Die Substitutionsmethode

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Willi Fuhrmann
vor 7 Jahren
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1 Di Sustitutionsmthod Um di Sustitutionsmthod (Erstungsmthod) vrsthn u könnn, ist s nötig, sich mit dr Bdutung ds Diffrntials vrtraut u machn, das man hintr di Intgrandnfunktion schrit,.b.: d. Man litt dn Intgralgriff in dr Schul gwöhnlich ür di Annährung ds Flächninhalts wischn inr Kurv (als dm Graph inr Funktion) und dr -Achs hr. Hiru nimmt man glichrit Rchtck, drn link [odr rcht] or Eckn auf dm Graph lign und drn Bass auf dr -Achs lign. Di Brit jds disr n Rchtcks ist dann dr n-t Til dr Brit ds gfragtn Brichs [ 0 ; ], dn man allgmin nnnn kann, dnn r ist ja konstant ( 0 )/n. Di Höh wird jwils stimmt vom Funktionswrt an dr jwilign Stll. Man hat also in Summ 0 f () Nun läßt man n ggn unndlich laufn w. di Brit dr Rchtck ( ) ggn Null. Man hat dadurch quasi unndlich vil Rchtck, unndlich vil Summandn in dr Summ. Prinipill ändrn sich nur di Symol: 0 f() d Aus dm Summn- wird das Intgralichn, aus dm durch dn Grnürgang das d. Man hat sich das Diffrntial d als unndlich klinn Aschnitt auf dr -Achs vorustlln, dr kin Größ mhr hat, ar di Information, di Sl dr -Wrt noch in sich trägt. Ürigns handlt s sich i d wirklich noch um inn Faktor; s ist also nötig, di Intgrandnfunktion inuklammrn, wnn si in Summ odr Diffrn ist. Gnauso vrhält s sich mit dm Diffrntial dr y-wrt, dy. Nur daß y mist als Funktionswrt von auftritt. Es sind also unndlich klin Höhnvrändrungn dr Funktion, di kin wirklich Größ mhr han, ar noch das gistig Wsn dr Funktion in sich tragn. Dis sorgt dafür, daß dr Ausdruck dy d tatsächlich, anstll ds Diffrnnquotintn y/, dr nur i Gradn gnau funktionirt, di Stigung inr Kurv in jdm Punkt angit, an dr di Grnwrt dr - und Funktionswrt istirn. Di Stigungsfunktion f (), di für jd Stll di Stigung dr Funktion f() angit, kann dahr auch so gschrin wrdn: odr kur f ' () d f() d dy f ' (), wnn klar ist, daß yf() ist. d Ürlgn wir nun, was passirt, wnn wir in dr Funktion yf() ln() das durch ² rstn. Wir rhaltn rchts ln(²). Links rhaltn wir f(²), was unpraktisch ist, dnn schlißlich rauchn wir mist Funktionswrt an stimmtn fstn Stlln. Lassn wir das f(...) inmal isit und fassn uns nur mit dm y, das sich jtt als (nudfinirt) Funktion von darstllt: y ln(²). Man kann das mit dr Kttnrgl lockr nach alitn, wi man auch di ursprünglich Funktion (also das ursprünglich als Funktion von dfinirt y) nach alitn konnt. Mit dr Schriwis dr Diffrntialquotintn rhält man dy dy und d d ² ² Wir wissn, daß ² ist, könnn also auch disn Ausdruck nach alitn ( diffrnirn ): d d(² ) d d

2 Löst man ² nach auf, kommt man und kann das nach alitn: d d Dn Spilrin sind (fast) kin Grnn gstt. Wou das alls? Nun, man rhält offnsichtlich jwils in Glichung, di Zusammnhäng wischn wi Diffrntialn und inr Varialn hrstllt. Im lttn Bispil sind das di Diffrntial d und d sowi di Varial. Im vorlttn Bispil sind s (wohlgmrkt) di sln Diffrntial, ar di Varial. Dis Zusammnhäng wrdn wir glich dringnd nötign. Gsucht si nun di Stammfunktion von f() ², also Mit dr Mthod dr partilln Intgration kommt man hir nicht wit, wil man für dn Faktor ² kin Stammfunktion angn kann. (Es git si ürigns gar nicht!) Es wär alls infachr, wnn wir statt dm Eponntn ² inn infachrn Eponntn hättn, am stn nur. Hir proirn wir s jtt n mit dr Sustitution. Wir rstn das unangnhm ² durch : ² d d Vorsicht: ist kin Konstant, sondrn ja von ahängig. Wir han wi varial Buchstan im Salat, und das ght nicht. All müssn wg. Nun könnn wir auch das rstn, indm wir ² nach auflösn und dn so gwonnnn Ausdruck instn: d d Schön. Schön? Eigntlich nicht, dnn di Wurl könnt noch Kopfrrchn ritn, ar man wird shn. Noch han wir nämlich nicht all rstt. Das d nämlich dutt, daß di Intgrationsvarial ist, und das ist hir natürlich unsinnig, wil unsr Varial inwischn hißt. Wir nötign anstll von d in d. Hir hilft das on rwähnt Spil mit dn Diffrntialquotintn. Wir schaffn uns inn Zusammnhang wischn d und d, und war so, daß in disr Glichung sonst nur auftritt, dnn das wolln wir ja loswrdn. Wir müssn also ntwdr ² nach alitn odr nach. Im rstn Fall hättn wir widr dai; wir müssn also dn witn Fall wähln: d d Damit rhaltn wir (nach Multiplikation mit d) d d und könnn unsr d im Intgralausdruck rstn. d d d Das siht schon ssr aus, wir intgrirn lockr: d d Nun müssn wir rücksustituirn, d.h. am Schluß widr aus dm in machn. Dau rstn wir all durch ², dnn das war unsr Sustitution. Insgsamt rhaltn wir damit: ² ² d d ² d.

