Ganzzahlige Division mit Rest

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Ganzzahlige Division mit Rest"

Transkript

1 Modulare Arithmetik Slide 1 Ganzzahlige Division mit Rest Für a,b Æ mit a b gibt es stets eine Zerlegung von a der Form a = q b+r mit 0 r b 1. Hierbei gilt q = a b (salopp formuliert: b passt q-mal in a rein) und r = a q b ist der ganzzahlige Rest. Zum Beispiel gilt für a = 99 und b = 15: 99 = Somit: q = 6 und r = 9.

2 Modulare Arithmetik Slide 2 Schema des Euklidischen Algorithmus Berechnung des ggt(a 0,a 1 ) durch iterierte ganzzahlige Division mit Rest a 0 = q 1 a 1 +a 2 a 2 = q 1 a 1 +a 0 a 1 = q 2 a 2 +a 3 a 3 = q 2 a 2 +a 1 a i = q i+1 a i+1 +a i+2 a i+2 = q i+1 q i+1 a i+1 +a i a k 2 = q k 1 a k 1 +a k a k = q k 1 a k 1 +a k 2 a k 1 = q k a k Es gilt dann ggt(a 0,a 1 ) = ggt(a 1,a 2 ) = = ggt(a k 2,a k 1 ) = ggt(a k 1,a k ) = a k und a k = x i a i+1 +y i a i für geeignete x i,y i.

3 Modulare Arithmetik Slide 3 ggt als ganzzahlige Linearkombination Aus dem Schema des Euklidischen Algorithmus ergibt sich folgende rekursive Berechnung der x i,y i (zu Herleitung s. unten): x k 2 = q k 1 und y k 2 = 1 x i = y i+1 x i+1 q i+1 und y i = x i+1 berechnet werden. Insbesondere gilt: ggt(a 0,a 1 ) = a k = x 0 a 1 +y 0 a 0. Induktive Herleitung der Rekursionsformel: Aus a i+2 = q i+1 a i+1 +a i und a k = x i+1 a i+2 +y i+1 a i+1 ergibt sich a k = x i+1 ( q i+1 a i+1 +a i )+y i+1 a i+1 = (y i+1 q i+1 x i+1 ) a i+1 +x i+1 a }{{}}{{} i. =:x i =:y i

4 Modulare Arithmetik Slide 4 Beispiellauf zum erweiterten Euklidischen Algorithmus Zur Berechnung von ggt(392,252) erhalten wir mit a 0 = 392, a 1 = 252 unter Anwendung von x k 2 = q k 1 und y k 2 = 1 und die folgende Rechnung: x i = y i+1 x i+1 q i+1 und y i = x i+1 i a i a i+1 q i+1 = a i /a i+1 x i y i Test: 28 = ggt(392,252) = =

5 Modulare Arithmetik Slide 5 kgv-berechnung Invertieren modulo m Simultane Kongruenzen Restklassenringe Modulare Arithmetik Euler sche Funktion Sätze von Fermat und Euler

6 Modulare Arithmetik Slide 6 kgv-berechnung Aus den Primfaktorzerlegungen r a = i=1 p e i i und b = r i=1 mit ganzen Zahlen e i,f i 0 ergibt sich r ggt(a,b) = p min{e i,f i } i und kgv(a,b) = und somit i=1 p f i i a b = ggt(a,b) kgv(a,b). r i=1 p max{e i,f i } i Ein Algorithmus zur Berechnung des ggt liefert damit auch die Berechnung von ab kgv(a,b) = ggt(a,b).

7 Modulare Arithmetik Slide 7 (Multiplikative) Invertierbarkeit von zu m teilerfremden Zahlen Problemstellung: Gegeben a m mit ggt(a,m) = 1, finde b m mit ab 1 (mod m). Lösungsmethode: Bestimme mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus x,y mit Hieraus folgt: Setze b := x mod m. ax+my = ggt(a,m) = 1. 1 ax+my ax+0 ax (mod m).

8 Modulare Arithmetik Slide 8 Nicht-Invertierbarkeit von zu m nicht teilerfremden Zahlen Betrachte ein a m mit ggt(a,m) = d 2 und setze b = m d m \{0} und c = a d m. Dann gilt: a b a m d a m c m 0 (mod m) d Wegen a b 0 mit b 0 heißt a ein Nullteiler. Falls zusätzlich a 0, dann heißt a ein nicht-trivialer Nullteiler. Ein Nullteiler kann wegen kein Inverses x mit x a 1 besitzen. (x a) b x (a b) x 0 0 Schlussfolgerung: Ein kleinster Rest modulo m ist genau dann invertierbar, wenn er zu m teilerfremd ist.

9 Modulare Arithmetik Slide 9 Erfüllen simultaner Kongruenzen Problemstellung: Für paarweise teilerfremde m 1,...,m k und m = k i=1 m i finde x m mit x b 1 (mod m 1 ),...,x b k (mod m k ). Lösungsmethode: 1. Bestimme M i = m/m i und M i = M i mod m i für i = 1,...,k. Es gilt: ggt(m i,m i ) = ggt(m i,m i) = 1 und M i 0 (mod m j ) für alle j i. 2. Bestimme x i mit x i M i 1 (mod m i) für i = 1,...,k. Verwende hierzu den erweiterten Euklidischen Algorithmus oder Raten und Verifizieren. 3. Bestimme u i = x i M i mod m für i = 1,...,k. Es gilt: u i 1 (mod m i ) und u i 0 (mod m j ) für alle j i. 4. Bestimme die Lösung x = k i=1 u ib i mod m. Lösung in m ist eindeutig! Warum?

