Didaktische Grundlagen Arithmetik

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1 Didaktische Grundlagen Arithmetik Vertiefung

2 Folien erstellt auf der Grundlage von: Köhler, Hartmut (Hrsg.) Kreative Ideenbörse Mathematik Sekundarstufe I, Ausgabe 14. München: Olzog Verlag. Kapitel 1.16: Zur Division durch die Zahl 0, S In dieser Literatur finden Sie auch Kopiervorlagen und Übungsaufgaben für den Schulunterricht.

3 I. Rechnen in Z bzw. Q Verteilen und Aufteilen einer Menge von Objekten Frage: Wie können 24 Bonbons gerecht an 12 Kinder verteilt werden? Rechnung: 24 : 12 = 2 Antwort: Jedes Kind erhält 2 Bonbons. Frage: Wie können 24 Bonbons in Tüten zu je 8 Bonbons aufgeteilt werden? Rechnung: 24 : 8 = 3 Antwort: Man benötigt 3 Tüten. Entsprechende Fragen für eine Division durch 0: Frage: Wie können 24 Bonbons gerecht an 0 Kinder verteilt werden? Frage: Wie können 24 Bonbons in Tüten zu je 0 Bonbons aufgeteilt werden? Diese Fragen sind im täglichen Leben unsinnig!

4 Die Division als wiederholte Subtraktion Handelt es sich bei 14 : 7 um eine natürliche Zahl? Es ist 14 7 = 7, 7 7 = 0. Wird 7 zweimal von 14 subtrahiert, so ergibt sich 0. Ergebnis: 14 : 7 = 2. Handelt es sich bei 14 : 0 um eine natürliche Zahl? Ausgangszahl ist 14. Wie oft muss 0 von der 14 subtrahiert werden, um 0 zu erhalten? Es ist 14 0 = 14, 14 0 = 14, Ergebnis: Es gibt keine natürliche Zahl, die angibt, nach wie vielen Rechenschritten 0 erreicht ist. Der Ausdruck 14 : 0 ist kein Name für eine natürliche Zahl. Handelt es sich bei 0 : 0 um eine natürliche Zahl? Ausgangszahl ist 0. Wie oft muss 0 von der 0 subtrahiert werden, um 0 zu erhalten? Es ist 0 0 = 0, 0 0 = 0, Ergebnis: Die Zahl 0 ist nach jeder festen Anzahl von Schritten erreicht. Der Ausdruck 0 : 0 ist kein Name für eine einzige natürliche Zahl.

5 Die Division als Umkehroperation der Multiplikation a : b = c ist gleichwertig zu c b = a. Ist 10 : 5 = x, dann ist x 5 = 10. Ergebnis: 10 : 5 = 2. Ist 2 : 5 = x, dann ist x 5 = 2. Ergebnis: 2 : 5 = 2/5. Ist 0 : 5 = x, dann ist x 5 = 0. Ergebnis: 0 : 5 = 0. Ist 2 : 0 = x, dann ist x 0 = 2. Aber: x 0 ergibt stets 0, gleichgültig wie x gewählt wird. Ergebnis: 2 : 0 bezeichnet keine Zahl. Ist 0 : 0 = x, dann ist x 0 = 0. Diese Forderung erfüllt jede Zahl. Ergebnis: 0 : 0 bezeichnet keine eindeutig bestimmte Zahl. Gleichgültig welche Zahl a gewählt wird, gilt: a : 0 bezeichnet keine eindeutig bestimmte Zahl. 0 : 0 kann nicht zwingend eine einzige Zahl zugewiesen werden und ist a 0, dann kann a : 0 keine Zahl zugewiesen werden. Man sagt: Für keine Zahl a ist a : 0 definiert.

6 II. Wird durch 1/0 eine Zahl erfasst, die nicht zu gehört? Die Menge der rationalen Zahlen ist gegen die Subtraktion abgeschlossen, das bedeutet, dass die Differenz von zwei rationalen Zahlen stets eine rationale Zahl ist. Die Menge der rationalen Zahlen ist gegen die Division nicht abgeschlossen, denn eine Division durch die Zahl 0 ergibt keine rationale Zahl. Können zu den rationalen Zahlen weitere Zahlen so eingeführt werden, dass in der neuen Menge die Division durch 0 möglich ist?

7 Vorüberlegung (Annäherung an die Zahl 1 : 0, falls sie existiert): Es ist 1 : 0,1 = 10, 1 : 0,01 = 100, 1 : 0,001 = 1000, 1 : 0,0001 = 10000, Vorschlag: 1 : 0 =. Wird mit eine Zahl erfasst? Annahme: Mit wird eine Zahl erfasst, mit der man nach den üblichen Rechenregeln arbeiten kann. Folgerung, z. B.: Es ist: Da zwei Brüche mit gleichem Nenner genau dann gleich sind, wenn die Zähler gleich sind, folgt 1 = 2. Diese Aussage ist falsch. Das bedeutet, dass die Annahme falsch ist. Ergebnis: Mit wird keine Zahl bezeichnet, mit der nach den Regeln des Zahlenrechnens gearbeitet werden kann. (ähnliche Überlegungen für a/0 mit beliebigen Zahlen für a)

8 Ergebnis: Zu keiner Zahl a kann die Division a : 0 so erklärt werden, dass sich eindeutig eine Zahl ergibt, mit der in der für Zahlen üblichen Weise widerspruchsfrei gerechnet werden kann. a/0 bezeichnet keine Zahl. Man sagt: Durch 0 kann nicht dividiert werden. Taschenrechner zeigen auf die Eingabe von 1 : 0 die Fehlermeldung E (error).