1. Einführung. Umwelt-Campus Birkenfeld Numerische Mathematik

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1 . Einführung Die numerische Mathematik, kur Numerik genannt, beschäftigt sich als Teilgebiet der Mathematik mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen für technisch-naturwissenschaftliche Probleme.. Einführung aus: Wikipedia Schon in der Antike wurden Probleme behandelt, die nur näherungsweise gelöst werden konnten, wie die Abschätung der Kreisahl π mit Hilfe der Kantenlänge von ein- und umschriebene Vielecke durch Archimedes (87 v. Chr..

2 Viele numerische Verfahren wurden entwickelt, um theoretische Ansäte praktisch nuten u können,. B. der von Johann Carl Friedrich Gauß ( entwickelte Algorithmus ur Lösung linearer Gleichungssysteme oder die Gauß schen Quadraturformeln (numerische Integrationsverfahren. Bis in die Neueit war die Anwendung dieser Verfahren ein mühsames Geschäft und nur Speialisten vorbehalten,. B. das Lösen von Gleichungen mit mehreren Hundert Unbekannten nur mit Hilfe von Papier und Bleistift oder später mit Unterstütung einfacher mechanischer Rechenmaschinen. Im Zeitalter der Computer-Technik haben jedoch numerische Verfahren dramatisch an Bedeutung gewonnen. Heututage sind numerische Verfahren, in jedem technischen oder wissenschaftlichen Bereich präsent, beispielsweise Crashsimulationen Strömungs- und Temperaturfeldberechnung Wetter- und Klimamodelle Operation Research usw.. Einführung

3 Andere Themen der Numerik sind das Suchen numerischer Lösungen von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, Integralgleichungen, Approximationsproblemen für Funktionen, Kurven und Flächen Eigenwert- und Verweigungsproblemen sowie Lineare und nichtlineare Optimierungsaufgaben Trot dieser unterschiedlichen Anwendungsgebiete treten in der Numerik immer wieder ähnliche mathematische und algorithmische Probleme auf: Berechnung von Nullstellen, Lösung linearer Gleichungssysteme, Polynominterpolation und Regression Trigonometrische Approximation (Fourieranalyse Die Vorlesung befasst sich vor allem diesen elementaren Bausteinen der Numerik, deren Ursprünge meist noch in der Vor-Computer-Zeit liegen.. Einführung 3

4 . Fehleranalyse Zur numerischen Lösung eines Problems der Praxis gehört unbedingt auch eine Information über den dabei gemachten Fehler, um das Resultat richtig einschäten u können. Der Gesamtfehler sett sich usammen aus den Modellfehlern : Idealisierungsfehler: Zur Beschreibung eines physikalischen Sachverhalts wird ein mathematisches Modell gebildet. Bei der mathematischen Formulierung müssen Vereinfachungen (.B. Linearisierungen vorgenommen werden. Datenfehler: Die Daten eines mathematischen Modells (.B. Koeffiienten einer Differentialgleichung sind aufgrund ungenauer Kenntnis von Materialeigenschaften notwendig mit Fehlern behaftet. Modellfehler sind war grundsätlich vermeidbar, stellen aber in der Praxis meist die größten Unsicherheiten dar. Man versucht, den Einfluss von Modellfehlern durch Grenwertbetrachtungen oder Senarien abuschäten.. Einführung 4

5 und den Numerischen Fehlern : Diskretisierungsfehler: Kontinuierliche Proesse werden durch endliche ersett Abbruchfehler: Unendliche Algorithmen werden nach endlich vielen Schritten abgebrochen Rundungsfehler: Auf der Rechenanlage müssen alle Rechnungen auf einem endlichen Zahlbereich durchgeführt werden Numerische Fehler sind unvermeidbar, da nur mit endlicher Genauigkeit und einer endlichen Anahl von Schritten gerechnet werden kann. Die numerische Lösung eines mathematischen Modells stellt somit nur mehr oder weniger gute Näherung der Wirklichkeit dar. Die Genauigkeit eines Modells wird durch alle Fehlerquellen beeinflusst. Eine numerische Lösung sollte daher nach Möglichkeit mit einer Fehlerabschätung versehen sein.. Einführung 5

6 . Fehlergrößen Ein numerisches Verfahren liefert i. allg. anstelle der gesuchten Lösung x eine Näherung x. Der Differenbetrag x x ρ wird als absoluter Fehler mit der Fehlerschranke ρ beeichnet. Der absolute Fehler sagt wenig über die Güte der Berechnung aus,. B. mag ein Fehler von 00 km beim Messen der Entfernung Erde-Mond als klein angesehen werden, während derselbe Fehler beogen auf die Entfernung Heidelberg- Paris sicherlich als groß anusehen ist. Eine bessere Aussagekraft besitt der relative Fehler x x δ x mit der relativen Fehlerschranke. Der relative Fehler ist dimensionslos.. Einführung 6

7 .3 Darstellung von Zahlen Jede Zahl IR kann beüglich einer Basis b IN durch eine Folge von Ziffern dargestellt werden ( a b n n a n n 0 b... ab a0b mb mb... mit den Koeffiienten a k, m k {0,,..., b n-. Unter Verwendung von Summeneichen lässt sich kürer schreiben n k k akb mkb k 0 k Wird wischen a 0 und m ein Komma gesett, ist der Exponent der Basis durch seine Position im Klammerausdruck festgelegt. Somit lässt sich jede Zahl auch unter Weglassung der Basis eindeutig angeben: anan... aa0, mm... wobei n die Anahl der Vorkommastellen a k wiedergibt und m k die Nachkommastellen sind.. Einführung 7