10 Modulare Arithmetik Slide 10 Chinesischer Restsatz Für paarweise teilerfremde m 1,...,m k und m = k i=1 m i gibt es für jede Wahl von b 1 m1,...,b k mk genau ein x m, das die simultanen Kongruenzen erfüllt. x b 1 (mod m 1 ),...,x b k (mod m k )

11 Modulare Arithmetik Slide 11 Beispiellauf zum Chinesischen Restsatz Für m 1 = 8,m 2 = 9,m 3 = 5 und m = m 1 m 2 m 3 = = 360 suchen wir nach einem x m, das die simultanen Kongruenzen x 7 (mod 8), x 1 (mod 9), x 3 (mod 5) erfüllt. Dazu gehen wir vor wie folgt: 1. M 1 = m 2 m 3 = 9 5 = 45,M 2 = m 1 m 3 = 8 5 = 40,M 3 = m 1 m 2 = 8 9 = 72. M 1 = 45 mod 8 = 5, M 2 = 40 mod 9 = 4, M 3 = 72 mod 5 = Wegen (mod 8), (mod 9) und (mod 5) gilt x 1 = 5, x 2 = 7 und x 3 = u 1 = 5 45 mod 360 = 225, u 2 = 7 40 mod 360 = 280, u 3 = 3 72 mod 360 = x = mod 360 = 343.

12 Modulare Arithmetik Slide 12 Eine Kollektion von abstrakten Rechenregeln 1. a,b,c M : (a+b)+c = a+(b+c) M, a M : 0+a = a+0 = a. 3. a M, a M : ( a)+a = a+( a) = a,b M : a+b = b+a. 5. a,b,c M : (a b) c = a (b c). 6. a,b,c M : a (b+c) = a b+a c und (b+c) a = b a+c a M, a M : 1 a = a 1 = a. 8. a,b M : a b = b a. 9. a M \{0}, a 1 M \{0} : a 1 a = a a 1 = 1. Hierbei steht M für (irgend-)eine Menge mit (irgendwie definierten) binären Operationen + und.

13 Modulare Arithmetik Slide 13 Gruppen, Ringe und Körper (M, +) ist eine (additive) Gruppe 1.,2.,3. (M, +) ist eine (additive) abelsche Gruppe 1.,2.,3.,4. (M,+, ) ist ein Ring 1.,...,6. (M,+, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselement 1.,...,8. (M,+, ) ist ein Körper 1.,...,9. Beispiele für kommutative Ringe mit Einselement: (,+, ) und ( m,+, ). In ( m,+, ) ist für a 0 das additive Inverse a identisch mit m a: a+(m a) = m 0 (mod m). Beispiele für Körper: (É,+, ), (Ê,+, ) und (,+, ).

14 Modulare Arithmetik Slide 14 Prime Restklassen In gibt es multiplikative Inverse a 1 nur für a {1, 1}. In m hingegen sind genau die zu m teilerfremden kleinsten Reste invertierbar. Wir definieren: m = {a m x m : a x 1 (mod m)} = {a m ggt(a,m) = 1} Bemerkung ( m, ) ist eine (multiplikative) abelsche Gruppe genannt die Gruppe der primen Restklassen. Folgerung: Für eine Primzahl p gilt p = p \{0}. Somit ist ( p,+, ) ein Körper.

15 Modulare Arithmetik Slide 15 Beispiel: Prime Restklassen modulo 9 Die Multiplikationstafel für 9 = {1,2,4,5,7,8} sieht aus wie folgt: Es gilt:: (mod 9). Also sind 3 und 6 in 9 nicht-triviale Nullteiler.

16 Modulare Arithmetik Slide 16 Algebraische Struktur der Restklassenringe Für paarweise teilerfremde m 1,...,m k und m = k i=1 m i ist Abbildung h : m m1 mk, gegeben durch h(a) = (a mod m 1,...,a mod m k ), eine Bijektion und erfüllt die Homomorphiebedingung h(a+b) = h(a)+h(b) und h(a b) = h(a) h(b), d.h., die Ringe ( m,+, ) und ( m1 mk,+, ) sind isomorph (strukturgleich): ( m,+, ) ( m1 mk,+, ). Analog liefert h eingeschränkt auf m einen Gruppenisomorphismus: ( m, ) ( m 1 m k, ).

17 Modulare Arithmetik Slide 17 Modulare Arithmetik Ansatz Sei m = k i=1 m i für paarweise teilerfremde m i (zum Beispiel die Primzahlpotenzen der Primfaktorzerlegung von m). Rechnen modulo m 1,...,m k (kleine Zahlen) ist leichter als Rechnen modulo m (große Zahlen). Führe also die Rechnung modulo der m i aus und übertrage das Ergebnis mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes in m. Beispiel: m = 360 = Um mod 360 zu berechnen, nutze eine Hilfsabbildung h : und gehe vor wie folgt: h (199 mod 8,199 mod 9,199 mod 5) = (7,1,4), 217 h (217 mod 8,217 mod 9,217 mod 5) = (1,1,2). 2. (7,1,4) (1,1,2) = (7,1,3) in (7,1,3) h (Hierzu s. den früheren Beispiellauf zum chinesischen Restsatz.)

