Schaltalgebra - logische Schaltungen

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1 Schaltalgebra - logische Schaltungen Bakkalaureatsarbeit im Rahmen des Mathematischen Seminars unter Leitung von Wolfgang Schmid eingereicht von Verena Horak Salzburg, Sommersemester 2003

2 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 2 Aussagenlogik Aussagenlogische Operationen Die Negation Die Konjunktion Die Disjunktion (Adjunktion) Die Implikation (Subjunktion) Die Bijunktion Aussagenlogische Grundbegriffe Normalformen Verknüpfungsbasen Sheffer sche Wahrheitsfunktion { } Nicod sche Wahrheitsfunktion { } Boolsche Algebra 7 4 Schaltnetze Logische Gatter Beispiel: Ein Arithmetisches Schaltnetz Schaltwerke Das R-S-Flip-Flop Das D-Flip-Flop Das J-K-Flip-Flop Binärzähler Anhang 16 1

3 1 Motivation Moderne Technik, ein Fluch oder ein Segen der Gegenwart? Diese Frage wurde besonders seit der rasanten Entwicklung der (Groß-)Rechner und PCs immer öfters gestellt und von vielen klugen Köpfen diskutiert, die Meinungen sind jedoch - vielleicht mehr denn je - sehr zwiespältig. Die einen können sich ein Leben ohne moderne Technik gar nicht vorstellen, die anderen würden die Fortschritte der letzten Jahre und Jahrzehnte am liebsten ungeschehen machen. Dabei wird allerdings oft übersehen, dass die Grundlagen der von vielen so verhassten Computer und anderen elektrischen Geräten der Neuzeit nicht im letzten Jahrhundert zu suchen sind, sondern deren Ursprünge bereits in der Antike und bei bekannten Namen wie Aristoteles liegen. Schlagworte wie Antike und moderne Technik scheinen auf den ersten Blick nichts miteinander zu tun zu haben, doch hat sich schon Aristoteles mit der Wissenschaft der Logik beschäftigt. Lange Zeit tat sich verhältnismäßig wenig im Bereich der Logik, was sich allerdings mit Wissenschaftern wie de Morgan und Boole rasch änderte. George Boole stellte die Logik in einer formelartigen, von der Mathematik abgeleiteten Weise dar, die zwar schon damals anerkannt wurde, aber von der sich kaum einer zu dieser Zeit vorstellen konnte, dass sie je tatsächliche Anwendungen finden würde. Ironie des Schicksals, Mitte des 20. Jahrhunderts waren dann die Forschungen bezüglich des elektrischen Stroms und anderen Gebieten der Physik so weit fortgeschritten, dass sie förmlich nach den über 100 Jahren alten Überlegungen von Boole schrieen. Seither bildet die sogenannte Schaltlogik die Grundlage eines jeden Rechners, ohne die diese wohl nie ihren weltweiten Siegeszug antreten hätten können. Oft beschweren sich Informatikstudenten, dass ein großer Teil ihres Studiums aus Teilen der klassischen Mathematik besteht, den sie aber als nebensächlich oder gar sinnlos bezeichnen, wohingegen Mathematikstudenten oft keinen praktischen Nutzen ihrer theoretischen Überlegungen sehen. Um den Zusammenhang der Informatik und Mathematik zu zeigen, werde ich in dieser Arbeit den Schaltplan eines binären synchronen 4-Bit-Vorwärts-/Rückwärtszählers entwerfen, der sich Schritt für Schritt aus den - in dieser Arbeit angeführten - Überlegungen bekannter Mathematiker, Physiker und letztendlich auch Informatiker ableiten lässt und einen der grundlegenden Bausteine der Elektrotechnik darstellt. Da ich mich auf die zeichnerische Darstellung der Schaltung und nicht um deren tatsächliche Realisierung konzentriere, fehlen in dieser Arbeit sämtliche Theorien, die den elektrotechnischen Aufbau von zb Gattern erklären. Andererseits stelle ich einige Definitionen, Sätze und Überlegungen vor, die die Grundlage für hier nicht angeführte aber sehr wesentliche Elemente der Technik und insbesondere der Informatik darstellen, aber keine direkte Voraussetzung für die Herleitung bzw das Verständnis des Schaltplans sind. 2

