Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

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1 Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00

2 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern und Kürzen Größenvergleich Huptnenner Addition und Subtrktion Division: Bruch durch Zhl Multipliktion: Bruch mit Zhl 0 Multipliktion: zwei Brüche 0 Division durch einen Bruch Hinweise Gleichungen mit Brüchen Bruchgleichungen und Definitionsmenge Gemischte Übungen zum Grundwissen Lösungen

3 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Ausgehend von den gnzen Zhlen knn mn Brüche folgendermßen definieren: ; ; ; ; Allgemein: ; usw. nennt mn Brüche. heißt Bruch, wenn,b ( b 0 ) b Bezeichnungen: b Zähler Nenner Bruchstrich Ds ist mthemtisch einen eindeutige Definition. Sie sgt ber nicht viel drüber us, ws ein Bruch bedeutet. Ws bedeutet z. B.?. Deutung: Wir betrchten den Einheitskreis, ds ist der Kreis mit der Flächenmßzhl. ( Mn stelle sich z. B. eine gnze Torte vor! ) Die Zhl im Nenner gibt dnn n, in wie viele Teile zerlegt wurde: : ( : ) bzw. Der Bruch gibt die Größe eines Teiles n. Die Zhl im Zähler gibt n, wie viele Teile dieser Größe zusmmengefsst werden:.

4 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Grundwissen. Deutung: Der Bruch knn uch ls Teilungsufgbe gedeutet werden: ( : ). Im Kreisbeispiel heißt ds, dss Kreise in Teile geteilt werden. Jedes Teil ht dnn die Größe. Rtionle Zhlen: Ist bei einem Bruch b der Zähler ein Vielfches des Nenners b, so bedeutet b eine gnze Zhl, ndernflls eine neue Zhl, die zwischen zwei gnzen Zhlen liegt. Rtionle Zhlen: Gnze Zhlen und Brüche hben den gemeinsmen Nmen rtionle Zhlen und werden mit bezeichnet. bezeichnet lso die Menge der rtionlen Zhlen. Beispiele: ; ; - ;... Gemischte Schreibweise kg Weintruben bedeutet usführlichgeschrieben: kg Weintruben kg Weintruben und ist eine ndere Schreibweise für kg Weintruben. Also:. Ausnhmsweise wird bei der gemischten Schreibweise ds -Zeichen weggelssen. Beispiele: ; -

5 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Grundwissen Erweitern und Kürzen Viele Brüche stellen dieselbe Zhl dr, wie ds Beispiel m Einheitskreis verdeutlicht: Alle gennnten Brüche beschreiben dieselbe Größe, den Hlbkreis: Es gilt lso :. Einen Bruch erweitern heißt, Zähler und Nenner mit derselben Zhl multiplizieren. Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zhl dividieren. Die durch Erweitern und Kürzen entstehenden Brüche stellen dieselbe rtionle Zhl dr. Beispiele: ) Erweitern: Kürzen: : : Erweitern bedeutet lso in mehr Teile ufteilen und gleichzeitig entsprechend mehr Teile zusmmenfssen. Kürzen bedeutet lso in weniger Teile ufteilen und gleichzeitig entsprechend weniger Teile zusmmenfssen. Kürzen knn mn nur, solnge Zähler und Nenner einen gemeinsmen Teiler hben. Deshlb gilt der Stz: Zu jeder rtionlen Zhl gibt es einen Bruch, der nicht weiter gekürzt werden knn. Beispiel: 0 0 und sind teilerfremd. Der Bruch knn lso nicht weiter gekürzt werden.

6 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Grundwissen Größenvergleich Wie stellt mn fest, ob zwei Brüche dieselbe oder verschiedene rtionle Zhlen drstellen? Beispiel: und. Welcher Bruch ist größer? Wir stellen uns beide Brüche wieder ls Teile des Einheitskreises vor. und zerlegen den Kreis in verschieden große Teile. Um einen Größenvergleich vornehmen zu können, muss der Kreis so in Teile zerlegt werden, ds beide Teile us Stü- cken derselben Größe zusmmengesetzt werden können (gemeinsmes Mß). Mn zerlegt den Kreis z. B. in (oder 0 oder...) gleichgroße Teile. Es gilt nun: und. Ds entspricht dem Erweitern mit bzw. ) Jetzt knn gut verglichen werden: Mn sieht nun Der Größenvergleich bei Brüchen erfolgt durch einen Vergleich der Zähler bei gleichem Nenner. <, d <. Gemeinsmer Nenner und Huptnenner Die Zhl us dem Beispiel ist ein gemeinsmer Nenner der beiden Nenner und. Es wären noch beliebig viele ndere gemeinsme Nenner möglich gewesen: 0,, 0,.. Ein Nenner ist gemeinsmer Nenner, wenn er ein Vielfches von jedem einzelnen Nenner ist. Der kleinste gemeinsme Nenner heißt Huptnenner. Durch Erweitern von Brüchen mit verschiedenem Nenner erhält mn Brüche mit gemeinsmem Nenner bzw. Huptnenner. Im Beispiel ist lso der Huptnenner.