18 Modulare Arithmetik Slide 18 Die Euler sche Funktion Die Funktion ϕ, gegeben durch ϕ(m) := m, heißt Euler sch. Für eine Primzahl p gilt ϕ(p) = p 1. Da die nicht zu p teilerfremden Zahlen in p r gerade die Zahlen 0,p,2p,...,(p r 1 1)p sind (p r 1 viele), gilt ϕ(p r ) = p r p r 1 = (p 1)p r 1. Für m mit Primfaktorzerlegung m = k i=1 pr i i ergibt ( sich wegen m, ) p r ( 1 1 p m k, ): k ϕ(m) = k k ϕ(p r i i ) = (p i 1)p r i 1 i=1 i=1 i.

19 Modulare Arithmetik Slide 19 Der kleine Satz von Fermat Satz (Fermat): n 2 ist genau dann eine Primzahl, wenn die Bedingung erfüllt ist. a n \{0} : a n 1 1 (mod n)

20 Modulare Arithmetik Slide 20 Der Satz von Euler Satz (Euler): Für alle n 2 und alle a n gilt a ϕ(n) 1 (mod n). Folgerung: Bei einer Potenz modulo n mit einer Basis aus n darf man im Exponenten modulo ϕ(n) rechnen. Beispiel: Bei Rechnungen modulo 13 dürfen wir zur Basis 7 im Exponenten modulo 12 rechnen: mod (mod 13).

kgv-berechnung Invertieren modulo m Simultane Kongruenzen Restklassenringe Modulare Arithmetik Euler sche Funktion Sätze von Fermat und Euler

kgv-berechnung Invertieren modulo m Simultane Kongruenzen Restklassenringe Modulare Arithmetik Euler sche Funktion Sätze von Fermat und Euler Modulare Arithmetik Slide 5 kgv-berechnung Invertieren modulo m Simultane Kongruenzen Restklassenringe Modulare Arithmetik Euler sche Funktion Sätze von Fermat und Euler Modulare Arithmetik Slide 6 kgv-berechnung

Mehr

ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe.

ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe. ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe. Das heißt, um den ggt von zwei 1000-Bit-Zahlen zu ermitteln,

Mehr

Seminar zum Thema Kryptographie

Seminar zum Thema Kryptographie Seminar zum Thema Kryptographie Michael Hampton 11. Mai 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 1.1 Konventionen.................................. 3 1.2 Wiederholung.................................. 3

Mehr

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie Kapitel 3 Elementare Zahletheorie 89 Kapitel 3.1 Ganze Zahlen, Gruppen und Ringe 90 Die ganzen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Z={..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Es gibt zwei Operationen Addition: Z Z Z, (a,b)

Mehr

Algebraische Strukturen

Algebraische Strukturen Algebraische Strukturen Eine kommutative Gruppe (G, ) ist eine Menge G, auf der eine Verknüpfung (ein zweistelliger Operator) deniert ist (d. h. zu a, b G ist a b G deniert), welche bestimmten Regeln genügt

Mehr

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich. 3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es

Mehr

Der chinesische Restsatz mit Anwendung

Der chinesische Restsatz mit Anwendung Der chinesische Restsatz mit Anwendung Nike Garath n.garath@gmx.de Martrikelnummer: 423072 Seminar: Verschlüsslungs- und Codierungstheorie Dozent: Dr. Thomas Timmermann Sommersemester 2017 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Vorlesung Mathematik 2 für Informatik

Vorlesung Mathematik 2 für Informatik Vorlesung Mathematik 2 für Informatik Inhalt: Modulare Arithmetik Lineare Algebra Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Vektorräume, lineare Abbildungen Orthogonalität Eigenwerte und Eigenvektoren

Mehr

Kanonische Primfaktorzerlegung

Kanonische Primfaktorzerlegung Mathematik I für Informatiker Zahlen p. 1 Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl n kann auf eindeutige Weise in der Form n = p α 1 1 pα 2 2... pα k k geschrieben werden, wobei k N 0, α i N

Mehr

Euklidische Algorithmus, Restklassenringe (Z m,, )

Euklidische Algorithmus, Restklassenringe (Z m,, ) Euklidische Algorithmus, Restklassenringe (Z m,, ) Manfred Gruber http://www.cs.hm.edu/~gruber SS 2008, KW 14 Gröÿter gemeinsamer Teiler Denition 1. [Teiler] Eine Zahl m N ist Teiler von n Z, wenn der

Mehr

Diskrete Mathematik Kongruenzen

Diskrete Mathematik Kongruenzen Diskrete Mathematik Kongruenzen 31. Mai 2006 1 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 2. Prime Restklassen 3. Die Sätze von Euler und Fermat 4. Lineare Kongruenzen 5. Systeme 2 Einleitung 3 Fragestellung Wie

Mehr

WIEDERHOLUNG (BIS ZU BLATT 7)

WIEDERHOLUNG (BIS ZU BLATT 7) Universität Bielefeld SS 2016 WIEDERHOLUNG (BIS ZU BLATT 7) JULIA SAUTER Wir wiederholen, welche Aufgabentypen bis zu diesem Zeitpunkt behandelt worden sind. Auf der nächsten Seite können Sie sich selber

Mehr

Äquivalenzrelation. Tischler-Problem. Euklidischer Algorithmus. Erweiterter euklidischer Algorithmus. Lineare diophantische Gleichung

Äquivalenzrelation. Tischler-Problem. Euklidischer Algorithmus. Erweiterter euklidischer Algorithmus. Lineare diophantische Gleichung Äquivalenzrelation Tischler-Problem Euklidischer Algorithmus Erweiterter euklidischer Algorithmus Lineare diophantische Gleichung Rechnen mit Resten Restklassen Teilbarkeit in Z Beispiel einer Kongruenzgleichung