4 2 Aussagenlogik Die elementarste Theorie der formalen Logik ist die klassische Aussagenlogik, die die Verknüpfung einfacher Aussagen zu komplexen, zusammengesetzten Aussagen behandelt. Unter Aussagen versteht man in diesem Zusammenhang beschreibende Sätze wie zb George Boole wurde am 1. November 1815 geboren oder Ich studiere in Salzburg, wohingegen Fragen oder Aufforderungen der Alltagssprache nicht dazu gehören. Das Wesentliche an Aussagen ist, dass sie zwei Wahrheitswerte annehmen können, entweder sie sind wahr (W, true) oder falsch (F, false). Um komplexere Aussagen zu erhalten wie zb Wenn die Grundidee der Aussagenlogik und der einfachen elektrischen Bausteine klar ist, ist es sehr einfach den Schaltplan des Zählers zu entwerfen werden die einzelnen Aussagen durch Junktoren, den aussagenlogischen Operationen, verbunden, deren Wahrheitswertetabellen (Wahrheitswertetafeln) dem Anhang zu entnehmen sind. 2.1 Aussagenlogische Operationen Die Negation Das einfachste Beispiel einer aussagenlogischen Operation ist die Negation, die die Wahrheitswerte einer Aussage umkehrt. Ist die Aussage A Das Wetter ist schön gegeben, dann ist die Negation A Das Wetter ist nicht schön Die Konjunktion Die Konjunktion entspricht dem Wort UND im normalen Sprachgebrauch wodurch eine Aussage A B nur dann den Wert wahr erhält, wenn sowohl A als auch B wahr sind Die Disjunktion (Adjunktion) Die Adjunktion wird zwar üblicher Weise mit dem Wort ODER ausgedrückt, entspricht aber nicht dem ODER des normalen Sprachgebrauchs. Bei der Disjunktion A B handelt es sich um ein inklusives ODER, das nur dann falsch ist wenn sowohl A als auch B falsch sind, wohingegen das in der Alltagssprache gebräuchliche ODER ein exklusives ODER ist, das in der Informatik auch als XOR bezeichnet wird. Dieses hat im Gegensatz zum inklusivem ODER die Eigenschaft, auch dann den Wahrheitswert falsch zu haben, wenn sowohl A als auch B wahr sind Die Implikation (Subjunktion) Die Subjunktion A B ist die formale Bezeichnung der häufig vorkommenden Folgerung Wenn A, dann B. Auch wenn das im ersten Augenblick einfach aussehen mag, ergibt sich doch ein gewisses Problem für den Fall dass A falsch und B richtig ist. Man einigte sich darauf, diesen Fall mit dem Wahrheitswert wahr zu belegen, womit eine Implikation also nur falsch ist, wenn eine falsche Aussage auf eine wahre folgt, also A wahr und B falsch ist Die Bijunktion Die Negation des oben erwähnten XORs ist die Bijunktion A B. Diese entspricht in der Umgangssprache einer genau dann wenn -Beziehung und ist folglich nur dann wahr, wenn die Aussagen A und B den gleichen Wahrheitswert aufweisen. 3

5 2.2 Aussagenlogische Grundbegriffe Für die Analyse der Eigenschaften der aussagenlogischen Operationen sind folgende Begriffe wesentlich: Definition 2.1 (Aussageform) Ein aussagenlogischer Ausdruck heißt Aussageform, wenn er einer der beiden folgenden Regeln genügt: 1. Alle Aussagevariablen sind Aussageformen 2. Wenn A und B zwei Aussageformen sind, dann sind auch alle Verknüpfungen von A und B durch aussagenlogische Operatoren Aussageformen Definition 2.2 (Tautologie, allgemeingültig) Eine Aussageform A heißt Tautologie, wenn sie für jede beliebige Bewertung ihrer Variablen immer wahr ist. Man sagt dann: A ist allgemeingültig. Definition 2.3 (Kontradiktion, Widerspruch) Eine Aussageform A heißt Kontradiktion, wenn sie für jede beliebige Bewertung ihrer Variablen immer falsch ist. Man sagt dann: A ist ein Widerspruch. Satz 2.4 A impliziert B d.u.n.d., wenn A B allgemeingültig ist. Beweis: A impliziert B d.u.n.d., wenn mit A notwendig auch B wahr ist. Also: Der Fall, dass A wahr und gleichzeitig B falsch ist, ist ausgeschlossen. Das besagt aber, A B kann nie den Wert F annehmen, dh A B ist allgemeingültig Definition 2.5 (logisch äquivalent) Zwei Aussageformen A und B heißen logisch äquivalent d.u.n.d., wenn jede Variablenbewertung A und B gleichwertig macht. Die Wahrheitswerte von A und B müssen daher in der Wahrheitswertetafel zeilenweise übereinstimmen. Satz 2.6 A und B sind logisch äquivalent d.u.n.d., wenn A B eine Tautologie ist. Beweis: A B ist d.u.n.d. wahr, wenn die Wahrheitwerte von A und B übereinstimmen. Folglich ist A B eine Tautologie d.u.n.d., wenn A und B gleichwertig sind. Satz 2.7 (Ersetzungsregel) Ersetzt man innerhalb einer Aussageform A eine Aussageform B ein- oder mehrmals durch eine zu B äquivalente Form C, so ist die resultierende Aussageform A äquivalent zu A. Beispiele von wichtigen Äquivalenzen - oft auch Rechenregeln genannt - finden sich im Anhang. 2.3 Normalformen Um die systematische Bearbeitung beliebiger Aussageformen insbesondere die von komplizierter Bauart zu erleichtern, ist es üblich, deren Darstellung mit Hilfe von Normalformen zu vereinheitlichen. Hierfür sind folgende Definitionen von grundlegender Bedeutung: Definition 2.8 (Konjunktionsterm) Ein Konjunktionsterm bezeichnet eine Aussageform, die entweder aus einer negierten oder nicht-negierten Variable, oder der Konjunktion zweier oder mehrerer negierter oder nicht-negierter Variablen besteht. 4

