Im Original veränderbare Word-Dateien

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1 Binärsystem Im Original veränderbare Word-Dateien Prinzipien der Datenverarbeitung Wie du weißt, führen wir normalerweise Berechnungen mit dem Dezimalsystem durch. Das Dezimalsystem verwendet die Grundzahl oder Basis 10. Es gibt eine unübersehbare Menge verschiedener Sprachen auf der Welt. Aber bei den Zahlensystemen hat sich das Dezimalsystem nahezu überall durchgesetzt. Sicher liegt das auch daran, dass der Mensch seine ersten Rechenübungen mithilfe seiner 10 Finger durchgeführt hat. Der Wert einer Ziffer in einer Zahl hängt von ihrer ab. Die erste 5 links in der Zahl in 595 hat z. B. einen anderen Wert als die zweite 5 rechts in der Zahl, nämlich fünfhundert und nicht fünf. Im Dezimalsystem entspricht jede einer Zahl einer Potenz der Basis 10, rechts angefangen mit 10 0 : 10 0 =1, 10 1 =10, 10 2 =100 usw. 5 x 10 2 = x 10 1 = 90 5 x 10 0 = 5 Zusammen: 595 Die linke Ziffer der Dezimalzahl 595 gibt an, wie oft der Wert 10 2 (Hunderter) darin enthalten ist, die zweite Ziffer von links gibt an wie oft der Wert 10 1 (Zehner), die dritte Ziffer wie oft der Wert 10 0 (Einer) enthalten ist: 5 Hunderter, 9 Zehner, 5 Einer. Du musst also zunächst zählen, wie viele Ziffern die Zahl besitzt. Es gibt allerdings auch andere, besonders in der Computertechnik genutzte Zahlensysteme: das Oktalsystem mit der Basis 8 das Hexadezimalsystem mit der Basis 16 das Dualsystem mit der Basis 2 Computerprozessoren rechnen meist mit dem Dualsystem, auch Binärsystem genannt. Gottfried Wilhelm Leibnitz Das Dualsystem wurde von dem genialen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibnitz ( ) entwickelt. Mit seinem Zahlensystem kann man alle dezimalen Zahlen mit den Ziffern 0 und 1 darstellen. Dieses Zahlensystem bildet die Grundlage aller modernen Computer. 0 bedeutet Strom aus und 1 bedeutet Strom an. Auf diese Weise speichern die im Computer eingebauten integrierten Schaltkreise Daten. Computer können also nur bis zwei zählen, sie haben nur zwei Finger zum Zählen. Man könnte also böswillig behaupten, Computer sind zu dumm, um bis drei zu zählen. Die ersten Computer, die man auch Elektronengehirn nannte, glichen eher komplizierten Lichtschaltern als einem Gehirn. Quelle: commons/6/6a/gottfried_wilhelm_vo n_leibniz.jpg

2 Das Dualsystem hast du bereits im vorigen Kapitel im Prinzip kennen gelernt. Die kleinste Informationseinheit im Computer ist das Bit, das die beiden Stromzustände 0 und 1 beschreibt. Die 1 lässt sich im Binärsystem genauso wie im Dezimalsystem ganz einfach mit der Ziffer 1 schreiben. Die 2 im Dezimalsystem wird im Dualsystem als 10 geschrieben. Die Tabelle gibt ein paar Beispiele für Umrechnungen vom Dezimal- ins Dualsystem: Dezimalsystem Dualsystem Wie du erkennst, brauchst du zum Darstellen von Zahlenwerten im Dualsystem wesentlich mehr Ziffern als im Dezimalsystem. Wie genau kommt z. B die Zahl zustande? Das funktioniert im Prinzip genauso wie im Dezimalsystem. Jede Ziffer gibt entsprechend ihrer in der Zahl an, wie oft der jeweilige Wert dort vorkommt. Im Dualsystem hast du nur zwei Möglichkeiten. Der Zahlenwert kommt nicht vor oder er kommt einmal vor. Eine 10-stellige Binärzahl hat folgende Zahlenwerte an jeder Ziffernstelle: Wenn du also die Zahl in das dezimale Zahlensystem umrechnen willst, musst du zunächst einmal die Anzahl der Ziffern zählen. Sie beträgt 6. Lege eine 6-spaltige Tabelle wie oben an und trage die Zahl Ziffer für Ziffer jeweils in eine Spalte ein, wobei die letzte Ziffer in der rechten Spalte stehen muss. Die anderen Ziffern schreibst du links davon.

