5.5. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen

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1 .. Abituraufgaben zu ganzrationalen Funktionen Aufgabe : Kurvendiskussion, Fläche zwischen zwei Schaubildern () Untersuchen Sie f(x) x x und g(x) x auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrempunkts sowie gemeinsame Punkte. Skizzieren Sie die beiden Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von f und g eingeschlossen wird. Symmetrie: f und g sind symmetrisch zur y-achse, da f( x) f(x) und g( x) g(x) () f(x) x (x )(x + ) S fx ( ) (doppelt, daher Berührpunkt ohne VZW) und S fx/ (± ) () g(x) (x )(x + ) S gx/(± ) und S gy ( ) (Scheitelpunkt Tiefpunkt) () Ableitungen: f (x) x x x(x ) und f (x) 6x () Tiefpunkte (f (x) und f (x) > ): T f/ (± ) () Gemeinsame Punkte: f(x) g(x) x x + (x )(x ) () S fg/ (± ) und S fg/(± ) () Flächeninhalt A (f (x) g(x))dx + (g(x) f (x))dx () (x x + )dx + ( x + x )dx x x + x + + x x x + + FE () Beschriftete Skizze () Aufgabe : Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten () a) Untersuchen Sie das Schaubild von f(x) x x + auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten. (: t / x ± ) Skizzieren Sie die Schaubilder von f und ihren Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich. b) Berechnen Sie den Inhalte der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und dem Schaubild von f eingeschlossen wird. a) Symmetrie: f(x) f( x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-achse) () Achsenschnittpunkte: x S y ( ), () y mit Substitution z x und p-q-formel S x/ (± ), S x// (± ) () Ableitungen: f'(x) x 6x und f''(x) 6x 6 () Hoch- und Tiefpunkte: f'(x) und f''(x) H( ) und T/ (± ) () Wendepunkte: f''(x) mit VZW bzw. f'''(x) W / (± ) () Wendetangenten: t / (x) x ± () Schaubildskizze () b) A (t (x) f (x))dx ( x + x x + )dx () x + x x + x 6 FE () ()

2 Aufgabe : Kurvenuntersuchung, Integration, Tangenten () a) Untersuchen Sie das Schaubild von f(x) x + x auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Bestimmen Sie die Gleichungen der Wendetangenten. (: t / x ± ) Skizzieren Sie die Schaubilder von f und ihren Wendetangenten mit Hilfe dieser Punkte in einem passenden Bereich. b) Berechnen Sie den Inhalte der Fläche, die von den beiden Wendetangenten und dem Schaubild von f eingeschlossen wird. a) Symmetrie: f(x) f( x) (gerade Funktion, Symmetrie zur y-achse) () Achsenschnittpunkte: x S y ( ), () y mit Substitution z x und p-q-formel S x/ (± ), S x// (± ) () Ableitungen: f'(x) x + x und f''(x) x + () Hoch-und Tiefpunkte: f'(x) und f''(x) H( ) und T/ (± ) () Wendepunkte: f''(x) mit VZW bzw. f'''(x) W / (± ) () Wendetangenten: t / (x) x ± () Schaubildskizze () b) A (f (x) t (x))dx ( x + x x + )dx () x + x x + x FE () Aufgabe : Kurvenuntersuchung, Extremwertaufgabe, Integration (Matura ) () a) Untersuche die Polynomfunktion f(x) x x + auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- sowie Wendepunkte. Stelle die Funktion in einem Koordinatensystem mit allen wesentlichen Punkten dar. () b) Berechne den Inhalt des endlichen Flächenstücks A, das durch den Funktionsgraphen und die x-achse begrenzt wird. () c) In den Zwischenraum A soll ein Rechteck maximaler Fläche eingeschrieben werden. Bestimme dessen Seitenlängen. (9) d) Wieviel Prozent des gesamten Zwischenraums A nimmt das Rechteck aus c) ein? () en: a) f ist symmetrisch zur y-achse, da f( x) f(x) () Schnittpunkt mit y-achse S y ( ) () f(x) (x ) (x + ) T / (± ) () (doppelte Nullstellen Berührpunkte und insbesondere Tiefpunkte, da f(x) > für alle x, siehe unten) Ableitungen: f (x) x x x(x + )(x ), f (x) x und f (x) 6x () Hochpunkt H( ), da f () und f () < oder mit VZW von + nach () Tiefpunkte T / (± ), da f (±) und f (±) > oder wie oben oder mit VZW () Wendepunkte W / (± 6 9 ), da f (± ) und f (± ) oder mit VZW () Beschriftete Skizze ()