6 Definition 2.9 (enthalten) Sind A und B zwei Konjunktionsterme und alle negierten und nicht-negierten Variablen von A kommen auch in B vor, so sagt man A ist in B enthalten Definition 2.10 (Disjunktive Normalform) Eine Aussageform liegt in disjunktiver Normalform (DNF) vor, wenn diese entweder ein Konjunktionsterm, oder die Disjunktion von zwei oder mehreren Konjunktionstermen ist, wobei keiner in einem anderen enthalten sein darf. Definition 2.11 (vollständige DNF, Minterm) Eine DNF heißt vollständig, wenn in jedem Konjunktionsterm jede Aussagevariable der Aussageform vorkommt. Die Konjunktionsterme einer vollständigen DNF heißen Minterme. Mit Hilfe dieser Definitionen kann man folgenden, in der Schaltalgebra eine zentrale Rolle spielenden Satz formulieren: Satz 2.12 Jede nicht-kontradiktorische Aussageform kann auf eine vollständige DNF gebracht werden. Der Begriff (vollständige) konjunktive Normalform kurz KNF lässt sich in dualer Form von der Definition der DNF ableiten wenn man Disjunktion durch Konjunktion ersetzt. In diesem Falle spricht man von einem Maxterm und der obige Satz wird so abgeändert, dass jede nicht-tautologische Aussageform auf eine vollständige KNF gebracht werden kann. Definition 2.13 (Primimplikant) Ein Konjunktionsterm ψ heißt Primimplikant einer Aussageform A d. u. n. d., wenn ψ die Form A logisch impliziert und A durch keinen anderen in ψ enthaltenen Konjunktionsterm impliziert wird. 2.4 Verknüpfungsbasen Nach dem Satz 2.12 und dessen dualer Formulierung für eine vollständige KNF wissen wir, dass man jede Aussageform in Normalform darstellen kann. Nun stellt sich die Frage, welche und wieviele Junktoren man jeweils dafür benötigt. Hierfür definieren wir: Definition 2.14 (Verknüpfungsbasis) Als Verknüpfungsbasis bezeichnen wir die Menge der Junktoren die ausreicht, jede Wahrheitsfunktion als Aussageform darzustellen. Mit Hilfe folgenden Satzes kann man sehr leicht schließen, dass sich eine Verknüpfungsbasis dadurch auszeichnet, dass man durch sie die Junktoren, und darstellen kann. Satz 2.15 Jede Wahrheitsfunktion kann durch eine Aussageform dargestellt werden, in der nur die Verknüpfungen, und auftreten. Im Gebiet der logischen Schaltungen haben zwei Verknüpfungsbasen - die Shefferbasis und die Piercebasis - eine besondere Stellung, da man mit ihnen eine DNF bzw KNF sehr schnell nach Anwendung der Umformungen der doppelten Negation und der DeMorgan schen Regeln (siehe Anhang) in eine Form bringen kann, in der sie mehr oder weniger 1:1 als Schaltplan zu realisieren sind. 5

7 2.4.1 Sheffer sche Wahrheitsfunktion { } Diese Basis entspricht der Negation eines UNDs und wird daher NAND (not and) genannt. Durch diese Eigenschaft eignet sie sich sehr gut zur Darstellung einer DNF. Satz 2.16 Der Sheffer-Stroke ist eine Verknüpfungsbasis. Beweis: Es genügt zu zeigen, dass sich, und durch darstellen lassen. : A = (A A) = A A : A B = (A B) (A B) = ( ((A B) (A B))) = ( (A B) (A B)) = (A B A B) = (A B) (A B) : A B = ( (A B)) = ( A B) = A B = (A A) (B B) Nicod sche Wahrheitsfunktion { } Analog zum NAND gibt es zum ODER das NOR (not or), die Nicod sche- bzw Piercebasis. Es ist naheliegend, dass sich diese Basis anbietet, eine KNF zu realisieren. Satz 2.17 Die Pierce-Basis ist eine Verknüpfungsbasis. Beweis: Wir zeigen, dass, und durch darstellbar sind. : A = (A A) = A A : A B = (A B) (A B) = ( ((A B) (A B))) = ( (A B) (A B)) = ((A B) (A B)) = (A B) (A B) : A B = ( (A B)) = ( A B) = A B = (A A) (B B) Obwohl diese beiden Basen technische Vorteile bringen sollte man jedoch darauf achten, dass die Verwendung eines einzigen Bausteines nicht optimal bezüglich der Anzahl der Bausteine für eine Schaltung sein muss. Des Weiteren gilt: Satz 2.18 Es gibt keine weitere Verknüpfungsbasen mit nur einem Element außer dem Sheffer-Stroke und der Pierce-Basis. Beweis: Sei w(x, y) die Wahrheitsfunktion des logischen Operators #, welcher eine eindeutige einelementige Verknüpfungsbasis sei. Dann muss w(w, W ) = F gelten, denn wenn w(w, W ) = W wäre, dann hätte jede Aussageform den Wert W, wenn beide Variablen mit W bewertet würden, insbesondere w(a, A) = W, wenn A gilt. Auf diese Weise könnte die Negation einer wahren Aussage nicht ausgedrückt werden. Analog folgt w(f, F ) = W. Die Wahrheitstafel für # lautet bis jetzt wie folgt: A B # W W F F W? W F? F F W Es sind 4 Fälle zu unterscheiden: 1. Fall: In der 2. Zeile steht F und in der 3. W. Dann ist A#B B, aber B ist keine Verknüpfungsbasis. 2. Fall: In der 2. Zeile steht W und in der 3. F. Dieser Fall ist völlig analog zum letzten Fall. Es wäre A#B A, Widerspruch. 3. Fall: In der 2. und 3. Zeile der Tafel steht W. Dann entspricht # dem Sheffer- Stroke. 4. Fall: In der 2. und 3. Zeile steht F. Dann entspricht # der Pierce-Basis. 6

