Zur Universalität der Informatik. Gott ist ein Informatiker. Die Grundordnung der Welt läßt sich mathematisch formulieren:

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1 Daten und ihre Codierung Seite: 1 Zur Universalität der Informatik Gott ist ein Informatiker Die Grundordnung der Welt läßt sich mathematisch formulieren: Naturgesetze, wie wir sie in der Physik, Chemie etc. vorfinden, bestehen in der Regel aus mathematischen Gleichungen Diese Gleichungen können wir z.b. benutzen, um die Bewegungen von Planeten vorauszuberechnen (Newton) oder die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen (Maxwell) Der Einsatz von Computern erlaubt es, immer komplexere Formeln rechnerisch zu bewältigen und somit immer umfangreichere Teile der Realität vorauszuberechnen (z.b. Wettervorhersage)

2 Daten und ihre Codierung Seite: 2 Der Erfolg all dieser Simulationen hat dazu geführt, daß die physikalische Welt selbst als ein gigantischer Computer angesehen wird. (Fredkin) Das Universum ist natürlich ein Computer; das Problem ist nur, daß jemand anderes ihn benutzt

3 Daten und ihre Codierung Seite: 3 Daten und Symbole Daten: sind formalisierte Informationen Singular: Datum gebräuchlich ist auch Datenelement Daten können sein: Zahlen Ziffern Texte Buchstaben Funksprüche Morsezeichen Partitur Noten usw. Daten werden dargestellt durch Symbole, die zu Alphabeten zusammengefaßt werden. Alphabete können ihrerseits aus Symbolen bestehen, die Bestandteil eines anderen Alphabets sind (z.b. Alphabet der Schulnoten ) Das kleinste Alphabet ist das binäre Alphabet, bestehend aus zwei Zeichen. Die Symbole 0 und 1 werden Bits genannt (binary digits).

4 Daten und ihre Codierung Seite: 4 Warum überhaupt binäre Codierung? Leichte Realisierbarkeit Störunanfälligkeit Leichte Speicherbarkeit insb. in elektronischer Form Die physikalischen Speicherelemente eines Computers können nur 2 Zustände annehmen. Der Computer ist letztlich in der Lage, alle in binärer Form vorliegenden Daten in geeigneter Weise zu verarbeiten

5 Daten und ihre Codierung Seite: 5 Codierung Die Zeichen eines Alphabets können prinzipiell durch Zeichen eines anderen Alphabets ausgedrückt werden. (Beispiel Morsen). für uns wichtig: Zeichen des Alphabets und Ziffern lassen sich auch durch Folgen von Binärzeichen codieren Mit einer Folge von n Binärzeichen läßt sich ein Alphabet von 2 n unterschiedlichen Zeichen eindeutig codieren. ASCII Codetabelle 8 Bits faßt man zu 1 Byte zusammen. 2 Bytes (16 Bits) werden zu einem double Byte zusammengefasst. 4 Bytes (32 Bits) bilden meistens ein Wort.

6 Daten und ihre Codierung Seite: 6 Eine mögliche Codierung der 10 Ziffern unseres Dezimalsystems könnte folgendermaßen aussehen: Dezimal Binär

7 Daten und ihre Codierung Seite: 7 Elementare Datentypen Klassifikation von Datentypen aufgrund der: Operationen, die auf ihnen ausgeführt werden können der Struktur, die die Daten aufweisen gebräuchliche Datentypen sind: Zeichen ganze Zahlen gebrochene Zahlen Wahrheitswerte char (1 Byte) int (2 oder 4 Bytes) float (4 oder 8 Bytes) boolean (mind. 1 Bit) daneben kann es noch Untertypen geben bzw. es lassen sich auch komplexe (zusammengesetzte) Datentypen bilden.

