwei Knoten s und t hinzu Verbinde jedes Projekt mit allen seinen Vorbedingungen; Kantenkapazität = unendl. Verbinde s mit allen profitablen Projekten; Kantenkapazität p(i) Verbinde alle verlustbehaftete Projekte mit t; Kantenkapazität -p(i)

37 Anwendungen: Projektauswahl p i Minimaler Schnitt ist die Partition q(a,b), für die i A maximal ist Die gesuchte Projektmenge ist die Untermenge A \ {s}

38 Quellen Jon Kleinberg, Éva Tardos, Algorithm Design Folien von K. Wayne,

39 Vielen Dank!