8 3 Boolsche Algebra Definition 3.1 (abgeschlossen) Eine n-stellige (n-äre) Operation in einer Menge Y ist jede Funktion f, die jedes n-tupel < (y 1,..., y n ) der Elemente y 1,..., y n von Y mit einem Element f verknüpft. Man sagt auch, dass Y bezüglich f abgeschlossen ist, falls f eine n-stellige Operation ist. Definition 3.2 (Boolsche Algebra) Eine Menge B (Trägermenge) wird als Boolsche Algebra bezeichnet, wenn in ihr zwei binäre Operationen und, eine unäre Operation und zwei spezielle Elemente 0 und 1 existieren, und folgende Axiome gelten: 1. x, y B : x y = y x 2. x, y B : x y = y x 3. x, y, z B : x (y z) = (x y) (x z) 4. x, y, z B : x (y z) = (x y) (x z) 5. x B : x 0 = x 6. x B : x 1 = x 7. x B : x x = 1 8. x B : x x = wobei die Axiome 1 und 2 allgemein als Kommutativgesetze und 3 und 4 als Distributivgesetze bezeichnet werden In der Boolschen Algebra, die durch das Sechstupel (B,,,, 0, 1) gekennzeichnet ist, ist diese Bezeichnungsweise üblich: x y x y x heißt das Produkt von x und y heißt die Summe von x und y heißt Komplement von x 0 heißt Nullelement 1 heißt Einselement. Satz 3.3 (Eindeutigkeit des Komplements) Falls x y = 1 und x y = 0, dann ist y = x Beweis: (i) y = y 0 = y (x x ) = (y x) (y x ) = (x y) (y x ) = 1 (y x ) = (y x ) 1 = y x (ii) x = x 0 = x (x y) = (x x) (x y) = (x x ) (x y) = 1 (x y) = (x y) 1 = x y = y x = y Satz 3.4 (doppelte Verneinung) Für jedes z in B gilt: (z ) = z Beweis: (i) z z = z z = 1 (ii) z z = z z = 0 Durch Ersetzung von x durch z und y durch z, so folgt nach vorherigem Satz z = z, wobei z eine andere Schreibweise von (z ) darstellt. 7

9 Satz 3.5 (Gesetz der Idempotenz) Für jedes x in B gilt: 1. x x = x 2. x x = x Beweis: ad 1.: x = x 1 = x (x x ) = (x x) (x x ) = (x x) 0 = x x ad 2.: x = x 1 = x (x x ) = (x x) (x x ) = (x x) 1 = x x Der folgende Satz beinhaltet oft verwendete Rechenregeln der Boolschen Algebra, die sich sehr schnell durch Anwendung der Axiome beweisen lassen: Satz 3.6 Für alle x, y, z von B gilt: 1. x 0 = 0 2. x 1 = 1 3. x (x y) = x 4. x (x y) = x 5. (y x = z x & y x = z x ) y = z 6. x (y z) = (x y) z 7. x (y z) = (x y) z 8. (x y) = x y 9. (x y) = x y 10. x y = (x y ) 11. x y = (x y ) 12. x y = 0 x y = x = = x (x y) = x y 16. x (x y) = x y Die Punkte 3 und 4 des obigen Satzes nennt man Absorptionsgesetze, 6 und 7 Assoziativgesetze und 8 und 9 demorgan sche Regeln. In den weiteren Kapiteln werde ich gemäß der üblichen Bezeichnungsweise x y als x + y, x x als x y oder kurz xy und x als x anschreiben. Dies hat den Vorteil, dass man mit den gegebenen Ausdrücken mit Ausnahme des zweiten Distributivgesetztes nach der bekannten Regel: Punkt vor Strich, Klammern zuerst vorgehen kann. 8