3 b) Der Flächeninhalt des gesamten Zwischenraums ist A f (x)dx x x + x ( 6 + ) FE. () c) Das Rechteck mit den Eckpunkten A( u ), B(u ), C(u f)u) und D( u f( u) mit u () Flächeninhalt A(u) u f(u) u u + u mit A (u) u 6u + (u u + 6 ) () A (u) für u ± u I ± und u I ±. () u und u sind negativ und liegen ausserhalb des betrachteten Bereiches. () In u wird die Fläche minimal mit A() () Das absolute und relative Maximum muss also bei u Das Rechteck hat die Seitenlängen und 6 d) Der Flächeninhalt dieses Rechtecks ist A Der Anteil von A beträgt A : A A A liegen mit f( ) 6 (). () FE. (),67 % () Aufgabe : Symmetrienachweis durch Verschiebung, Extremwertaufgabe, Integration () Gegeben ist die Funktion f durch f(x) x x + x + mit x. Das Schaubild von f ist K. a) Untersuchen Sie K auf Schnittpunkte mit den Achsen, Hoch-, Tief- und Wendpunkte. Geben Sie die Koordinaten der Hoch und Tiefpunkte auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet an. Zeichnen Sie K für, x, mit LE cm. () b) Zeigen Sie durch eine geeignete Verschiebung des Schaubildes, dass K symmetrisch ist zu N( ). Bestimmen Sie den Inhalt der Gesamtfläche, die von K und der x-achse eingeschlossen wird. (7) c) Zeichnen Sie die Kurve G der Funktion g mit g(x) x + für x in das Achsenkreuz aus Teilaufgabe a) ein. Die Gerade mit der Gleichung x u ( u ) schneidet die Kurve K im Punkt R und die Kurve G im Punkt S. Für welches u wird der Inhalt des Dreiecks RSO am größten? Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. () a) Schnittpunkt mit der y Achse: (x ) S y ( ) (,) Schnittpunkt mit der x Achse: (f(x) ) N ( ), N ( ) und N ( ) (,)

4 Ableitungen: f(x) x x + x +, f'(x) x x + und f''(x) x () Hoch- und Tiefpunkte: T( +,6) T(,7,6) und H(,6) H(,7,6) (,) Wendepunkte: (f''(x) mit VZW bzw. f'''(x ) W( ) (,) Schaubild: (an x-achse gespiegelt) () + () d) b) Symmetrie: f(x ) ( x x + x ) (x x + ) + (x ) + x + x () A ( x x + x + )dx + x x + x + x ( x x + x + )dx (oder A... ) () + x x + x + x () 7 7 +, FE () c) Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken O( ), R (u(f(u)) und S(u g(u)): A(u) g h [( u u + u + ) ( u + )] u 6 u + u mit u () () () Ableitungen: A'(u) u + u und A''(u) u + () relatives Maximum auf [;]: (A'(u) und A''(u) < ) bei u () Randwerte: A(), A( ) und A() absolutes Max für u mit A( ) Aufgabe 6: Symmetrienachweis durch Verschiebung, Extremwertaufgabe, Integration (). () Gegeben ist die Funktion f durch f(x) x x + x + mit x. Das Schaubild von f ist K. a) Untersuchen Sie K auf Schnittpunkte mit den Achsen, Hoch-, Tief- und Wendpunkte. Geben Sie die Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet an. Zeichnen Sie K für, x, mit LE cm. () b) Ziegen Sie durch eine geeignete Verschiebung des Schaubildes, dass K symmetrisch ist zu N( ).Bestimmen Sie den Inhalt der Gesamtfläche, die von K und der x-achse eingeschlossen wird. (7) c) Zeichnen Sie die Kurve G der Funktion g mit g(x) x + für x in das Achsenkreuz aus Teilaufgabe a) ein. Die Gerade mit der Gleichung x u ( u ) schneidet die Kurve K im Punkt R und die Kurve G im Punkt S. Für welches u wird der Inhalt des Dreiecks RSO am größten? Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. () a) Schnittpunkt mit der y-achse: (x ) S y ( ) (,) Schnittpunkt mit der x Achse: (f(x) ) N ( ), N ( ) und N ( ) (,) Ableitungen: f(x) x x + x +, f'(x) x x + und f''(x) x () Hoch- und Tiefpunkte: T( +,9) T(,7,9) und H(,9) H(,7,9) () Wendepunkte: (f''(x) mit VZW bzw. f'''(x ) W( ) (,) Schaubild: (vgl. Gruppe A) () + () d)

