LK Lorentzkraft. Inhaltsverzeichnis. Moritz Stoll, Marcel Schmittfull (Gruppe 2) 25. April Einführung 2

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1 LK Lorentzkraft Blockpraktikum Frühjahr 2007 (Gruppe 2) 25. April 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Theoretische Grundlagen Magnetfeld dünner Leiter und Spulen Lorentzkraft Elektron im homogenen Magnetfeld Leiter im Magnetfeld Versuchsdurchführung Elektron im Magnetfeld Leiterspule im Magnetfeld Messergebnisse, Auswertung, Diskussion Fehlerrechnung Helmholtz-Spulenpaar und Bestimmung von e/m Abhängigkeit der Lorentzkraft vom Leiterstrom Abhängigkeit der Lorentzkraft vom B-Feld Abhängigkeit des B-Feldes von der Spaltbreite a... 7

2 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN LK 2 1 Einführung In diesem Versuch soll die Lorentzkraft und deren Abhängigkeit von verschiedenen Parametern experimentell untersucht werden. 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Magnetfeld dünner Leiter und Spulen Da eine bewegte Ladung ein Magnetfeld erzeugt, erzeugen viele bewegte Ladungen ebenfalls ein Magnetfeld. Viele bewegte Ladungen treten z.b. in einem von Strom durchflossenen Leiter auf. Berechnet man das Magnetfeld eines langgestreckten Leiters nach dem Gesetz von Biot-Savart B( r) = µ di 4π r r 3 (1) so erhält man Kreise in der zum Leiter senkrechten Ebene. Biegt man einen Leiter zu einer Schlaufe, so erhält man eine Spule mit einer Windung. Allgemein ist das Magnetfeld einer Spule durch Biot-Savart berechenbar (vgl. IK Protokoll). Für ein Helmholtz-Spulenpaar erhält man B = µ 0 NI Sp l Sp B = µ 0 1,43 N D I Spule, (2) wobei N die Windungszahl und D der Durchmesser der Spule sind. Für eine Zylinderspule mit Spalt a in der Mitte ergibt sich ( l Sp + a (lsp + a) 2 + 4r 2 ) a, (3) a 2 + 4r 2 wobei N die Windungszahl, I Sp der Strom, l Sp die Länge und r der Radius der Spule sind. 2.2 Lorentzkraft Bewegt sich eine Ladung q durch ein homogenes B-Feld, so wirkt die Lorentzkraft F L FL = q v B (4) auf die Ladung. Dieser Effekt wird z.b. von einer Hall-Sonde oder einem Massenspektrometer ausgenutzt.

3 2 THEORETISCHE GRUNDLAGEN LK Elektron im homogenen Magnetfeld Schießt man ein Elektron e in ein homogenes Magnetfeld, so beschreibt es auf Grund der Lorentzkraft eine Schraubenbahn. Trifft das Elektron senkrecht auf die Feldlinien des B-Feldes, dann beschreibt es eine Kreisbahn. Aus dem Radius dieser Kreisbahn kann man das Verhältnis aus Ladung und Masse e/m bestimmen. Hierzu setzt man die Lorentzkraft gleich der Zentripetalkraft und setzt für die Geschwindigkeit v 2 = 2eU/m ein (1/2 mv 2 = eu): evb = mv2 r e m = v rb = 1 rb 2eU m e m = 2U r 2 B 2 (5) Durch Messen von r,b und U lässt sich e/m also bestimmen (siehe Versuche unten). 2.4 Leiter im Magnetfeld Auf einen vom Strom I L durchflossenen Leiter der Länge L L wirkt in einem homogenen B-Feld die Kraft F = L L I L B. (6) Die Kraft ist also direkt proportional zum Strom, der durch den Leiter fließt, und zur Stärke des Magnetfelds, in dem sich der Leiter sich befindet. Gleichung (6) kann aus der Gleichung (4) für die Lorentzkraft hergeleitet werden, wenn v die Geschwindigkeit einer Ladung q ist, die sich in einem Leiter der Länge l bewegt, und t die Zeit ist, die die Ladung q benötigt, um von einem Ende des Leiters zum anderen Ende zu gelangen: F = v q B = vt q t B = L I B. Verwendet man als Leiter eine Spule mit N Windungen, so misst man die N-fache Kraft, da N mal so viele Elektronen pro Zeit im Leiter fließen.