10 4 Schaltnetze Um von den bis jetzt formal betrachteten Aussageformen und den davon abgeleiteten Wahrheitsfunktionen zu einer logischen Realisierung - der graphischen Darstellung der Boolschen Funktionen (Schaltfunktionen) - zu gelangen, bedarf es nur noch eines kleinen Schrittes. Unter einer Schaltfunktion versteht man eine Abbildung der Form f : B n B m wobei die Menge B aus den boolschen Elementen 0 und 1 besteht und n Eingänge auf m Ausgänge abgebildet werden. Die graphische Darstellung einer solchen Schaltfunktion die man Schaltnetz nennt besteht aus einem gerichteten Graphen, dessen Knoten sich aus logischen Bausteinen zusammensetzt. Ein Eingang ist eine Kante, an die ein logisches Signal (0 oder 1) angelegt wird und am Ausgang, der ebenso eine Kante ist, ein logisches Signal als Resultat liefert. Die Signale 0 und 1 werden so umgesetzt, dass bei einer 1 der Strom fliesst und bei einer 0 kein Strom ist. Das wichtigste Element jeder logischen Schaltung ist ein sogenannter Schalter, der die boolschen Elemente als Schalter geschlossen bzw Schalter geöffnet realisiert, wobei es für unsere Zwecke egal ist, wie dieser technisch umgesetzt wird. Typische Beispiele für Schalter sind: Ventil, Relais, Transistor Logische Gatter Um ein aussagelogisches UND darzustellen, könnte man zwei Schalter seriell dh hintereinander platzieren wodurch intuitiv klar wird, dass am Ausgang nur dann eine 1 steht (Strom fliesst), wenn beide Schalter geschlossen sind. Ein ODER hingegen kann durch eine parallele Anordnung zweier Schalter erreicht werden, wobei ebenso offensichtlich ist, dass für eine 1 mindestens ein Schalter geschlossen sein muss. Zur Vereinfachung der Darstellung solcher Junktoren benutzt man entsprechende Symbole, die allgemein als logische Gatter bezeichnet werden. Hier der Reihenfolge nach in der oberen Reihe das Gatter der Konjunktion, Disjunktion und Negation und darunter NAND, NOR und XOR. Die Beschriftung der Gatter ist nicht willkürlich sondern mit Bedacht gewählt. Das UND -Gatter erkennt man sehr leicht an dem kaufmännischen UND, wohingegen die anderen Gatter im ersten Moment nicht so einsichtig erscheinen. Wenn man sich vor Augen hält, dass bei einem ODER mindestens ein Schalter geschlossen sein muss, macht das Sinn. Bei der Negation wird die Sache schon etwas komplizierter, da man zwei Überlegungen anstellen muss: 1. Wenn man eine Schaltung mit nur einem Schalter hat, der aber immer geschlossen ist, entspricht der Ausgang immer dem Eingang. Oder anders ausgedrückt, der Ausgang ist nur 1 wenn der Eingang auch 1 ist. Für dieses in der Mathematik gern als neutrales Element bezeichnete Gatter, das man im Grunde auch weglassen kann, schreibt man einen 1er da dieses Element auch oft als Einselement bezeichnet wird. 9