5 b) Symmetrie: f(x ) ( x x + 9 x ) ( x x+ ) + (x ) + x + x () A ( x x + x+ )dx + x x + x + x + ( x x + x+ )dx () x x + x + x () +, FE () c) Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken O( ), R (u(f(u)) und S(u g(u)): A(u) g h [( u u + u + ) ( u + )] u u + u mit u () Ableitungen: A'(u) u + u und A''(u) u + () relatives Maximum auf [;]: (A'(u) und A''(u) < ) bei u () 9 9 Randwerte: A(), A( ) und A() absolutes Max für u mit A( ). () () () Aufgabe 7: Kurvenuntersuchung Optimierungsaufgabe, Integration () Für x ist die Funktion f mit dem Schaubild K gegeben durch f(x) (x 6x + ). a) Untersuchen Sie das Schaubild K auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K im Bereich, x 6, mit LE cm. (7) b) Die Gerade g mit der Gleichung y x und das Schaubild K begrenzen zwei Flächenstücke. Berechnen Sie deren Gesamtinhalt. (7) c) Für u schneidet die Gerade mit der Gleichung x u das Schaubild im Punkt A und die Gerade aus Teilaufgabe b) im Punkt B. Der Punkt C( ) bildet mit den Punkten A und B ein Dreieck. Für welchen Wert von u wird das Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal? () en a) Ableitungen: f(x) (x 6x ) +, f'(x) (x x), f''(x) (6x ) und f'''(x) (,) Extrema: (f'(x) und f''(x) </> ) T( ) und H( ) () Wendepunkt: (f''(x) mit VZW bzw. f'''(x) ) W( ) (,) Skizze: () b) Schnittpunkte von g und K: Entweder rechnerisch durch Gleichsetzen g(x) f(x) (ergibt Gleichung. Grades > Probieren) oder durch ablesen der Punkte aus dem Schaubild und Punktprobe: x, x 6, x () A ( f (x) g(x) ) dx + ( f (x) ) x x x+ dx + x x x + x ( + 6) ( + 6) g(x) dx () + 6 x x x+ dx () x x x + x 6 () ( 9+ ) ( + 6) ()

