Aufgabe 1: LKW. Aufgabe 2: Drachenviereck

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1 Aufgabe 1: LKW Ein LKW soll duch einen Tunnel mit halbkeisfömigem Queschnitt fahen. Die zweispuige Fahbahn ist insgesamt 6 m beit; auf beiden Seiten befindet sich ein Randsteifen von je 2 m Beite. Wie hoch daf de LKW maximal sein, wenn de Sicheheitsabstand zu Decke mindestens 30 cm betagen muss? Da de Tunnel die Fom eines Halbkeises hat, kann auf den Satz des Thales zuückgegiffen weden. Die in de unteen Skizze eingezeichnete Höhe h entspicht de Höhe de Tunnelwand an de Außenseite des LKW: Die Länge de Stecke p betägt 2 m + 6 m = 8 m; q ist 2 m lang. Es gilt de Höhensatz: h² = p * q Damit ist h² = p * q = 8 * 2 = 16. also ist h = 4 m. Da de minimale Sicheheitsabstand des LKW zu Decke 30 cm betägt, daf de LKW maximal 3,70 m hoch sein. Aufgabe 2: Dachenvieeck Dem Keis k(;) ist ein Dachenvieeck ABCD einbeschieben. Die Diagonale BD hat die Länge 1,5. Bestimme die Länge de Stecke P. A B P D C

2 Bei vielen geometischen Aufgaben ist eine infomative Figu von goße Hilfe. Auch das Zelegungspinzip kann oft vewendet weden. In Bezug auf die infomative Figu ist es bei diese Aufgabe wichtig, geeignete Hilfslinien einzuzeichnen, hie die Radien von nach B bzw. D. Aufgund de Symmetie kann das entstandene Deieck BD in zwei konguente echtwinklige Teildeiecke PB und DP zelegt weden, von denen zwei Seitenlängen bekannt sind (de Radius ist als bekannt voauszusetzen). it dem Satz des Pythagoas folgt fü beide Deiecke: ² = (0,75)² + (P)². Daaus egibt sich die gesuchte Länge zu 4 7. Aufgabe 3: Schlagloch Ein Rad vom Duchmesse 1m ollt auf ein 70 cm beites Loch zu. Wie tief wid das Rad einsacken? 1 m 70 cm Diese Aufgabe muss zuest in eine mathematische Fagestellung übefüht weden. Entscheidend fü das Gelingen ist dabei eine gute Skizze, etwa in de folgenden At: y x Dabei sind die ot gezeichneten Stücke gegeben (Radius des Rades und Beite des Loches) und das fett gezeichnete Stück gesucht. Die gesuchte Göße (x) entspicht dem Radius abzüglich des schwaz gestichelten Stückes (y). Es ist also de Abstand eine 70 cm langen Sehne vom ittelpunkt in einem Keis mit dem Duchmesse 1 m zu bestimmen: die Aufgabe ist somit analog zu Aufgabe Dachenvieeck und kann mit dem gleichen Lösungsvefahen (übe den Satz des Pythagoas) gelöst weden. Es egibt sich y = 50²-35² = 36 cm und somit die gesuchte Göße zu x = 50 cm 36 cm = 14 cm. Das Rad sackt also etwa 14 cm tief ein. Vewendungsvoschlag fü diese Aufgabe: Die Aufgabe kann den Schüleinnen und Schülen als Übungs- ode Hausaufgabe gestellt weden, nachdem die Aufgabe Dachenvieeck behandelt wude. Die Analogie zwischen den beiden Aufgaben ist nicht offensichtlich. Entscheidend ist dahe das Anfetigen eine passenden infomativen Figu und deen ichtige Intepetation, um die Aufgabe übe das Analogiepinzip lösen zu können.