Mehr

Algebraische Strukturen. Idee. Gruppen, Ringe, Körper... (Teschl/Teschl Abschnitt 3.2, siehe auch Kap. 4)

Algebraische Strukturen. Idee. Gruppen, Ringe, Körper... (Teschl/Teschl Abschnitt 3.2, siehe auch Kap. 4) Algebraische Strukturen Gruppen, Ringe, Körper... (Teschl/Teschl Abschnitt 3.2, siehe auch Kap. 4) Idee Formalisierung von Strukturen, die in verschiedenen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen

Mehr

5 Grundlagen der Zahlentheorie

5 Grundlagen der Zahlentheorie 5 Grundlagen der Zahlentheorie 1 Primfaktorzerlegung Seienm, n N + := {k N k > 0} Man schreibt n n, gesprochen m teilt n oder m ist ein Teiler von n, wenn es eine positive natürliche Zahl k gibt mit mk

Mehr

Lösungen der Aufgaben

Lösungen der Aufgaben Lösungen der Aufgaben Aufgabe 1.3.1 Es gibt 42 mögliche Verschlüsselungen. Aufgabe 2.3.4 Ergebnisse sind 0, 4 und 4 1 = 4. Aufgabe 2.3.6 Da in Z 9 10 = 1 ist, erhalten wir x = c 0 + + c m = c 0 + + c m.

Mehr

3. Diskrete Mathematik

3. Diskrete Mathematik Diophantos von Alexandria um 250 Georg Cantor 1845-1918 Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit,

Mehr

ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE FÜR LAK Kapitel 2: Kongruenzen und Restklassen

ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE FÜR LAK Kapitel 2: Kongruenzen und Restklassen ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE FÜR LAK Kapitel 2: Kongruenzen und Restklassen 621.242 Vorlesung mit Übung im WS 2015/16 Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens-Universität

Mehr

Interim. Kapitel Einige formale Definitionen

Interim. Kapitel Einige formale Definitionen Kapitel 1 Interim Da ich keine Infos über Titel und Nummerierungen anderer Kapitel dieser Vorlesung habe, nenne ich dies einfach mal Kapitel 1. 17.11.04 1.1 Einige formale Definitionen Wir rekapitulieren

Mehr

1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl

1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematik Sommersemester 2017 Seminar: Verschlüsselungs- und Codierungstheorie Leitung: Thomas Timmermann 1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl

Mehr

2011W. Vorlesung im 2011W Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

2011W. Vorlesung im 2011W  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz und Was ist? Mathematik und Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/ml und Was ist? Inhalt Was ist? und Was ist? Das ist doch logisch!

Mehr

Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n

Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Fachbereich Mathematik WS 2010/2011 Prof. Dr. Kollross 19. November 2010 Dr. Le Roux Dipl.-Math. Susanne Kürsten Aufgaben In diesem Tutrorium soll

Mehr

Kapitel III Ringe und Körper

Kapitel III Ringe und Körper Kapitel III Ringe und Körper 1. Definitionen und Beispiele Definition 117 Eine Algebra A = S,,, 0, 1 mit zwei zweistelligen Operatoren und heißt ein Ring, falls R1. S,, 0 eine abelsche Gruppe mit neutralem

Mehr

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n Definitionen Die Ringe Z n für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: Beispiel n = 15 + n : Z n Z n Z n : (a, b) (a + b) mod n n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n 9 + 15 11 = 5 9 15 11 = 9

Mehr

χ a : N + {0, 1, 1} {( a χ a (n) = χ a (n ). ψ(mn) < ψ(m)ψ(n).

χ a : N + {0, 1, 1} {( a χ a (n) = χ a (n ). ψ(mn) < ψ(m)ψ(n). September 007, Zahlentheorie 1 a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz einschließlich der Definitionen der Legendre- und Jacobi-Symbole. b) Für a Z \ {0} definieren wir durch χ a (n) =

Mehr

1 Der Ring der ganzen Zahlen

1 Der Ring der ganzen Zahlen 1 Der Ring der ganzen Zahlen Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt. Deswegen müssen wir die an sich

Mehr

Kongruenz ist Äquivalenzrelation

Kongruenz ist Äquivalenzrelation Kongruenz ist Äquivalenzrelation Lemma Kongruenz ist Äquivalenzrelation Die Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation auf Z. D.h. für alle a, b, c Z gilt 1 Reflexivität: a a mod n 2 Symmetrie: a b

Mehr

Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion

Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion Äquivalenzrelation Nehmen wir die Menge A = {,,,,,,,,}, z.b. nummerierte Personen. Unter Berücksichtigung

Mehr

Einführung in die Zahlentheorie

Einführung in die Zahlentheorie Einführung in die Zahlentheorie von Peter Hellekalek Institut für Mathematik Universität Salzburg Hellbrunner Straße 34 A-5020 Salzburg, Austria Tel: +43-(0)662-8044-5310 Fax: +43-(0)662-8044-137 e-mail:

Mehr

15 Grundlagen der Idealtheorie

15 Grundlagen der Idealtheorie 15 Grundlagen der Idealtheorie Definition und Lemma 15.1. Sei R ein Ring, S R. x R nennt man eine R-Linearkombination von Elementen in) S falls n N 0, s 1,..., s n S, λ 1,..., λ n R mit x = n i=1 λ is

Mehr

7 Der kleine Satz von Fermat

7 Der kleine Satz von Fermat 7 Der kleine Satz von Fermat Polynomkongruenz modulo p. Sei p eine Primzahl, n 0 und c 0,..., c n Z. Wir betrachten die Kongruenz ( ) c 0 + c 1 X +... + c n 1 X n 1 + c n X n 0 mod p d.h.: Wir suchen alle