6 + () 6 FE. () c) A(u) g h (f(u) g(u)) ( u) ( u u u + ) ( u) 6 u + u u u + A'(u) u + u u () Maximum: (A'(u) ergibt Gleichung. Grades Probieren) u (relatives Maximum) () u (relatives Minimum) () u + (außerhalb des zulässigen Bereiches) () Randwerte: A( ), A() ist rel. Minimum abs. Maximum bei u mit A( ). () Aufgabe : Kurvenuntersuchung Optimierungsaufgabe, Integration () Für x ist die Funktion f mit dem Schaubild K gegeben durch f(x) (x + 6x ). a) Untersuchen Sie das Schaubild K auf Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K im Bereich 6, x, mit LE cm. (7) b) Die Gerade g mit der Gleichung y x und das Schaubild K begrenzen zwei Flächenstücke. Berechnen Sie deren Gesamtinhalt. (7) c) Für u schneidet die Gerade mit der Gleichung x u das Schaubild im Punkt A und die Gerade aus Teilaufgabe b) im Punkt B. Der Punkt C( ) bildet mit den Punkten A und B ein Dreieck. Für welchen Wert von u wird das Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal? () en a) Ableitungen: f(x) (x 6x ) +, f'(x) (x x) + und f''(x) (6x + ) (,) Extrema: (f'(x) und f''(x) </> ) T( ) und H( ) () Wendepunkt: (f''(x) mit VZW bzw. f'''(x) ) W( ) (,) Wertetabelle und Schaubild: (vgl. Gruppe A) () b) Schnittpunkte von g und K: Entweder rechnerisch durch Gleichsetzen g(x) f(x) (ergibt Gleichung. Grades Probieren) oder durch ablesen der Punkt aus dem Schaubild und Punktprobe: x, x 6, x () A ( f (x) g(x) ) dx + ( f (x) ) x x x dx x + x x x 6 g(x) dx () 6 + x + x x dx () ( + 6) ( 9+ ) + x + x x x () ( + 6) ( + 6) () () 6 FE. () c) A(u) g h (g(u) f(u)) ( + u) ( u u + u + ) ( + u) 6 u u u + u + A'(u) u u u + und A''(u) u u () Maximum: (A'(u) ergibt Gleichung. Grades Probieren): u + (relatives Maximum), u (relatives Minimum) und u (außerhalb des zulässigen Bereiches) () 6

7 Randwerte: A( ) ist rel. Minimum, A() abs. Maximum bei u + mit maximaler Fläche A( + ). () Aufgabe 9: Kurvenuntersuchung, Extremwertaufgabe, Integration () e) Untersuche f(x) x x + auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- sowie Wendepunkte und skizziere ihren Graphen mit allen wesentlichen Punkten. f) In den Raum zwischen der x-achse und dem Teil des Graphen von f, der die Extremalpunkte enthält, soll ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt eingepasst werden. Berechne die Eckpunkte dieses Rechtecks. g) Wieviel Prozent des gesamten Zwischenraums nimmt das Rechteck aus b) ein? en: a) Symmetrie zur y-achse, da f( x) f(x) oder. f(x) x x + enthält nur gerade Exponenten () S y ( ) () f(x) (x ) (x + ) T / (± ) () (doppelte Nullstellen Berührpunkte und insbesondere Tiefpunkte, da f(x) > für alle x, siehe unten) Ableitungen: f (x) x x x(x + )(x ), f (x) x (und f (x) 6x) () Hochpunkt H( ), da f () und f () < oder mit VZW von + nach () Tiefpunkte T / (± ), da f (±) und f (±) > oder wie oben oder mit VZW () Wendepunkte W / (± 6 9 ), da f (± ) und f (± ) 6 oder mit VZW () Beschriftete Skizze () b) Das Rechteck mit den Eckpunkten A( u ), B(u ), C(u f)u) und D( u f( u) mit u () Flächeninhalt A(u) u f(u) u u + u mit A (u) u u + (u u + 6 ) () A (u) für u ± u I ± und u I ±. () u und u sind negativ und liegen ausserhalb des betrachteten Bereiches. () In u wird die Fläche minimal mit A() () Das absolute und relative Maximum muss also bei u liegen mit f( ) 6. () Das Rechteck hat die Eckpunkte (± ) und (± 6 ) () c) Der Flächeninhalt des Rechtecks aus b) ist A( ) Der Flächeninhalt des gesamten Zwischenraums ist A f (x)dx x x + x Der Anteil von A betragt A A ( 6 + ) FE. () FE. (),66 % () Aufgabe : Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Optimierungsaufgabe, Integration () Gegeben ist f t (x) 9 x + t x t x + t t mit x ε und t ε * +. Das Schaubild von f t heißt K t. a) Untersuchen Sie K auf Achsenschnittpunkte, Extrem- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K für x mit LE cm. () b) Bestimmen Sie die Ortskurve des Hochpunktes von K t. (6) c) Die Senkrechte x u mit x schneidet K in R und die x-achse in P. K schneidet die positive x- Achse in Q. Berechnen Sie dien maximalen Flächeninhalt, den das Dreieck PQR annehmen kann. (6) 7

