Linearfaktorenzerlegung und Polynomdivision 1 Aufgabe 1
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- Karlheinz Hase
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1 Interne Links auf dieser Seite: Abbildungsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Linearfaktorenzerlegung und Polynomdivision 1 Aufgabe 1 Man löse die Gleichung x 3 2x = 0 Dies ist eine kubische Gleichung. Eine kubische Gleichung hat im Reellen maximal 3 verschiedene Lösungen. Eine Möglichkeit besteht darin, die Gleichung in Linearfaktoren zu zerlegen. Das ist im Reellen nicht immer möglich, führt aber bei dieser Aufgabe zum Erfolg. Für die folgenden Überlegungen wird vorausgesetzt, dass im Reellen eine Zerlegung von x 3 2x in Linearfaktoren existiert. Fälle, in denen eine solche Zerlegung nicht möglich ist, werden in anderen Übungsaufgaben diskutiert. Eine Linearfaktorenzerlegung von x 3 2x ist eine Darstellung der Form x 3 2x = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) mit den Lösungen x 1, x 2, x 3 der kubischen Gleichung. Man geht nun so vor, dass man eine der drei möglichen Lösungen errät, also z.b. x 1. Die Division von x 3 2x durch (x x 1 ) liefert dann einen Term, der die anderen Lösungen von x 3 2x = 0 enthält. Aus der Darstellung x 3 2x = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) ersieht man: x 3 2x x x 1 = (x x 2 )(x x 3 ) Die zu erratende Lösung ist z.b. x 1 = 1. Der Linearfaktor x x 1, durch den dividiert werden soll, lautet daher Polynomdivision (x 3 2x 2 112) () = x (x 3 x 2 )... x Erläuterung: 1
2 1. Schritt (x 3 2x 2 112) () Man dividiere den ersten Term in der Darstellung x 3 2x durch x. Das Ergebnis ist x 2. Man multiplizere, das ist der Term, durch den dividiert wird, mit dem Ergebnis aus Schritt 1, also mit x 2. Das Ergebnis ist x 3 x 2. Nun subtrahiere man den erhaltenen Ausdruck x 3 x 2 von dem Polynom x 3 2x (x 3 2x 2 112) (x 3 x 2 ) = x Die Bedeutung der verwendeten Terme kann man folgender Darstellung entnehmen: Behauptung: x 3 2x = x 2 + x2 112 Beweis: x 2 + x2 112 x 3 2x = (x2 )() x = x3 x 2 x = 2. Schritt Mit dem Ergebnis x verfahre man wie in Schritt 1. Der erste Term von x dividiert durch x ergibt x x multipliziert mit ergibt x 2 + x Den Term x 2 + x subtrahiert man nun von x und erhält: x ( x 2 + x) = 122 (x 3 2x 2 112) () = x 2 x (x 3 x 2 )... x
3 ...-( x 2 + x) Man erhält den Term 122 Damit hat man folgendes Zwischenergebnis erzielt: x 3 2x = x 2 x Mit dem Ergebnis 122 wird verfahren wie in Schritt 1 und Schritt Schritt Division des ersten Terms von 122 durch x ergibt multipliziert mit ergibt 122 Subtraktion von 122 von 122 ergibt 0. Damit ist die Polynomdivision beendet. Die Polynomdivision noch einmal zusammenfassend dargestellt; (x 3 2x 2 112) () = x 2 2 -(x 3 x 2 )... x ( x 2 + x) ( 122) Ergebnis: (x 3 2x 2 112) () = x 2 2 Die weiteren Lösungen von x 3 2x = 0 bestimmt man durch Lösen der quadratischen Gleichung x 2 2 = 0 Allgemeine Form der quadratischen Gleichung: x 2 + px + q = 0 mit p = 1, q = 12 x 1 = p p q = ( 1) + 2 = ( 1) = = 4 x 2 = = 6 2 =
4 Mit diesen Ergebnissen kann man folgende Linearfaktorenzerlegung von x 3 2x angeben: x 3 2x = ()(x 4)(x + 3) Die Lösungen der Gleichung x 3 2x = 0 sind x 1 = 1, x 2 = 4, x 3 = Ein weiteres Übungsbeispiel zur Polynomdivision Eine Lösung der Aufgabe 1.b war x = 1. Hierüber soll die Polynomdivision und Linearfaktorenzerlegung der kubischen Gleichung noch einmal geübt werden. Polynomdivision (x 3 + 4x 2 + 3x) () = x (x 3 + x 2 )...3x 2 + 3x... Erläuterung: Schritt 1 (x 3 + 4x 2 + 3x) () Man dividiere den ersten Term in der Darstellung x 3 + 4x 2 + 3x durch x. Das Ergebnis ist x 2. Man multipliziere, das ist der Term, durch den dividiert wird, mit dem Ergebnis aus Schritt 1, also mit x 2. Das Ergebnis ist x 3 + x 2. Nun subtrahiere man den erhaltenen Ausdruck x 3 + x 2 von dem Polynom x 3 + 4x 2 + 3x. (x 3 + 4x 2 + 3x) (x 3 + x 2 ) = 3x 2 + 3x. Die Bedeutung der verwendeten Terme kann man folgender Darstellung entnehmen: Behauptung: x 3 + 4x 2 + 3x = x 2 + 3x2 + 3x Beweis: x 2 + 3x2 + 3x = (x2 )() + 3x 2 + 3x = x3 + x 2 + 3x 2 + 3x = x3 + 4x 2 + 3x 4
5 Schritt 2 Mit diesem Ergebnis verfahre man wie in Schritt 1. (x 3 + 4x 2 + 3x) () = x 2 + 3x -(x 3 + x 2 )...3x 2 + 3x...-(3x 2 + 3x)...0 Man dividiere also (3x 2 + 3x) durch (). Das Ergebnis ist 3x Dieses Ergebnis addiere man zu dem im ersten Schritt erhaltenen x 2, das ergibt x 2 + 3x Man multipliziere 3x mit (), das Ergebnis ist 3x 2 + 3x Nun subtrahiere man den erhaltenen Ausdruck (3x 2 + 3x) von dem Polynom (3x 2 + 3x) Das Ergebnis ist Null. Damit ist die Polynomdivision abgeschlossen. Die Bedeutung der in Schritt 2 verwendeten Terme: 3x 2 + 3x Ergebnis: = 3x + 0 (x 3 + 4x 2 + 3x) () ergibt x 2 + 3x Damit hat man folgende Zerlegung der Gleichung (x 3 + 4x 2 + 3x) erreicht: (x 3 + 4x 2 + 3x) = ()(x 2 + 3x) Um eine vollständige Zerlegung in Linearfaktoren zu erreichen, wird nun der Term x 2 + 3x weiter zerlegt. x 2 + 3x = 0 lässt sich schreiben als x(x + 3) = 0 Diese Gleichung hat 2 Lösungen: x 2 = 0, x 3 = 3 Damit sieht die vollständige Zerlegung von x 3 + 4x 2 + 3x in Linearfaktoren folgendermaßen aus: x 3 + 4x 2 + 3x = ()x(x + 3) = x()(x + 3) 5
6 Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 6
7 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Erläuterungen zu Aufgabe Erläuterungen zu Aufgabe 1.c: Linearfaktorenzerlegung und Polynomdivision Ein weiteres Übungsbeispiel zur Polynomdivision
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