3 Bispil:.) cos( ) d d Sustitution: d d d cos sin sin() cos() d d cos d.) (² ) d Sustitution: ² (² ) d d d ( ) ( ) ³ ² d ² d d ³ d (² ) (² )² d ³ ² (² )² ² ³ d.) ² d Sustitution: d d ( )² ² d ²( )² d ( )² ( )² d d ³.) tan() d d Sustitution: cos sin d d d sin sin sin tan( ) d d d d ln() ln(cos()) cos sin Am lttn Bispil ist wirli nu: Zum inn wird in Trm sustituirt, dr so ürhaupt nicht im Intgrandn vorkommt. Zum andrn wird dr Sustitutionstrm dirkt nach dr u rstndn Varial diffrnirt. Durch wundrar Umständ fällt dann inrsits im Intgrandn wg, andrrsits rhält man inn vrlüffnd infachn Trm, dr sich prolmlos witrvraritn läßt. Dis führt uns noch u inr drittn Art dr Sustitution: Man rstt nicht inn Tiltrm ds Intgrandn durch in nu Varial, sondrn di alt Varial slst durch inn nun Trm mit dr nun Varialn.

4 Bispil: Für < si diss Intgral u lösn: d. Di Sustitution ² führt gnausownig ² u infachrn Intgrandn wi di Sustitution dr gsamtn Wurl (ausproirn!). Sltsamrwis führt ar sin() u inm shr raucharn Trm, dnn man kann dn sognanntn trigonomtrischn Pythagoras (sin² cos² ) ausnutn: d ² Sustitution: sin() d/d cos() d cos() d asin() cos() d cos() d d d asin() ² sin () cos() Di Sustitution cos() mit d/d sin() führt ürigns auf inn intrssantn Zusammnhang: sin() d cos() d d d acos() ² cos () sin() Man könnt folgrn, daß asin() acos() gilt. Dis ist ar nicht utrffnd, da wir di Intgrationskonstantn untrschlagn han. Es ging uns ja nur um in liig Stammfunktion. Vilmhr gilt asin() acos() π/. Bispil für Sustitution dr Varial durch inn nun Trm:.) a d Sustitution: ln d/d / d / d ln ln ln a a ln a ln a a d d d d ln a Di Vrinfachung a ln ln a folgt aus a ln a, dnn so wird a ln u ( ln a ) ln ln a ln ln ln a ln a. Di Rsustitution rgit dann: ln a ln a ( ) ln a ln a (ln a ) ln a ln a ln a ln a ln a.) d Sustitution: ² d/d d d ² d ( ) d ( ²) Dis läßt sich prolmlos intgrirn: (² ) d ³ (² ) Nun muß noch rsustituirt wrdn (.) d ln d (² ) d (² ) ³ Sustitution: d/d ln d d d ln ln(ln()) ln ² a ln a d ³ d ), und man rhält insgsamt: ( ) ( ) (² ) d

5 .) d Sustitution: ln d/d / ln ln ln ln d d d d d d.) sin( ) d Sustitution: ² d/d sin( )d sin( ² ) d sin() d cos() cos() d cos() sin() sin( ) cos( ) a 6.) c d c Sustitution d/d / c c a a a ac a d d d c c c ² ² c d a a ac a ² ² ² Da dr mittlr Summand konstant ist, ist auch dis in Stammfunktion: a a ac d ln( c) c ² ( c ln() ) ( c) ln( c) ln( c) ac ² ac ² ² 7.) d Sustitution ² d/d ± ² ² d ² ² ² ( ) d ( )( ) ( )² ² ² d d d ² ² ² ² ² ² ² Polynomdivision rgit ² ² ( ) ² A B Dr Rstruch läßt sich in dr Form darstlln. ( ) Glichstn, ausmultipliirn, nach usammnfassn und vrglichn dr Koffiintn rgit: ² A B ( ) ( ) ² A( ) B ( A B) A also AB0 und A, woraus sich B rgit. ( )² ( ) d ²

6 ² ² ² d d ln() ln( ) ln ² ln ² ² ² ln ( ² ) ln() ² ( ² ) Hinwis: ² ( ² )( ² ) ( ² ) ( ² ) ² ² Aufgan: a) ( )² d ln ) d ² c) ² d sin d) cos d ) ² d f) d g) ² d Möglich Sustitutionn: ; ; ( )/() ; asin ; ² ; ; / ; sin u ; sin

7 Lösungn: ( )² d Sust.: d/d d ( )² ² d ln ² d Sust.: d/d ln ln ² d d d ( ) d ln ln ln ln ² d Sust.: d/d ( )² d ² ( )² ( )² ( )² ( ) ( ) d d ( )² ( )² ( )² ( )² (² ) (² ) ( ) d d d d ln ln cos sin d Sustitution: asin d/d ² sin cos d ² d d ² cos(asin()) ² sin sin

8 ² d Sustitution: ² d d d d ² d ² d Sustitution: ( )² d/d d ( ) d ( ) d 0 ( ) 0 ( ) 8 ( ) ( ) 0 ( ) 0 8 ² d Sust.: d d sin u d/du cos u ² ² d ² ² d ² d cos u (sin u)² du du u asin() asin

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