8 a) Ableitungen: f (x) 9 x + x x, f (x) x + x und f (x) x + () Schnittpunkt mit der y-achse: S y ( ) (,) Schnittpunkte mit der x-achse (f (x) 9 (x )(x + ) S x ( ) und S x/ ( ) (doppelt) (,) Extrema: (f (x) und f (x) </> ) T( ) und H( ) () 9 Wendepunkte: (f (x) mit VZW) W( 6 ) 9 () Skizze () b) Ableitungen: f t (x) x t + x t t und f t (x) x + () Hochpunkte (f t (x) und f t (x) < ) H( t t + t t ) () Ortskurve y 9 x + x + x () c) A(u) g h ( u) ( f(u)) (u u + ) A (u) (u 6u) () relatives Maximum (A (u) und A (u) < ) bei u mit A(), FE. () Bereichsgrenzen A( ) A() absolutes Maximum bei u. () Aufgabe : Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Optimierungsaufgabe, Integration () x K ist das Schaubild der Funktion f t.mit f t (x t) mit x ε und t ε * +. t a) Untersuchen Sie K auf Schnittpunkte mit der x-achse, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K für x 6 mit LE cm. () b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Hochpunkte von K t. (6) c) Die Senkrechte x u schneidet K in P und die x-achse in R. Gegeben ist außerdem der Punkt Q( 6). Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt, den das Dreieck PQR annehmen kann. () a) f (x) x (x 6) x + x, f '(x) x + x, f ''(x) x +, f '''(x) () Schnittpunkte mit der x-achse: (f(x)) N / ( ) (doppelte NST Berührpunkt) und N (6 ) () Hoch- und Tiefpunkte: (f'(x), f''(x) </>) T( ) und H( ) () Wendepunkte: (f''(x), f''' oder VZW von f''(x)) W( ) () Wertetabelle und Schaubild: () b) f t (x) x + 6 t t x, f t(x) 6 x + 6 t t () Hochpunkt: (f t (x) und f t (x) < ) H(t t) () Ortskurve der Hochpunkte y x () c) A(u) g h (6 u) f (u) u (u 6), () A (u) u (u 6) (u ), A (u) (u 6u + 6) () rel. Max (A (u) und A (u) < ) bei u. () Bereichsgrenzen: A() A(6) abs Max bei u mit A() FE. () Aufgabe : Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Optimierungsaufgabe (6) Für jedes t * + sind die Funktionen f t und g t gegeben durch f t (x) x t x und g t (x) t ( t )x. Das Schaubild von f t ist K t, das Schaubild von g t ist G t. t t