Mehr

Elemente der Algebra

Elemente der Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 16 Der Chinesische Restsatz für Z Satz 16.1. Sei n eine positive natürliche Zahl mit anonischer Primfatorzerlegung 1 p r 2 2 p r (die

Mehr

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe 2. Kongruenzen und Restklassenringe Kongruenzen Definition: Wir sagen a ist kongruent zu b modulo m schreiben a b mod m, wenn m die Differenz b-a te Beispiel: Es gilt 2 19 mod 21, 10 0 mod 2. Reflexivität:

Mehr

Mathematik III. (für Informatiker) Oliver Ernst. Wintersemester 2014/15. Professur Numerische Mathematik

Mathematik III. (für Informatiker) Oliver Ernst. Wintersemester 2014/15. Professur Numerische Mathematik Mathematik III (für Informatiker) Oliver Ernst Professur Numerische Mathematik Wintersemester 2014/15 Inhalt 10 Differentialgleichungen 11 Potenz- und Fourier-Reihen 12 Integraltransformationen 13 Algebraische

Mehr

Der kleine Satz von Fermat

Der kleine Satz von Fermat Der kleine Satz von Fermat Luisa-Marie Hartmann 5. Mai 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Hauptteil 4 2.1 Prime Restklassengruppen............................ 4 2.2 Ordnung von Gruppenelementen........................

Mehr

Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen 168/558 c Ernst W. Mayr

Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen 168/558 c Ernst W. Mayr Bemerkung: Der folgende Abschnitt Boolesche Algebren ist (im WS 2010/11) nicht Teil des Prüfungsstoffs, soweit nicht Teile daraus in der Übung behandelt werden! Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen

Mehr

$Id: ring.tex,v /05/03 15:13:26 hk Exp $

$Id: ring.tex,v /05/03 15:13:26 hk Exp $ $Id: ring.tex,v 1.13 2012/05/03 15:13:26 hk Exp $ 3 Ringe 3.1 Der Ring Z m In der letzten Sitzung hatten wir die sogenannten Ringe eingeführt, dies waren Mengen A versehen mit einer Addition + und einer

Mehr

1 Der Ring der ganzen Zahlen

1 Der Ring der ganzen Zahlen 1 Der Ring der ganzen Zahlen Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt. Deswegen müssen wir die an sich

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie Prof. Dr. Sebastian Iwanowski DM4 Folie 1 Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 4: Zahlentheorie Beutelspacher 5 Lang 7, Biggs 20, 22, 23 (jeweils teilweise,

Mehr

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0.

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0. Def 4 Eine Menge K mit zwei Abbildungen + : K K K und : K K K (heißen Addition und Multiplikation; wir werden a b bzw a+b statt (a,b), +(a,b) schreiben) ist ein kommutativer Ring, falls: (R1) (K, +) ist

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen WS 2010/11 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2010ws/ds/uebung/ 1. Dezember 2010 ZÜ DS ZÜ VI Übersicht: 1.

Mehr

9. Primitivwurzeln. O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie

9. Primitivwurzeln. O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie 9. Primitivwurzeln 9.1. Satz. Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung m und g G ein erzeugendes Element. Das Element a := g k, k Z, ist genau dann ein erzeugendes Element von G, wenn k zu m teilerfremd

Mehr

Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014

Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Diskrete Strukturen WS 2013/2014 Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Thomas Vetterlein Institut für Wissensbasierte Mathematische Systeme Johannes-Kepler-Universität Linz 10.1 Die Modulo-n-Relation Definition

Mehr

Asymmetrische Kryptographie u

Asymmetrische Kryptographie u Asymmetrische Kryptographie u23 2015 Simon, Florob e.v. https://koeln.ccc.de Cologne 2015-10-05 1 Zahlentheorie Modulare Arithmetik Algebraische Strukturen Referenzprobleme 2 Diffie-Hellman Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch

Mehr

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte)

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte) Aufgabe 1 (6 Punkte) Einführung in Algebra und Zahlentheorie svorschläge zur Klausur vom 23.09.2016 a) Bestimmen Sie das multiplikativ inverse Element zu 22 in Z/61Z. b) Finden Sie ein x Z mit folgenden

Mehr

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen 3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern

Mehr

3. Diskrete Mathematik

3. Diskrete Mathematik Diophantos von Alexandria, um 250 Georg Cantor, 1845-1918 Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit,

Mehr

Bitte tragen Sie zuerst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein.

Bitte tragen Sie zuerst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Klausur zur Vorlesung Zahlentheorie 21. Juli 2010 12 Uhr 15 14 Uhr 00 Ruhr-Universität Bochum PD. Dr. Claus Mokler Bitte tragen Sie zuerst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Name,

Mehr

1.1.1 Konstruktion der ganzen Zahlen, Vertretersystem (nicht-negative und negative ganze Zahlen)

1.1.1 Konstruktion der ganzen Zahlen, Vertretersystem (nicht-negative und negative ganze Zahlen) Zahlentheorie LVA 405.300 C. Fuchs Inhaltsübersicht 26.06.2013 Inhaltsübersicht Die Zahlentheorie gehört zu den Kerngebieten der Mathematik und steht historisch und thematisch in ihrem Zentrum. Es geht

Mehr

Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Zahlentheorie. Vorlesung 4. Die Restklassenringe Z/(n)

Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Zahlentheorie. Vorlesung 4. Die Restklassenringe Z/(n) Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2008 Zahlentheorie Vorlesung 4 Die Restklassenringe Z/(n) Satz 4.1. (Einheiten modulo n) Genau dann ist a Z eine Einheit modulo n (d.h. a repräsentiert eine Einheit in

Mehr

3. Der größte gemeinsame Teiler

3. Der größte gemeinsame Teiler Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 18 3. Der größte gemeinsame Teiler (3.1) DEF: a und b seien beliebige ganze Zahlen. a) Eine ganze Zahl t heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gilt t a und t

Mehr

Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema. Torsten Büchner

Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema. Torsten Büchner Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema Torsten Büchner 7.12.2004 1.Einleitung 1. symmetrische-, asymmetrische Verschlüsselung 2. RSA als asymmetrisches Verfahren 2.Definition von Begriffen 1. Einwegfunktionen

Mehr

Kapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit

Kapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit Kapitel 2 Ganze Zahlen In diesem Kapitel setzen wir voraus, dass die Menge Z der ganzen Zahlen, ihre Ordnung und die Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen dem Leser vertraut sind.

Mehr

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Felix Teufel Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Felix Teufel 26.07.2017 Hallo Welt! -Seminar - LS 2 Überblick Modulare Arithmetik Größter gemeinsamer Teiler Primzahlen Eulersche Φ-Funktion RSA Quellen 26.07.2017

Mehr

Diskrete Mathematik. Christina Kohl Georg Moser Oleksandra Panasiuk Christian Sternagel Vincent van Oostrom

Diskrete Mathematik. Christina Kohl Georg Moser Oleksandra Panasiuk Christian Sternagel Vincent van Oostrom Diskrete Mathematik Christina Kohl Georg Moser Oleksandra Panasiuk Christian Sternagel Vincent van Oostrom Institut für Informatik @ UIBK Sommersemester 2017 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten

Mehr

3. Ringtheorie. 3.1 Definition, Ideale, Kongruenzen

3. Ringtheorie. 3.1 Definition, Ideale, Kongruenzen 20 3. Ringtheorie 3.1 Definition, Ideale, Kongruenzen Definition 1. a) Eine nicht leere Menge R gemeinsam mit zwei Verknüpfungen + und heißt ein Ring (mit Einselement), wenn folgendes gilt: (R1) (R, +)

Mehr

Einführung in Algebra und Zahlentheorie

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Institut für Algebra und Geometrie 05. September 2013 Klausur zur Vorlesung Einführung in Algebra und Zahlentheorie Name, Vorname: Matrikelnummer: Fachrichtung: Semester: Zur Bearbeitung: Verwenden Sie

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 15 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie Wir beweisen nun, dass sich jede natürliche Zahl in eindeutiger Weise als Produt

Mehr

Form der Äquivalenzklassen

Form der Äquivalenzklassen Form der Äquivalenzklassen Anmerkung: Es gilt a = a ± m = a ± 2m =... = a + km mod m für alle k Z. Wir schreiben auch {x Z x = a + mk, k Z} = a + mz. Es gibt m verschiedene Äquivalenzklassen modulo m:

Mehr

Kapitel 2: Multiplikative Funktionen. 3 Multiplikative Funktionen. Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion)

Kapitel 2: Multiplikative Funktionen. 3 Multiplikative Funktionen. Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion) Kapitel 2: Multiplikative Funktionen 3 Multiplikative Funktionen Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion) (a) Eine Funktion α : Z >0 C heißt arithmetisch (oder zahlentheoretisch).

Mehr

Man schreibt auch a b statt a + ( b). Beispiel A = {0,1,2,3} als abelsche Gruppe

Man schreibt auch a b statt a + ( b). Beispiel A = {0,1,2,3} als abelsche Gruppe 9 Wichtige Sätze und Definitionen zu 3: Gruppen, Ringe und Körper aus der Vorlesung: LV-NR 150 239 Veranstaltung Diskrete Mathematik II, 4.0 std Dozent Holtkamp, R. 3.1 a) (A, ) sei Monoid mit neutralem

Mehr

Lösung zur Klausur zu Krypographie Sommersemester 2005

Lösung zur Klausur zu Krypographie Sommersemester 2005 Lösung zur Klausur zu Krypographie Sommersemester 2005 1. Bestimmen Sie die zwei letzten Ziffern der Dezimaldarstellung von 12 34 Es gilt: 12 34 = 12 32+2 = 12 32 12 2 = 12 (25) 12 2 = ((((12 2 ) 2 ) 2

Mehr

30 Ringe und Körper Motivation Definition: Ring. Addition und eine. Häufig gibt es auf einer Menge zwei Verknüpfungen: eine

30 Ringe und Körper Motivation Definition: Ring. Addition und eine. Häufig gibt es auf einer Menge zwei Verknüpfungen: eine 30 Ringe und Körper 30.1 Motivation Häufig gibt es auf einer Menge zwei Verknüpfungen: eine Addition und eine Multiplikation. Beispiele: (Z, +, ) hier gibt es sogar noch eine Division mit Rest. (IR, +,

Mehr

Rechnen modulo n. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden

Rechnen modulo n. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden Rechnen modulo n Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl n > 0 kann auf eindeutige Weise in der

Mehr

1.4 Gruppen, Ringe, Körper

1.4 Gruppen, Ringe, Körper 14 Gruppen, Ringe, Körper Definition 141 Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M : (a, b a b Die Verknüpfung heißt assoziativ falls gilt: a (b c = (a b c a, b, c M; kommutativ falls