3 = = =8 2 2 =4 2 1 =2 2 0 = *2 5 =32 1*2 4 =16 0*2 3 =0 0*2 2 =0 1*2 1 =2 0*2 0 = = 50 Die erste Ziffer rechts gibt an, wie oft die Dezimalzahl 2 0 in der Binärzahl vorhanden ist. Die zweite Ziffer gibt an, wie oft der Wert 2 1 vorhanden ist usw. Die letzte Ziffer von rechts ist eine 1 und bedeutet, dass die Dezimalzahl 2 5 einmal in der binären Zahl vorhanden ist. 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32. Die Zahl 32 trägst du unter der Binärziffer in die Tabelle ein. So verfährst du mit allen 6 Ziffern. Zum Schluss zählst du die Zahlen zusammen: = 50. Kennst du dich mit einem Tabellenkalkulationsprogramm aus? Wenn ja, dann kannst du damit eine kleine Tabelle erstellen, die automatisch Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnet. Die Tabelle könnte aussehen wie in der Abbildung. Wenn du mit mehreren Zahlensystemen arbeitest, solltest du kenntlich machen, um was für eine Zahl es sich handelt, die du gerade aufgeschrieben hast. Bei Dualzahlen schreibst du eine kleine 2 neben der Zahl, bei Dezimalzahlen eine kleine 10. So erkennst du, dass 1002 eine Binärzahl ist und nicht eine Dezimalzahl mit dem Wert Hundert. Das Umrechnen von Dezimalzahlen in Binärzahlen gestaltet sich schon etwas schwieriger. Wenn du die Zahl 94 in eine Binärzahl umrechnen willst, musst du wissen, welche Zweierpotenzen in der Zahl enthalten sind und zwar nur einmal, da diese ja nur 0- oder 1-mal in der Zahl vorkommen können. Die nächstniedrigere Zweierpotenz ist 2 6 = 64 (2 7 ist ja bereits 128). Es wird sich also um eine 7-stellige Binärzahl handeln, da es ja noch die kleineren Zweierpotenzen 2 5, 2 4, 2 3, 2 2, 2 1, 2 0 gibt. Du schreibst also in deiner 7-spaltigen Tabelle eine 1 ganz links. Jetzt enthält die Binärzahl bereits den Zahlenwert 64. Es verbleibt noch der Zahlenwert 30 (94 64 = 30), der noch in den verbleibenden Zweierpotenzen untergebracht werden muss. In der Spalte 2 5 musst du eine 0 schreiben, da 32 nicht darin enthalten sein kann ( = 96). Der nächste Zahlenwert, der in die Binärzahl passt, ist 2 4 (= 16). Bei 2 4 trägst du eine 1 ein. Nun ist der Zahlenwert = 80 in der Binärzahl untergebracht. Der nächste passende Wert ist 2 3 (= 8), der nächste 2 2 (= 4), der letzte 2 1 (= 2).

4 Nun ist der Zahlenwert 94 erreicht. Du trägst in die entsprechenden Spalten eine 1 und in die Spalte 2 0 eine 0 ein = 9410 bzw = 9410 oder = = = =8 2 2 =4 2 1 =2 2 0 = = 94 Die Umrechnung kannst du auch mit einer einfachen mathematischen Operation durchführen. Du teilst die umzurechnende Zahl durch 2 und trägst den Rest in die Spalte 2 0 deiner Tabelle ein. Divisionen durch 2 gehen entweder auf (Rest 0) oder es bleibt der Rest 1 übrig. Das Ergebnis der Division teilen wir wieder durch 2 und schreiben den Rest in die nächste Spalte unter 2 1 (0 oder 1) usw. Probieren wir es mit der Zahl geteilt durch 2 ergibt 54 Rest 0. Wir tragen 0 in die rechte Spalte 2 0 ein. 54 geteilt durch 2 ergibt 27 Rest 0. Wir tragen 0 in die nächste Spalte 2 1 ein. 27 geteilt durch 2 ergibt 13 Rest 1. Wir tragen 1 in die nächste Spalte 2 2 ein. Das machen wir so weiter, bis es nichts mehr zum Teilen gibt. Rechnen mit Binärzahlen Wie mit den Dezimalzahlen kannst du mit Binärzahlen mathematische Operationen in den Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Wir wollen uns nur mit der Addition und Subtraktion befassen. Addition Die Addition ist die wichtigste Operation in der Computerwelt. Im Grunde genommen lässt sich jede Grundrechenart auf der Basis von Additionen darstellen. Wenn du im Dezimalsystem schriftlich Zahlen zusammenzählst, schreibst du sie untereinander und zählst nacheinander die untereinanderstehenden Ziffern rechts beginnend zusammen. Kommst du dabei auf Ergebnisse