8 Daten und ihre Codierung Seite: 8 Codierung von Zeichen im allgemeinen Darstellung durch 8-Bit-Codierungen. Standard ist heute der ASCII-Code (im Großrechnerbereich auch EBCDIC-Code). Mit 8 Bit lassen sich max. 256 Zeichen codieren das hat zur Folge, daß für unterschiedliche Sprachen u. U. verschiedene Codetabellen im Einsatz sein können. Bei Sprachen wie chinesisch reicht ein Byte einfach nicht aus daher verwendet man hier double Byte - Charakter-Sets. Moderne Sprachen (z.b. Java) benutzen 2 Byte zur Zeichendarstellung Unicode-Standard

9 Daten und ihre Codierung Seite: 9 Zum ASCII-Code Die Codierung von Zeichen durch Bitfolgen ist prinzipiell willkürlich dennoch hat sich mit der ASCII-Codierung ein de-facto Standard herausgebildet. Ursprünglich ein 7-Bit-Code (d.h. 128 mögliche Zeichencodierungen). Zur erweiterten 8-Bit-ASCII-Codierung gelangt man durch das Erweitern des 7-Bit-Codes durch eine führende Null. Die zusätzlich gewonnenen 128 Zeichen bieten Raum für nationale Besonderheiten (Umlaute usw.) und Graphiksymbole. Die Bitfolgen am Anfang heißen Steuerzeichen (es sind keine textlichen Zeichen sondern Signale, wie z.b. Zeilenvorschub ) Achtung: da bisweilen auch die 256 Zeichen nicht ausreichen, benutzt man bei Bedarf unterschiedliche Codetabellen dieselbe Bitfolge kann unterschiedliche Zeichen codieren (z.b. beim Versenden von Textdateien übers Internet, oder beim Vewenden unterschiedlicher Tastaturen)

10 Daten und ihre Codierung Seite: 10 Codierung von Zahlen Die Zahl 17 kann somit auf unterschiedliche Weise ausgedrückt werden: Umrechnung ins Binärsystem: = 1 x x x x x 2 0 = Codierung im ASCII-Code: = ASCII 1 7 = ASCII Codierung im EBCDIC-Code: = EBCDIC 1 7 = EBCDIC bei dieser Art der Darstellung (ASCII, EBCDIC) sieht auch die Arithmetik anders aus!

11 Daten und ihre Codierung Seite: 11 Darstellung von Fließkommazahlen Darstellung von Brüchen (sinnvoll bei sehr großen bzw. sehr kleinen Zahlen) Herleitung aus der exponentiellen Schreibweise Normalisierte Form (Faktor liegt zwischen 0.1 und 1): statt schreibt man: x x 10-6 Ziffernfolge ist in ihrer Länge begrenzt Rundungsfehler! Darstellung einer 32-Bit-Fließkommazahl: 1 Bit für Vorzeichen 8 Bits für Exponenten 23 Bits für Ziffernfolge Mantisse Konvention: eine Folge b 1,...,b 23 ist zu lesen als: b 1,...,b 23 = 1 + b 1 x b 23 x 2-23

12 Daten und ihre Codierung Seite: 12 Codierung bool scher Werte Name geht zurück auf George Boole. Wahrheitswerte ( true false bzw. 1 0 ), die mit logischen Operationen verknüpft werden können. Wichtig einerseits in der sog. Schaltalgebra sowie bei Schleifen- und Verzweigungsbedingungen in Algorithmen.

13 Daten und ihre Codierung Seite: 13 Zahlensysteme In jedem Ziffernsystem werden größere Anzahlen durch Zahlensymbole dargestellt, die sich nach bestimmten Gesetzen aus einigen Grundsymbolen, den Grundziffern, zusammensetzen. Dies kann z.b. geschehen durch: Addition oder Subtraktion der Werte der hintereinandergestellten Grundziffern (römische Zahlen ) Additionssystem. CXXIV = (5 1) = 124 Addition der mit einem Stellenwertfaktor multiplizierten Werte der Grundziffern; Stellenwert- oder Positionssystem. Bei unserem Zehnersystem handelt es sich um ein dekadisches Positionssystem. 124 = 1* *10 + 4*1