11 2. In der boolschen Algebra gibt es nur die beiden Elemente 0 und 1. Mit dem oben beschriebenen Gatter hat man sogesehen die Identitätsfunktion gefunden, die den Ausgang gleich dem Eingang setzt. Jetzt möchte man noch eine Funktion, die genau das Gegenteil tut, dh den Ausgang dem invertierten Eingang setzt, was der aussagenlogischen Negation entspricht. Hierfür wird das obige Gatter mit einem Kreis am Ausgang versehen. Die gleiche Vorgehensweise hat man bei den Gattern für NAND und NOR, wo man jeweils für die Negation einen Kreis an das UND- bzw ODER-Gatter hängt. Ein wenig interessanter ist das Gatter des XORs mit der Aufschrift = 1. Ein XOR ist nur dann 1, wenn genau einer der Eingänge 1 ist. Sind es mehr oder weniger ergibt es den Ausgang Beispiel: Ein Arithmetisches Schaltnetz Ein oft verwendetes Wort für Computer ist Rechner was gleichbedeutend ist mit es wird gerechnet. In erster Linie handelt es sich bei diesen Rechnungen um die Addition und die Multiplikation. Zum Beispiel ist eine Subtraktion nicht notwendig, da man sie durch die Addition ersetzen kann, wenn man das Komplement der zweiten Zahl entsprechend der verwendeten Basis bildet. Da also die Addition eine wichtige Rolle in der Informatik spielt, werde ich an dieser Stelle am Beispiel Halbaddierer erklären, wie man von einer Wahrheitstabelle zu einem Schaltnetz kommt. Ein Halbaddierer hat die Aufgabe zwei Eingänge zu addieren. Wenn man zwei einstellige Dezimalzahlen addiert kann es sein, dass das Ergebnis 2-stellig ist dh einen Übertrag an die nächste Stelle hat wie zb bei = 12. Das gleiche passiert auch bei sogenannten Einbitzahlen, also einstelligen Zahlen im Binärsystem. Im ersten Schritt wird die Wahrheitstabelle des Halbaddierers erstellt. Dabei geht man so vor, dass alle möglichen Belegungen der beiden Eingänge x 1 und x 2 betrachtet werden und dann die beiden binär addiert werden. Dabei erhält man eine Summe s und einen zweiten Ausgang für den Übertrag c (carry) und hat folgendes Ergebnis: x 1 x 2 s c Aus dieser Wahrheitstabelle soll nun eine DNF abgelesen werden. Dabei geht man so vor, dass man für den gewünschten Ausgang jeweils die Zeilen sucht, in der eine 1 steht. Von dieser Zeile schreibt man alle mit 1 belegten Eingänge nicht-negiert und alle mit 0 belegten Eingänge in negierter Form zu einem Konjunktionsterm. Der Konjunktionsterm der nächsten Zeile wird dann durch die Disjunktion an das bisherige Ergebnis angefügt. Mit diesem Schema erhält man in unserem Fall für die Summe und den Übertrag folgende DNF: s = x 1 x 2 + x 1 x 2 c = x 1 x 2 Benötigt man eine KNF geht man analog vor, wobei man jedoch nur die Zeilen mit dem Ausgang 0 betrachtet, die Eingänge mit 0 nicht-negiert nimmt und dafür die mit 1 negiert und jeweils Konjunktion und Disjunktion vertauscht. Dabei sollte 10

12 man nicht vergessen, dass die gebildeten Disjunktionsterme geklammert werden müssen. Wenn man dann die entsprechenden DNF bzw KNF hat, muss man nur noch die entsprechende Schaltung mit den gewünschten Gattern bilden. Nehmen wir an, wir hätten nur AND, OR und NOT-Gatter zur Verfügung, würde das Ergebnis so aussehen: Was bei dieser Graphik auffällt, sind die 4 schwarzen Punkte gleich neben der Beschriftung der beiden Eingänge, die eine direkte Verbindung mit der entsprechenden Leitung darstellen. Dies kann man sich so vorstellen, dass jede zeichnerische Kreuzung von 2 Leitungen mit so einem Punkt 2 miteinander verlötete Drähte darstellen wohingegen eine Kreuzung ohne diese Punkte zwei isolierte Drähte sind, die nur zeichnerisch an dieser Stelle den Weg kreuzen. Da bei einer eigentlichen Addition nicht nur zwei sondern drei Einbitzahlen zu berücksichtigen sind, wird dieser Addierer, der keinen Übertrag von einer evtl. vorhergegangenen Addition entgegennimmt, Halbaddierer genannt. Um korrekt zu addieren, wird ein sogenannter Volladdierer verwendet, der sich wie man in folgender Abbildung leicht erkennen kann, durch die Zusammensetzung zweier Halbaddierer (HA) realisieren lässt. Wie aus der Abbildung ersichtlich wird zuerst die Summe von x 1 und x 2 berechnet und im zweiten Halbaddierer mit x 3 addiert, wodurch man den Ausgang s erhält. Für den Übertrag c müssen noch die beiden c-leitungen der Halbaddierer betrachtet werden. Ist mind. eines der beiden c = 1 so ist der gesamte c-ausgang 1, was man durch ein ODER-Gatter erreicht. 11