9 a) Untersuchen Sie das Schaubild K t auf Symmetrie, Schnittpunkte mit der x-achse, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K und G im Bereich x mit LE cm. () b) In den Raum, der zwischen K und G liegt, soll ein Rechteck maximaler Fläche eingepasst werden, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte dieses Rechteckes auf zwei Nachkommastellen gerundet an. (9) c) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von K t und G t. Für welches t wird der Abstand der beiden rechten Schnittpunkte minimal? Hinweis: Dieses Extremwertproblem lässt sich lösen ohne dabei irgendwelche Ableitungen zu bilden! (6) en: 6 a) Ableitungen: f t (x) x t x, f t (x) x t und f t (x) x () t t t Symmetrie: f t ist eine gerade Funktion, also symmetrisch zur y-achse. () Schnittpunkte mit der x-achse N / ( ) (doppelte NST Berührpunkt) und N / (± t ) () Extrempunkte (f t (x) und f t (x) ): H( ) und T / (± t t ) () Wendepunkte (f t (x) mit VZW): W / (± t t ) () Schaubild (zusätzliche Werte: f (±) ) () b) Aus der Zeichnung lässt sich erkennen, dass von den Zwischenräumen in den Bereichen x, x und x der mittlere Bereich x deutlich größer ist als die beiden anderen. Es bietet sich daher an, die folgenden Eckpunkte mit x zu wählen: A(u g(u)) B(u (f(u)) C(u (f( u)) C( u f(u) D(u (g( u)) D( u g(u) () A(u) b h [u ( u)] [f (u) g (u)] u [,u,u + ] u u + u A (u) u u + und A (u) u u Relatives Maximum (A (u) und A (u) < ): u u + u u +, z z +, z / ± 9 u / 9 ± + ±,6 und u / 9 ± ±,. Nur u, liegt im gewünschten Bereich! A (,), < relatives Maximum (Hochpunkt). Bereichsgrenzen: A(), A(,), und A() absolutes Maximum bei u, y-koordinaten: f (,), und g (,),6 Eckpunkte: A(,,), B(,,), C(,,6) und D(,,6). (7) c) Punkte A( t t ) und B( t t ) Abstand d(t) + ( t ) mit t >. t Ansatz : Da die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, genügt es, das Minimum von d (t) + ( t ) t zu suchen: Ist d (t) an der Stelle t minimal, so besitzt auch d(t) dort ein relatives Minimum. (d (t) ) ( t t )( t 6t) t t t mit d( ). (t >!). Randwerte: Da d(t) für t (wegen t ) und für t (wegen t ) gegen strebt, ist an dieser Stelle auch das absolute Minimum. Ansatz : + erreicht sein absolutes Minimum, wenn ( t ) t t t t Aufgabe : Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Tangente (). Für jedes t ε ist die Funktion f t gegeben durch f t (x) x + (t )x + (t )x + t. Ihr Schaubild heißt K t. a) Untersuchen Sie K auf Achsenschnittpunkte, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K für x mit LE cm. () 9

10 b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an K im Punkte P(, f (,)). Zeigen Sie, dass der Tiefpunkt von K auf dieser Tangenten liegt. Q sei ein vom Hochpunkt H( ) verschiedener Punkt auf K. Bestimmen Sie die Koordinaten von Q so, dass die Tangente an K in Q durch H geht. (7) c) Zeigen Sie, dass K t die x-achse in A( ) berührt. Für welche Werte von t ist A Hochpunkt Tiefpunkt Wendepunkt von K t? d) Es sei t. Auf dem Schaubild K t liegen die Punkte R(t ) und S( t). Der Ursprung O( ) und die Punkte R und S bilden Sie Eckpunkte eines Dreieckes mit dem Flächeninhalt A (t). Die Koordinatenachsen und K t begrenzen im. Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt A (t). Für welchen Wert von t gilt A (t) : A (t) :? Aufgabe : Kurvenuntersuchung mit Parameter, Ortskurve, Optimierungsaufgabe () t Gegeben ist die Funktion f t durch f t (x) x t + x mit x und t * +. Das Schaubild von f t heißt K t. 6 a) Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit der x-achse, Extrem- und Wendepunkte. Zeichnen Sie K für x mit LE cm. () b) Untersuchen Sie K t auf Extrempunkte und zeigen Sie, dass K t keinen Hochpunkt besitzt. Bestimmen Sie die Ortskurve des Tiefpunktes von K t. () c) Die Senkrechte x u mit u schneidet K in P und die x-achse in Q Für welches u ist der Flächeninhalt des Dreiecks OPQ maximal? ()

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