Mehr

Folien der 15. Vorlesungswoche

Folien der 15. Vorlesungswoche Folien der 15. Vorlesungswoche Mathematische Analyse von RSA I (1) Wir wählen zwei große Primzahlen p und q (p q) und setzen n = p q. Wir arbeiten von nun an in Z n und berücksichtigen, dass wie später

Mehr

3-1 Elementare Zahlentheorie

3-1 Elementare Zahlentheorie 3-1 Elementare Zahlentheorie 3. Der Restklassenring Z/n und seine Einheitengruppe 3.0. Erinnerung: Teilen mit Rest, euklidscher Algorithmus, Bézoutsche Gleichung. Sei n eine feste natürliche Zahl. Sei

Mehr

5. Der größte gemeinsame Teiler

5. Der größte gemeinsame Teiler Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2017) 22 5. Der größte gemeinsame Teiler (5.1) DEF: a und b seien beliebige ganze Zahlen. a) Eine ganze Zahl t heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gilt t a und t

Mehr

Ringe. Kapitel Einheiten

Ringe. Kapitel Einheiten Kapitel 8 Ringe Die zahlreichen Analogien zwischen Matrizenringen und Endomorphismenringen (beides sind zugleich auch Vektorräume) legen es nahe, allgemeinere ringtheoretische Grundlagen bereitzustellen,

Mehr

Elemente der Algebra und Zahlentheorie

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Manuskript zur Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie gehalten an der U n i v e r s i t ä t R o s t o c k von Prof. Dr. Dieter Neßelmann Rostock, Oktober 008 Fassung vom 16. November 009 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie

Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie 1.0 Teilbarkeit In diesem Abschnitt werden wir einerseits die ganzen Zahlen an sich studieren und dabei besonders wichtige Zahlen, die Primzahlen, entsprechend

Mehr

7. Kongruenzrechnung Definition: Proposition: Korollar: Beispiel: b ( a kongruent b modulo n ) auf Z, definiert durch:

7. Kongruenzrechnung Definition: Proposition: Korollar: Beispiel: b ( a kongruent b modulo n ) auf Z, definiert durch: 7. Kongruenzrechnung 7. 1. Definition: Für n N sei die Relation: n a n b ( a kongruent b modulo n ) auf Z, definiert durch: a n b : n ( a b) a b ( mod n) Dies ist eine Äquivalenzrelation auf Z. Die Menge

Mehr

Beispiel 85. Satz 86 Eine Unteralgebra (bzgl. ) einer Gruppe ist eine Untergruppe, falls sie unter der Inversenbildung 1 abgeschlossen ist.

Beispiel 85. Satz 86 Eine Unteralgebra (bzgl. ) einer Gruppe ist eine Untergruppe, falls sie unter der Inversenbildung 1 abgeschlossen ist. 5.4 Untergruppen Definition 84 Eine Unteralgebra T,, 1 einer Gruppe G = S,, 1 heißt Untergruppe von G, falls T,, 1 eine Gruppe ist. Bemerkung: Nicht jede Unteralgebra einer Gruppe ist eine Untergruppe!

Mehr

1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt:

1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt: 1 Körper Sie kennen bereits 2 Beispiele von Zahlkörpern: (Q, +, ) (R, +, ) die rationalen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation die reellen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation Vielleicht

Mehr

Hast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor du dir die Lösungen anschaust!

Hast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor du dir die Lösungen anschaust! Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 1 14. Aufgabenblatt ZAHLENTHEORIE (für Master G und HRG) Lösungen Hast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor

Mehr

Prof. S. Krauter Endliche Geometrie. SS 05. Blatt Wiederholen Sie die Abschnitte zum Rechnen mit Restklassen aus der Einführungsveranstaltung.

Prof. S. Krauter Endliche Geometrie. SS 05. Blatt Wiederholen Sie die Abschnitte zum Rechnen mit Restklassen aus der Einführungsveranstaltung. Prof. S. Krauter Endliche Geometrie. SS 05. Blatt03 1. Wiederholen Sie die Abschnitte zum Rechnen mit Restklassen aus der Einführungsveranstaltung. 2. Die zahlentheoretische Kongruenz ist folgendermaßen

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

für alle a, b, x, y R.

für alle a, b, x, y R. Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 33 1.5 Ringe Definition 1.5.1 Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, genannt Addition und Multiplikation, für die folgendes

Mehr

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Monika Huber 24.6.2015 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 24.6.2015 1 / 52 Übersicht Modulare Arithmetik Größter gemeinsamer Teiler Primzahlen

Mehr

3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung

3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung 1 3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung Das Wort Kryptographie leitet sich aus der griechischen Sprache ab, nämlich aus den beiden Worten κρυπτ oς(kryptos)=versteckt, geheim und γραϕɛιν(grafein)=schreiben.

Mehr

Folien der 14. Vorlesungswoche

Folien der 14. Vorlesungswoche Folien der 14. Vorlesungswoche Ein Beispiel: Z 6 Im allgemeinen ist der Ring Z m kein Körper. Wie uns aus der allerdings nichtkommutativen Situation der Matrixringe M n (R) schon bekannt ist, kann das

Mehr

Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren

Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren Herwig Stütz 2007-11-23 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Das RSA-Verfahren 2 2.1 Schlüsselerzeugung.................................