13 5 Schaltwerke Bei den bisher betrachteten Schaltnetzen sind die Informationen (Bitfolgen) ausschließlich in einer Richtung verarbeitet worden, wobei identische Signale an den Eingängen einer Schaltung immer dieselben Zwischen- und Ausgangswerte geliefert haben. In der Praxis benötigt man jedoch dynamischere Systeme, die ihre Aktionen entsprechend gewissen Voraussetzungen ändern wie zb eine Parkplatzschranke, die kein Fahrzeug mehr hinein lässt wenn der Parkplatz voll ist. Um dies zu erreichen benötigt die Schaltung Auskunft darüber, was die letzte Aktion bewirkt hat, was man Rückkopplung oder Feedback nennt. Oder anders ausgedrückt, der Schranken muss sich erinnern können. Technisch gesehen müssen die Informationen gespeichert und die Eingänge eines Schaltnetzes von dessen Ausgängen beeinflusst werden. Ein derartiges Schaltnetz mit Rückkopplung heisst Schaltwerk. 5.1 Das R-S-Flip-Flop Das einfachste Bauelement das Informationen speichert ist das R-S-Flip-Flop. Es stellt einen Ein-Bit-Speicher da, dessen Inhalt man schreiben oder (unverändert) lesen kann. Der Name dieses Bausteins leitet sich von den beiden Eingängen R und S ab, wobei R für reset und S für set steht. Wie man in obiger Abbildung erkennen kann, werden die Ausgänge mit den Eingängen rückgekoppelt, was die Analyse der Schaltung erschwert. Eine wesentliche Überlegung dabei ist, dass eine 0 am Eingang eines NANDs am Ausgang eine 1 erzwingt was bei uns bedeutet, dass einem R = 0 ein Q = 1 folgt. Ist S = 1 ergibt sich Q = 0. Vertauscht man R und S in diesem Fall, vertauschen auch Q und Q ihre Werte womit man die Ausgänge entsprechend beschrieben hat. Den speichernden Zustand erreicht man, wenn man R = S = 1 setzt wobei Q und Q ihre Werte behalten. Hingegen ergibt sich ein Problem wenn R = S = 0 ist, was zur Folge hat dass sowohl Q als auch Q auf 0 gesetzt werden. Da Q den zu Q komplementären Wert haben sollte und bei Übergang auf R = S = 1 einen instabilen Zustand (gekennzeichnet mit * ) bedingt, wird dieser Fall üblicherweise vermieden. Daraus ergibt sich folgende Transitionstabelle wobei Q(t) den Ausgang vorher repräsentiert und Q(t + t) den Ausgang nach der Änderung von R und S wiedergibt. R S Q(t) Q(t + t) * *

14 Für die darauf aufbauenden Flip-Flops reicht es, wenn man sich in Erinnerung hält, dass S = R ein vom Ausgangszustand unabhängiges Setzen von Q = S bewirkt, wohingegen der Ausgang bei R = S = 1 gespeichert wird. 5.2 Das D-Flip-Flop Der Nachteil des einfachen R-S-Flip-Flop ist, dass jede Änderung von R und S den Zustand von Q verändert. Da man jedoch in den meisten Fällen nur zu gewissen Zeitpunkten lesen oder schreiben möchte, braucht man einen Taktgeber, der das Flip-Flop steuert. Wie aus obiger Abbildung leicht ersichtlich ist, wird das R-S-Flip-Flop um eine kleine Zusatzschaltung erweitert. Der Eingang D steht dabei für Datum, von dem dieses Flip-Flop auch einen seiner Namen hat. Ein anderer weit verbreiteter Name ist Latch oder auch Auffang-Flip-Flop, da es den Wert von D nur auffängt, wenn der Takt T den Zustand 1 annimmt. Ist der Takt T = 0 wird durch die Zusatzschaltung R = S = 1 gesetzt und der Ausgang Q bleibt unverändert, dh das Flip-Flop ist in Speicherstellung. Ist der Takt jedoch 1 gelten für die Ausgänge die gleichen Regeln wie für das R-S-Flip-Flop, wobei hier der instabile Zustand der durch R = S = 0 entsteht schon ausgeschlossen wird. Um zu erreichen, dass der Speicher nur zu exakt definierten Zeitpunkten beschrieben werden kann, werden zwei D-Flip-Flops hintereinander geschaltet, wie hier dargestellt: Diese Konstruktion wird Master-Slave-Schaltung genannt, wobei der nachgeschaltete Slave den Ausgang des vorgeschaltenen Masters nur zu einem gewissen Zeitpunkt übernehmen kann. Gehen wir davon aus, dass der Master sich im sogenannten Speicherzustand befindet, dh der Takt ist auf 0. Wechselt der Takt auf 1 wird das Datum vom Master übernommen, wohingegen sich der Slave durch den invertierten Takt nun in Speicherstellung befindet, wodurch der Ausgang Q unverändert bleibt. Dieser Zustand hat den Vorteil, dass sich der Ausgang vom Master beliebig ändern kann ohne dass der Slave und somit der Ausgang Q verändert wird. Geht der Takt wieder auf 0 zurück wird der Master wieder in den Speicherzustand gesetzt, wohingegen der Slave bedingt durch die Invertierung des Taktes nun den Ausgang des Masters übernimmt. 13