5 über 10 schreibst du die Anzahl der Zehner als Merker unter die nächste, links davon stehende Zahlenkolonne, also 1 für 10, 2 für 20 usw. Der Merker wird beim Zusammenzählen der entsprechenden Kolonne mitgezählt. Dies funktioniert beim Binärsystem ganz ähnlich, nur musst du dabei beachten, dass beim Addieren von 1 und 1 anstelle einer 2 eine Null geschrieben wird und als Merker (Merkbit) unter die nächste Kolonne eine 1 notiert wird, da 1 +1 = 10. Beim Zusammenzählen von zwei Binärzahlen hast du nur drei verschiedene Möglichkeiten: = = =1 Im Original veränderbare Word-Dateien = 0 Merker 1 (Binärzahl 10) Nun kann es vorkommen, dass du bei einer einfachen Addition dreimal die 1 untereinanderstehen hast (zweimal die 1 der jeweiligen Zahl und eine 1 als Merker). In diesem Fall schreibst du die 1 ins Ergebnis und eine Eins als Merkbit unter die nächste Kolonne, da im Binärsystem = 11 ist (im Dezimalsystem 3). Probieren wir es aus. Wir verwenden wieder unsere bewährten Tabellen. Für die Merkbits lassen wir eine Extrazeile zum Eintragen frei. Zählen wir die beiden Zahlen 13 und 6 zusammen. Potenz zur Basis = =8 2 2 =4 2 1 =2 2 0 =1 Zahl Zahl Merkbit 1 1 Ergebnis In den ersten beiden Zahlenkolonnen wird jeweils 1 und 0 zusammengezählt. Das ergibt wie im Dezimalsystem 1. In der Spalte 2 2 wird 1 und 1 zusammengezählt, das ergibt 0 und im Merkbit der nächsten Kolonne 1 (1 + 1 = 10). Mit dem Merkbit wird in Spalte 2 3 ebenfalls 1 und 1 zusammengezählt, ergibt 0 und im Merkbit 1. In der letzten Spalte 2 4 steht nur noch eine 1 aus dem Merkbit, ergibt in der Summe 1. Wir erhalten die Zahl =1910. Zählen wir als Nächstes die beiden Zahlenwerte 59 und 27 zusammen. Wir gehen genauso vor wie in der ersten Addition. Potenz zur Basis = = = =8 2 2 =4 2 1 =2 2 0 =1 Zahl Zahl Merkbit Ergebnis

6 Bei dieser Addition haben wir jetzt den Fall, wo in zwei Spalten (2 4 und 2 1 ) jeweils dreimal die 1 zusammenzuzählen ist. Hier schreiben wir die 1 ins Ergebnis und eine 1 in das Merkbit. Das Ergebnis ist = Subtraktion Die Subtraktion funktioniert analog zur Addition von rechts nach links. Allerdings muss von oben nach unten gerechnet werden. Es gibt folgende Möglichkeiten: 0 0 = = = = 1 Merker 1 Im Original veränderbare Word-Dateien Wenn dreimal die 1 untereinandersteht, schreiben wir ins Ergebnis eine 1 und in das Merkbit ebenfalls eine 1 (1-1 = 0; 0-1 = 1 Merker 1). Wir subtrahieren den Zahlenwert 6 vom Zahlenwert 13. Potenz zur Basis =8 2 2 =4 2 1 =2 2 0 =1 Zahl Zahl Merkbit 1 1 Ergebnis In der ersten Spalte (2 0 ) wird 0 von 1 abgezogen, ergibt 1. In der zweiten Spalte (2 1 ) wird 1 von 0 abgezogen, ergibt 1 und eine 1 im Merkbit. In der dritten Spalte (2 2 ) wird zweimal die 1 von 1 abgezogen (1 1 1), ergibt 1 und 1 im Merkbit. In der vierten Spalte (2 3 ) wird 1 von 1 abgezogen, ergibt 0. Die Null müssen wir im Prinzip nicht schreiben, da diese Null keinen Einfluss auf den Zahlenwert hat (0 * 2 3 = 0). Als nächstes Beispiel subtrahieren wir 23 von 110. Wir erhalten als Ergebnis = Potenz zur Basis = = = =8 2 2 =4 2 1 =2 2 0 =1 Zahl Zahl Merkbit Ergebnis

7 Rechner Ob unsere Umrechnungen binär dezimal binär richtig waren, können wir leicht zuverlässig prüfen. Auf fast jedem Computer gibt es Rechenprogramme, die wie Taschenrechner funktionieren. Wenn du einen Rechner mit dem Betriebssystem Windows hast, kannst du hierfür das Programm Rechner nutzen. Das Programm ist unter Start Programme Zubehör Rechner zu finden. Es zeigt ein Dialogfenster, das wie die Oberfläche eines Taschenrechners aussieht. Im Menü Ansicht wählen wir den Eintrag Wissenschaftlich. Wie auf einem Taschenrechner klicken wir mit der linken Maustaste auf die Zifferntasten- Schaltflächen. Die angeklickten Ziffern erscheinen im oben liegenden Textfeld. Geben wir also die Zahl 396 ein. Um die Zahl als Binärzahl zu erhalten, klicken wir auf das Optionsfeld Bin. Das Textfenster zeigt die Binärzahl an. Wir klicken auf C, um die Zahl im Textfeld zu löschen. Wir geben die Ziffernfolge ein und klicken auf das Optionsfeld Dez. Nun sehen wir die Dezimalzahl 51.

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