3 Aufgabe 4: Wassepflanze Um die Tiefe eines Teiches zu bestimmen wid folgendes Vefahen angewandt: Eine Wassepflanze, die einen ete senkecht aus dem Teich agt, wid zu Seite gezogen bis sie mit ihem obeen Ende genau an die Wasseobefläche eicht. an misst, dass sie dazu 2,5 m zu Seite gezogen weden muss. Wie tief ist de Teich ungefäh? Infomative Figu: Wasseobefläche 1m 2,5m t t + 1m it dem Satz des Pythagoas und de infomativen Figu egibt sich fü die Wassetiefe: t² + (2,5m)² = (t + 1m)² => t 2,6 m Anmekung: Eine Schwieigkeit fü Schüle kann dain liegen, dass von dem echtwinkligen Deieck nu eine Seite gegeben ist. an muss einen Zusammenhang zwischen den beiden unbekannten Seiten finden. Nimmt man dabei das Invaianzpinzip zu Hilfe, kann man hie die unbekannte Länge de Pflanze als Invaiante ekennen. Dann lässt sich mit dem Satz des Pythagoas die Länge de Pflanze und mit diese die Tiefe des Teiches beechnen. Aufgabe 5: Hoizonte Die Ede ist in gute Näheung eine Kugel mit dem Radius = 6378 km. (a) Wie goß ist die Sichtweite fü einen Beobachte in einem Boot auf offene See, dessen Augen sich 3 m übe de Wasseobefläche befinden? Hinweis: it Sichtweite ist hie die Entfenung vom Beobachte zum Hoizont gemeint. (b) Ein Segelschiff nähet sich diesem Beobachte. Sein ast ist 16 m hoch. Wie weit ist das Schiff vom Beobachte entfent, wenn diese geade die astspitze am Hoizont auftauchen sieht? (a): Die Schwieigkeit bei diese Aufgabe liegt im koekten Efassen de Situation und de Übesetzung in eine mathematische Fagestellung. Dies kann mit eine infomativen Figu geschehen, in de die auftauchenden Vehältnisse (natülich nicht maßstabsgeteu) dagestellt weden können:

4 B s h h: Beobachtungshöhe 3 m s: Sichtweite H : Edadius 6378 km : Edmittelpunkt Entscheidend ist die Ekenntnis, dass es sich bei de Stecke s um einen Tangentenabschnitt handelt. Dahe ist de Winkel HB ein echte Winkel. Somit kann die Stecke s mit dem Satz des Pythagoas bestimmt weden: s² = ( + h)² - ² s = 2h + h² it den in de Aufgabenstellung gegebenen Weten egibt sich s = 6,2 km (geundet auf volle 100 m). (b): Die infomative Figu ähnelt de in Teil (a): h 1 s 2 T s 1 h 2 Zuest müssen die Lenenden die Situation ichtig efassen: Die astspitze escheint dann am Hoizont, wenn die Vebindungslinie Beobachte astspitze eine Tangente an die Ede ist. Damit ehält man ein Deieck ohne echten Winkel, da h 1 (Höhe des Beobachtes) ungleich h 2 (asthöhe) ist. Folgende Übelegung hilft nun weite: Die Vebindung vom Edmittelpunkt zum Beühpunkt T de Tangente zelegt das Deieck in zwei echtwinklige Teildeiecke. Die Bestimmung de auftetenden Tangentenabschnitte s 1 und s 2 efolgt analog zu Aufgabenteil (a), im esten Fall soga mit identischen Zahlenweten. Es egibt sich als Lösung s = s 1 + s 2 = 20,5 km. Die Aufgabe kann also mit Hilfe des Zelegungspinzips auf Bekanntes zuückgefüht weden und dient damit auch als Beispiel fü die Anwendung des Rückfühungspinzips.

5 Vaiation zu Veeinfachung de Aufgabe: Um die Aufgabe zu veeinfachen und damit die Chance zu ehöhen, dass auch leistungsschwächee Schüleinnen und Schüle sie efolgeich beabeiten, kann zusätzlich zum Aufgabentext eine Visualisieung des Poblems angegeben weden, die andeutet, inwiefen die Sichtweite duch die Edkümmung eingeschänkt wid: Blickichtung ensch, de zum Hoizont schaut Ede