15 5.3 Das J-K-Flip-Flop Mit der Master-Slave-Schaltung des D-Flip-Flops ist es möglich, die Werte zu exakten Zeitpunkten zu setzen, zurück zu setzen und zu speichern. In vielen Fällen ist es jedoch wünschenswert eine Funktion zu haben, mit der der Ausgang der Schaltung invertiert wird. In Zusammenhang mit Bits nennt man das Vertauschen von 0 und 1 kippen bzw toggle. Um dieses Verhalten zu erreichen, wird der Slave-Ausgang Q auf den Master- Eingang K und Q auf J rückgekoppelt, wodurch am Master R = JQ und S = KQ anliegt. Graphisch realisiert erhält man dann diese Schaltung: Man kann sich relativ leicht folgende Transitionstabelle für das J-K-Flip-Flop herleiten: J K Q(t + t) 0 0 Q(t) Q(t) Wenn man eine Schaltung entwirft ist es jedoch meist sinnvoller, Übergangstabellen anzufertigen. Dabei geht man so vor, dass man sich überlegt, welchen Eingang man hat und welchen Ausgang man erzielen will. Beabsichtigt man zb von 0 auf 1 zu kommen, gibt es zwei Möglichkeiten dies zu erreichen: 1. Man erzwingt den Ausgang 1 dadurch, dass man J = 1 und K = 0 setzt oder 2. man verwendet die Funktion des Kippens und setzt J = K = 1 Bei näherer Betrachtung dieser beiden Möglichkeiten fällt auf, dass J in beiden Fällen 1 ist, wohingegen K entweder 0 oder 1 sein kann. Da es nur diese beiden Werte gibt kann man es auch so zusammenfassen, dass J = 1 sein muss, wohingegen K einen beliebigen Wert X annehmen kann. Analog für die anderen Übergänge erhält man also: Übergang J K X X 1 0 X X 0 Um die Schaltung übersichtlich zu halten, wird normalerweise für X der Wert des vorgegebenen Werts des anderen Eingangs genommen. 14

16 5.4 Binärzähler Wieder zu dem Beispiel mit der Parkschranke zurückkehrend nehmen wir an, es gäbe einen Parkplatz für 16 Fahrzeuge. Da also nur maximal 16 Autos gleichzeitig dort parken können, muss die Schaltung verhindern, dass ein 17. Auto einfährt. Um dies zu erreichen, muss die Schaltung zählen wieviele Fahrzeuge sich bereits auf dem Parkplatz befinden, dh sie zählt für jedes einfahrende Fahrzeug eine Zahl zum bisherigen Stand hinzu bzw für ausfahrende Autos eine Zahl weg. Diese Konstruktion nennt man in der Fachsprache einen Vorwärts-Rückwärts-Zähler, der in unserem Fall 4 Bits hat und für den 4 Ausgänge dh 4 J-K-Flip-Flops benötigt werden. Um diese Schaltung zu realisieren, braucht man zuerst eine entsprechende Transitionstabelle für 16 Zahlen. Da im Binär-System gearbeitet wird, zählen wir um die Schaltung minimal zu halten von 0000 bis 1111, was den Werten 0 bis 15 entspricht, also insgesamt 16 Plätze. Weiters nummerieren wir die Ausgänge so, dass die am weitesten rechts stehende Stelle dem Q 0 und die am weitesten links stehende Q 3 entspricht. Dann geht man immer so vor, dass man sich für jede einzelne Stelle den Übergang überlegt. Will man zb von 0000 auf 0001 kommen, muss der Eingang J 0 auf 1 gesetzt werden, wohingegen alle anderen Ausgänge gleich bleiben sollen dh J x = 0. Die vollständige Tabelle für die Vorwärtszählung sieht dann so aus: t Q Q Q Q J 0 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X K 0 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 J X X 0 1 X X 0 1 X X 0 1 X X K 1 X X 0 1 X X 0 1 X X 0 1 X X 0 1 J X X X X X X X X K 2 X X X X X X X X J X X X X X X X X J 3 X X X X X X X X Man kann sich für den Rückwärtsteil die Tabelle analog anschreiben, jedoch erspart man sich viel Arbeit wenn man berücksichtigt, dass jeweils die zwei Binärzahlen, die in Summe 15 ergeben, das Komplement der anderen Zahl ist. ZB entspricht und , oder und Durch diese Tatsache kann man die gleiche Tabelle verwenden, nur muss man beachten, dass man an Stelle der Q x immer das Komplement Q x nehmen muss. Des Weiteren wird eine sogenannte Select-Leitung S benötigt, die bei 1 vorwärts zählt und bei 0 rückwärts. Das Endergebnis sieht dann so aus: 15

17 6 Anhang A W F A F W Tabelle 1: Die Negation (der einzige unäre Operator) A B A B A B A = B A B W W W W W W W F F W F F F W F W W F F F F F W W Tabelle 2: Kon-, Dis-, Sub- und Bijunktion A B A B A B A B W W F F F W F W F W F W W F W F F W W F Tabelle 3: NAND, NOR und XOR Beispiele von wichtigen Äquivalenzen: DeMorgan sche Regeln: (A B) A B) (A B) A B) Idempotenz: (A A) A (A A) A doppelte Negation: A A 16

18 Literatur [1] Dworatschek, S.: Schaltalgebra und digitale Grundschaltungen.. Gruyter, Berlin (1970) [2] Mayer, H.: Digitale Rechenanlagen. Vorlesungsunterlagen WS 01/02 Version 0.2, Institut für Computerwissenschaften, Universität Salzburg (2001) [3] Mendelson, E.: Boolsche Algebra und Logische Schaltungen. Schaum s Outline. McGraw-Hill, Hamburg (1982) [4] Volkert, J.: Digitale Rechenanlagen. Vorlesungsunterlagen, Institut für Technische Informatik und Telematik, Universität Linz (1999) 17