4 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION LK 4 3 Versuchsdurchführung 3.1 Elektron im Magnetfeld Zur Bestimmung von e/m werden Elektronen mit einer bestimmten Beschleunigungsspannung U s senkrecht in das homogene B-Feld eines Helmholtz-Spulenpaares geschossen. Dabei werden die Spannung U b und der Strom I Sp variiert und die Radien der Elektronenbahnen gemessen. 3.2 Leiterspule im Magnetfeld Eine Leiterspule mit N Windungen und Länge L L wird in das homogene B-Feld einer Zylinderspule gebracht. Die Zylinderspule hat in ihrer Mitte einen (veränderbar großen) Spalt der Breite a, in den die Leiterspule eingeführt werden kann. Der Strom I Sp durch die Zylinderspule und der Strom I L durch die Leiterspule können jeweils von 0A bis 0, 6A eingestellt werden. Die Leiterspule hängt an einer Waage, so dass durch Auflegen von Gewichten auf die Waage die Kraft bestimmt werden kann mit der die Leiterspule (durch die Lorentzkraft) nach oben oder unten gezogen wird. Es wird die Abhängigkeit der Lorentzkraft vom Leiterstrom I L, von der magnetischen Kraftflussdichte B und vom Spaltabstand a gemessen. 4 Messergebnisse, Auswertung, Diskussion 4.1 Fehlerrechnung Bei den gemessenen Längen l wurde jeweils ein zufälliger Fehler u z (l) geschätzt. Der systematische Fehler wurde jeweils nach DIN mit u s (l) = 200µm l berechnet. Da der zufällige Fehler nur geschätzt wurde und nicht durch eine große Zahl statistisch verteilter unabhängiger Längenmessungen ermittelt wurde, verwenden wir zur Fehlerfortpflanzung jeweils den Größtfehler 1 u(l) = u z (l) + u s (l). Wenn wir nun eine Größe x(l 1,l 2,...,l n ) berechnen wollen, die von Größen l i (i = 1,... n) abhängen, so ergibt sich als Fehler für x u(x) = x l 1 u(l 1) + x l 2 u(l 2) + + x l n u(l n). (7) Häufig misst man mehrere verschiedene Tupel (l 1,...,l n),...,(l (m) 1,...,l (m) und berechnet anschließend für jedes Tupel x(l 1,...,l n ), so dass man 1 Im Fall u z(l) u s(l) wird u(l) = p u 2 z(l) + u 2 s(l) verwendet. n )

5 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION LK 5 m Werte x j (j = 1,...,m) für die Größe x erhält. (Zum Beispiel misst man zehn unterschiedliche Paare für Gegenstands- und Bildweite und erhält daraus zehn Werte für die Brennweite.) Dabei hat jeder Wert von x einen Fehler, der sich aus den l i auf x nach Gleichung (7) fortgepflanzt hat. Möchte man nun einen mittleren Wert x und Fehler u(x) für die Größe x angeben, so bildet man den Mittelwert der m verschiedenen Werte x j und gewichtet mit dem Fehler u(x j ) jedes x j - Wertes (Werte mit großem Fehler werden weniger stark gewichtet). Mit dem Normierungsfaktor im Nenner ergibt sich somit für x x = xj u(x j ) 2 1 u(x j ) 2 (8) wobei die Summen jeweils von j = 1 bis j = m laufen. Als Standardabweichung σ x von x erhält man σ 2 x = σ2 x n = 1 n(n 1) (xj x) 2 u(x j ) 2 1 u(x j ) 2. (9) Den Fehler u(x) von x kann man mit der t-verteilung für ein Vertrauensniveau von 95% durch u(x) = t(f) σ x (10) berechnen, wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade und t(f) aus stochastischen Tabellen abgelesen werden kann: f t(f) 3,2 2,8 2,6 2,4 2,3 2,2 2,1 2,01 2, Helmholtz-Spulenpaar und Bestimmung von e/m Misst man bei einem Helmholtz-Spulenpaar die Radien r der Kreisbahn der Elektronen in Abhängigkeit vom Spulenstrom I Sp und der Beschleunigungsspannung U b der Elektronen, so kann man nach Gleichung (5) das Verhältnis von e/m berechnen. Da auf Grund der zusätzlichen Beschleunigungsspannung durch den Wehneltzylinder, der den Elektronenstrahl fokussiert, die tatsächliche Beschleunigungsspannung der Elektronen größer als die auf dem Messgerät angezeigte Beschleunigungsspannung ist, wird das Gerät für eine feste Spannung des Wehneltzylinders kalibriert, indem der Radius für verschiedene angezeigte Spannungen gemessen wird und der Nullpunkt der Regressionsgerade der Funktion U(r 2 ) berechnet wird. Wir erhielten so