Mehr

Angewandte Diskrete Mathematik

Angewandte Diskrete Mathematik Vorabskript zur Vorlesung Angewandte Diskrete Mathematik Wintersemester 2010/ 11 Prof. Dr. Helmut Maier Dipl.-Math. Hans- Peter Reck Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Universität

Mehr

= 1. Falls ( a n. ) r i. i=1 ( b p i

= 1. Falls ( a n. ) r i. i=1 ( b p i Das Jacobi-Symbol Definition Jacobi-Symbol Sei n N ungerade mit Primfaktorzerlegung n = s definieren das Jacobi-Symbol ( a ( ) ri n) := s a i=1 p i. i=1 pr i i. Wir Anmerkungen: Falls a quadratischer Rest

Mehr

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln... Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen

Mehr

Wiederholungsblatt zur Gruppentheorie

Wiederholungsblatt zur Gruppentheorie Wiederholungsblatt zur Gruppentheorie von Christian Elsholtz, TU Clausthal, WS 1999/2000 Um Ihnen zu helfen, die Gruppentheorie zu wiederholen, stelle ich hier einige wichtige Beispiele und einige Lösungen

Mehr

1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2016

1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2016 1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2016 1. Sei n IN eine natürliche Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: (a) 1+2+3+...+(n 1)+n = n(n+1), 2 (b) 1+4+9+...+(n 1) 2 +n 2 = n(n+1)(2n+1), 6

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring

Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring Vorlesung Diskrete Strukturen Gruppe und Ring Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung in

Mehr

$Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $

$Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.13 2012/04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v 1.11 2012/04/24 15:35:17 hk Exp $ 2 Gruppen 2.3 Zyklische Gruppen Wir hatten am Ende der letzten Sitzung bewiesen, dass in einer endlichen

Mehr

5 Restklassen. Restklasse siehe unten.) (Zum Namen

5 Restklassen. Restklasse siehe unten.) (Zum Namen 5 Restklassen Definition 5.1 Seien a, m Z. Die Restklasse von a modulo m ist die bekannte Teilmenge a + mz von Z. Sie wird auch mit (a mod m) bezeichnet. (Zum Namen Restklasse siehe unten.) Bemerkungen

Mehr

2.4. Kongruenzklassen

2.4. Kongruenzklassen DEFINITION 2.4.1. kongruent modulo 2.4. Kongruenzklassen Wikipedia:1707 wurde Euler als der älteste Sohn des Pfarrers Paul Euler geboren. Er besuchte das Gymnasium in Basel und nahm gleichzeitig Privatunterricht

Mehr

SCHRIFTLICHE ZUSAMMENFASSUNG ZUM VORTRAG DIE GRUNDLAGEN DER RSA-VERSCHLÜSSELUNG VON DANIEL METZSCH

SCHRIFTLICHE ZUSAMMENFASSUNG ZUM VORTRAG DIE GRUNDLAGEN DER RSA-VERSCHLÜSSELUNG VON DANIEL METZSCH SCHRIFTLICHE ZUSAMMENFASSUNG ZUM VORTRAG DIE GRUNDLAGEN DER RSA-VERSCHLÜSSELUNG VON DANIEL METZSCH Freie Universität Berlin Fachbereich für Mathematik & Informatik Institut für Mathematik II Seminar über

Mehr

(c) x = a 2 b = ( ) ( ) = Anzahl der Teiler von x: τ(x) = (1 + 1) (3 + 1) (1 + 1) (7 + 1) = 128

(c) x = a 2 b = ( ) ( ) = Anzahl der Teiler von x: τ(x) = (1 + 1) (3 + 1) (1 + 1) (7 + 1) = 128 Aufgabe 1 Wir betrachten die beiden Zahlen a = 57 101 3 und b = 3 57 79 101 (4+2+4=10 Punkte) ( Es gilt: 3, 57, 79, 101 P ) Hier liegt ein Fehler in der Aufgabenstellung vor, denn wegen 57 = 3 19 ist 57

Mehr

Galoiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4)

Galoiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4) Galoiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4) auch Galois-Felder (englisch Galois elds), benannt nach Evariste Galois (18111832). Körper (in der Mathematik) allgemein: Zahlenbereich, in dem die vier Grundrechenarten

Mehr

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 5, Wintersemester vom 21. Januar 2006

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 5, Wintersemester vom 21. Januar 2006 Prof. E.-W. Zink Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 5, Wintersemester 2005-06 vom 21. Januar 2006 1. Sei (N, v) Peano-Menge

Mehr

Zufallsprimzahlen und eine Revolution in der Kryptographie Stefan Edelkamp

Zufallsprimzahlen und eine Revolution in der Kryptographie Stefan Edelkamp Zufallsprimzahlen und eine Revolution in der Kryptographie Stefan Edelkamp Fakultät für Mathematik und Informatik Universität of Bremen Übersicht des Vortrags 1 Einfache Kryptosysteme 2 Einmalschlüssel

Mehr

Angewandte Diskrete Mathematik

Angewandte Diskrete Mathematik Skript zur Vorlesung Angewandte Diskrete Mathematik Wintersemester 2009/10 Prof. Dr. Helmut Maier Dipl.-Math. Hans- Peter Reck Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Universität Ulm

Mehr

Galoiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4)

Galoiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4) Galoiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4) auch Galois-Felder (englisch Galois elds), benannt nach Evariste Galois (18111832). Körper (in der Mathematik) allgemein: Zahlenbereich, in dem die vier Grundrechenarten

Mehr

384 = = = =

384 = = = = Aufgabe 1 (a) Sei n N. Charakterisieren Sie die Einheiten im Ring Z/nZ auf zwei verschiedene Arten. (b) Bestimmen Sie das inverse Element zur Restklasse von 119 in der Einheitengruppe von Z/384Z. (a) Die

Mehr