14 Daten und ihre Codierung Seite: 14 Aufbau von Positionssystemen: Beispiel: , , 5 5 * * * * * * * Aufbau: Grundziffern: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Stellenwertfaktoren: Potenzen von 10 Basis: 10 Allgemein: a * b n +... a * b 2 + a * b 1 + a * b 0 + a * b a * b -n a = beliebige Grundziffer b = Basis des Zahlensystems

15 Daten und ihre Codierung Seite: 15 Andere Stellenwertsysteme Binärsystem Grundziffern: {0,1} Stellenwertfaktoren: Potenzen von 2 Basis: = Hexadezimalsystem Grundziffern: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Stellenwertfaktoren: Potenzen von 16 Basis: = 7C 16

16 Daten und ihre Codierung Seite: 16 Umrechnung von einem Zahlensystem ins andere Die Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Zahl eines anderen Zahlensystem geschieht dadurch, daß man die Dezimalzahl durch die Basis des Zahlensystems, in das man sie umwandeln will, teilt, mit dem ganzzahligen Anteil des Ergebnisses entsprechend weiterrechnet und die bei diesen wiederholten Teilungen entstehenden Reste von rechts nach links notiert. Die Umwandlung einer Zahl eines anderen Zahlensystems in eine Dezimalzahl geschieht durch Addition der mit dem Stellenwertfaktor des ursprünglichen Zahlensystems multiplizierten Werte der Grundziffern.

17 Daten und ihre Codierung Seite: 17 Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Binärzahl: 124 : 2 = 62 Rest 0 62 : 2 = 31 Rest 0 31 : 2 = 15 Rest 1 15 : 2 = 7 Rest 1 7 : 2 = 3 Rest 1 3 : 2 = 1 Rest 1 1 : 2 = 0 Rest = Gegenprobe: = 1* * * * * * *2 0 = =

18 Daten und ihre Codierung Seite: 18 Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl: 124 : 16 = 7 Rest C 7 : 16 = 0 Rest = 7C 16 Gegenprobe: 7C 16 = 7* C*16 0 = =

19 Daten und ihre Codierung Seite: 19 Konvertierungen zwischen Hex- und Binärzahlen: Diese sind besonders einfach, da 16 selbst eine 2er- Potenz ist und zwar mit dem Exponenten 4. Es genügt daher, die zu konvertierende Binärzahl von rechts nach links in Vierer-Gruppen zu zerlegen und jede dieser Vierer-Gruppen einzeln in hexadezimale Darstellung umzuwandeln = = 6 8 E 5 = 68E5 16 AF23C 16 = A F 2 3 C = =

20 Daten und ihre Codierung Seite: 20 Ersetzungsregel: = = = = = = = = = = = A = B = C = D = E = F 16

21 Daten und ihre Codierung Seite: 21 Binärzahlarithmetik Prinzipiell lassen sich sämtliche Grundrechenarten wie sie aus dem Dezimalsystem bekannt sind auch auf Binärzahlen anwenden: Addition: = = = = Subtraktion: Multiplikation: 5 10 * 9 10 = (= ) 1001 * Division: : 1001 =

22 Daten und ihre Codierung Seite: 22 Zweierkomplement Um negative Zahlen darstellen zu können, muß man den jeweils zur Verfügung stehenden Zahlenbereich aufteilen zwischen positiven und negativen Zahlen. Hierbei wird das äußerste linke Bit für positive Zahlen nicht mehr genutzt. bei einem Zahlenbereich von 8 Bit lassen sich nur noch die Zahlen 128 bis darstellen! Vorgehen: Um zu einer gegebenen positiven Zahl die ihr entsprechende negative Zahl zu erhalten, negiert man die positive Zahl (aus jeder 0 wird eine 1 und umgekehrt) und addiert anschließend binär eine 1. Eventuelle Überläufe werden hierbei nicht berücksichtigt (vgl. Kilometerzähler ) = = = = = = = =