8 Als Basis b eines Zahlensystems kann jede beliebige natürliche Zahl verwendet werden. Die heute am meisten verwendeten Zahlensysteme sind Binärsystem (b Oktalsystem (b8 Deimalsystem (b0 Hexadeimalsystem (b6 Beispiel: Zahlensysteme 0 Deimalsystem: , Binärsystem: (deimal Hexadeimalsystem: 3 0 5A9F 5 6 A F (deimal Einführung 8

9 Einer Zahl mit endlich vielen Vorkomma- und Nachkommastellen wird als Festkommaahl beeichnet. ( a a... aa0, mm n... m n r Sie hat den Nachteil, dass der Bereich darstellbarer Zahlen eingeschränkt ist. Jede Festkommaahl kann jedoch durch Multiplikation der Basis b mit einem geeigneten Exponenten e auf beliebige Zahlenbereiche skaliert werden.... m b ( anan... aa0, mm r e Wird der Exponent e so gewählt, dass für eine beliebige Zahl die Vorkommastellen verschwinden, erhält man die normierte Gleitkommadarstellung 0, m m... m r b ( mit der Mantisse m IR und dem Exponenten e IN. Hierbei ist r die Anahl der tragenden Ziffern. Für 0 ist die Darstellung durch die Normierungsvorschrift m 0 eindeutig bestimmt, für 0 wird m 0 gesett. e e m b. Einführung 9

10 Auf dem Rechner stehen für die Darstellung von reellen Zahlen nur endlich viele Stellen ur Verfügung: r Ziffern Voreichen für die Mantisse s Ziffern Voreichen für den Exponenten. Die Speicherung einer solchen Zahl erfolgt dann in der Form : ( mm... m ( e e... e0 r s s Aus technischen Gründen verwenden moderne Rechner eine Zahldarstellung mit den Basen b (Dualsystem oder b 6 (Hexadeimalsystem oder Mischungen davon. Die in der obigen Form auf einem Rechner dargestellten (rationalen Zahlen werden Maschinenahlen genannt Bemerkung: Beim sog. IEEE-Format (üblich auf UNIX-Workstations werden ur Darstellung von doppelt genauen Zahlen (REAL*8 in FORTRAN 64 Bits (8 Bytes verwendet. Dabei stehen Bit für das Voreichen, 5 Bits für die Mantisse und Bits für den Exponenten ur Verfügung. Damit lässt sich folgender Zahlenbereich abbilden: 04 (, (, 0-308, 0, 0 (, (, Einführung 0

11 .4 Runden von Zahlen Da nur mit endlicher Genauigkeit gerechnet werden kann, sind in der Regel die Ergebnisse von Rechenoperationen auf die u Verfügung stehenden Stellen u runden. Besitt eine Zahl ( anan... aa0, mm... mrmr... b mehr als r Nachkommastellen, so wird die Näherung mit r Nachkommastellen durch Rundung mathematisch korrekt ugeordnet, wenn e... m b ( anan... aa0, mm r e [ a a... a a, m m... m b ] b ( n n 0 r r e für m r < b / für b / m r mit der Basis b gilt. Ist m r b/ und alle folgenden Ziffern m r... 0, wird so gerundet, dass m r gerade ist (statistisch korrekte Rundung.. Einführung

12 Beispiel: Rundung auf Nachkommastellen 0 8,673, 5876, ,6 (,5 0 0,5 0,750,8 68,450 68,4 Für den relative Rundungsfehler gilt b r δ b r,3 Die Schranke wird auch als relative Darstellungsgenauigkeit beeichnet. Sie hängt nur von der Anahl r der tragenden Stellen und der Basis b ab. Bemerkung: Beim IEEE-Format mit r 5 Bit Mantisse und b ergibt sich daraus die relative Computergenauigkeit δ r 5 6 b, 0. Einführung

13 .5 Kondition Die Kondition eines numerischen Problems gibt an, wie empfindlich die Lösung von der Genauigkeit der Eingabedaten abhängt, d. h. wie sich eine Störung auf das Ergebnis x auswirkt. Die Bestimmung des sog. Fortpflanungsfehlers ist Gegenstand der Fehleranalysis und für komplexe Modelle oftmals aufwändig oder gar nicht möglich. Im folgenden werden daher die Fortpflanungsfehler nur für die Grundrechenarten vereinfacht hergeleitet. Sind die reellen Zahlen und mit den Fehlern und behaftet, so gilt ( Daraus folgt für das fehlerbehaftete Ergebnis x f (, ( x x x (. Einführung 3

14 Multiplikation: x x ( Division: ( x x ( ( Daraus folgt Durch Koeffiientenvergleich folgt die Abschätung für den Gesamtfehler Die Multiplikation ist gut konditioniert, da der Gesamtfehler maximal durch die Summe der Einelfehler begrent wird. und somit ebenfalls 0 ( ( ( x ( (. Einführung 4

15 5. Einführung Addition/Subtraktion: ( x x Koeffiientenvergleich: Der Gesamtfehler wird nur dann durch die Summe der Einelfehler und begrent, wenn die Verstärkungsfaktoren R und R sind. Strebt hingegen der Nenner bw.. gegen Null, wächst der Gesamtfehler über alle Maßen. Dies ist immer dann der Fall, wenn Differenen ähnlich großer Zahlen auftreten (Auslöschung, die Operation ist dann schlecht konditioniert. Algorithmen sollten so konipiert sein, dass Auslöschungen möglichst vermieden werden. ( ( R R ( ( ( ( (

16 Beispiel: Differen ähnlich großer Zahlen bei Rundung auf Stellen,5876, x,5876,4450 0, , 6,4 x,6,4 0,0 Relative Fehler:,6,5876, 0,6,4,445 3,8 0,4 x x x 0,045 0,0 0,045 3,8 0 Der Gesamtfehler ist um den Faktor 000 größer als der größte Einelfehler! 4 4. Einführung 6