6 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION LK 6 für die Spannung des Wehneltzylinders U W = (33 ± 12)V. Nach der Spannungskorrektur und Fehlerrechnung nach Abschnitt 4.1 erhielten wir für e/m e m = (1,49 ± 0,1) 1011 C kg. Dabei wurde für den Radius ein Fehler von u(r) = 0, 5cm angenommen, während die Werte für die Spannung und den Spulenstrom als exakt angenommen wurden. Das Ergebnis für e/m weicht von dem Literaturwert von ( e ) = 1, C m lit kg deutlich ab. Die Abweichung kann dadurch erklärt werden, dass die Messung des Radius der Kreisbahn nur sehr ungenau möglich war und deshalb die Kalibrierung durch U w zu ungenau war. Die Punkte von U(r 2 ) bei der Kalibrierung wurden durch die Regressionsgerade nur schlecht gefittet. Für eine bessere Kalibrierung wären deutlich mehr Messpunkte für U(r 2 ) nötig. 4.3 Abhängigkeit der Lorentzkraft vom Leiterstrom Die Kraft auf einen Leiter der Länge L L mit N Windungen, durch den der Strom I L fließt, in einem Magnetfeld mit der Kraftflussdichte B, ist nach Gleichung (6) durch F = NL L I L B gegeben. Variiert man bei festem N,L L und B den Leiterstrom I L, so sollte man für die Kraft F(I L ) eine Ursprungsgerade mit Steigung F/I L = NL L B. Aus den Geometriedaten der Leiterspule ergibt sich somit theoretisch: (F/I L ) th = NL L B(I SP ) = (13,3 ± 1,4) mn/a, wobei als Maximalfehler für L L 0,1mm und für I Sp 0,04A angenommen wurden. Die Steigung der Regressionsgeraden von F(I L ) ergibt (siehe Abb. 1) Regression: (F/I L ) Reg = (15,8 ± 0,4) mn/a, wobei der Fehler durch die Standardabweichung der mittleren Steigung bestimmt wurde. Die beiden Werte stimmen auch im Rahmen der Messunsicherheit nicht ganz miteinander überein. Dies könnte dadurch erklärt werden, dass die Leiterspule bei manchen Messpunkten die große Spule berührte und Reibungskräfte die gemessene Lorentzkraft verfälschten.

7 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION LK Messwerte f(x)=0,0158x+0,0004 errechnete Steigung: 0,0133 Kraft in mn ,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Strom der Spule in A Abbildung 1: Abhängigkeit der Lorentzkraft F vom Strom I L durch den Leiter. 4.4 Abhängigkeit der Lorentzkraft vom B-Feld Wie man in Gleichung (6) sieht, hängt die Kraft auf einen Leiter in einem B-Feld von der Stärke des B-Feldes ab. Die Steigung der Funktion F(B) ist dabei theoretisch: (F/B) th = NL L I L = (1,27 ± 0,05) N/T. Misst man die Lorentzkraft F in Abhängigkeit von B, so ergibt sich für die Steigung Regressionsgerade (siehe Abb. 2) Regression: (F/B) Reg = (1,26 ± 0,003) N/T. Die beiden Werte stimmen sehr gut miteinander überein. 4.5 Abhängigkeit des B-Feldes von der Spaltbreite a Um die Formel (3) für das B-Feld in Abhängigkeit von der Spaltbreite a zwischen den großen Spulen zu überprüfen, wird B für vier

8 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION LK Messwerte f(x)=1,264x+0, Berechnete Steigung: 1,272 Fehler: 0,0024 Kraft in mn ,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 B-Feld in T Abbildung 2: Abhängigkeit der Lorentzkraft F vom B-Feld. verschiedene Werte von a gemessen. Die aus Gleichung (3) berechneten Werte und die gemessenen Werte sind in Abb. 3 gezeigt. Es wurde jeweils gemessen bei welchem Leiterstrom I L die Lorentzkraft F einen bestimmten festen Wert erreicht (F = g 100mg) und dann aus dem Leiterstrom I L der Wert von B nach B = F/(L L I L N) bestimmt. Die theoretisch und experimentell ermittelten Werte stimmen sehr gut miteinander überein.

9 4 MESSERGEBNISSE, AUSWERTUNG, DISKUSSION LK 9 0,0070 theoretisch berechnetes B aus I berechnetes B 0,0065 B in T 0,0060 0,0055 0,0050 0,0045 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Abstand a in cm Abbildung 3: Abhängigkeit des B-Feldes vom Spaltabstand a.

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