7 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Grundwissen Aus rechenprktischen Gründen ist es oft rtsm, den kleinsten gemeinsmen Nenner, lso den Huptnenner zu bestimmen, d dmit ds Rechnen mit (zu) großen Zhlen und Termen vermieden wird. Addition und Subtrktion von Brüchen Wie beim Größenvergleich müssen Brüche zur Addition und Subtrktion zunächst uf den gleichen Nenner gebrcht werden (gleichnmig mchen): Zweckmäßigerweise wählt mn den Huptnenner: Beispiel: Regel: Addition und Subtrktion von Brüchen Zwei Brüche werden ddiert (subtrhiert), indem mn sie - zunächst gleichnmig mcht (d. h. so erweitert, dss beide Brüche denselben Nenner hben) - und nschließend die Zähler ddiert (subtrhiert). Wie findet mn einen gemeinsmen Nenner bzw. den Huptnenner (HN)?. Weg: Alle Nenner miteinnder multiplizieren. Vorteil: funktioniert immer sofort. Nchteil: Es entstehen sehr schnell sehr große Zhlen (oder Term bei den erweiterten Brüchen. Beispiele ) kürzen b b b ( b ( b b b Zähler fktorisieren kürzen. Weg: Mn nimmt den größten Nenner und probiert, welches Vielfche lle Nenner enthält. Vorteil: Bei Nennern us gnzen Zhlen findet mn so schnell den HN. Beispiel: gesucht HN von und 0: Probieren: 0 0 : kein Vielfches von 0 0 : kein Vielfches von Also: 0 0 : Vielfches von () HN ist

8 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Grundwissen. Weg: Zerlegung der Nenner in (Prim-) fktoren. Mn nimmt jeden Fktor sooft, wie er miml in einem Nenner uftritt. Ds Produkt dieser Fktoren ist der HN. Vorteil: Bei großen Zhlen und Termen mit Vriblen findet mn systemtisch den HN. Beispiel: ) gesucht HN von und 0 : Zerlegung von : Zerlegung von 0: 0 Huptnenner: 0 Fktorisieren bei Bruchtermen durch direktes Ausklmmern: b b b b - b 0b 0 Nebenrechnung: Bestimmung des HN (Zerlegung in Fktoren): b (b ) b (b ) 0b 0 (b ) HN : (b ) 0( (b 0(b ) ) (b 0(b ) ) - (b 0(b ) ) (b ) (b ) (b ) 0(b ) 0b 0 0b b 0(b ) 0b 0 b 0 0(b ) (0b b ) 0(b ) 0b b (b ) c) Fktorisieren mit Hilfe von Binomen: 0b b b b - b b Nebenrechnung: Bestimmung des HN (. Binom ): - b ( ( - - b ( - b (. HN ( ( - -b 0b ( ( ( ( ( ( - ( ( b ( ( ( (

9 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Grundwissen 0b b 0b b b ( ( b 0b b ( ( b(b ) ( ( b ( Fktorisieren durch gezieltes Rten (Viet): Nebenrechnung: Bestimmung des HN (Fktorisieren nch Viet): ( ) ( ) - - ( -) ( ). HN : ( -) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )() ) 0 ( )( )( ) ( )( )( ) Division: Bruch durch Zhl: Beispiel: : bedeutet: Teile der Größe werden in Teile geteilt. : Also: : Regel : Ein Bruch wird durch eine Zhl dividiert, indem mn den Zähler durch diese Zhl dividiert. Dieses Verfhren gelingt ber nur, wenn der Zähler ein Vielfches der Zhl ist, durch die geteilt werden soll. Im folgenden Fll versgt ds Verfhren: :, denn Teile können nicht ohne Rest in zwei gnze Teile geteilt werden. Lösung in diesem Fll: Erweitern des Bruches mit der Zhl, durch die geteilt werden soll. Dnn ist der Zähler wieder ein Vielfches der Zhl, durch die geteilt werden soll und mn : knn teilen: : : Dmit ergibt sich die 0 0 0

10 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite 0 Grundwissen Regel : Ein Bruch wird durch eine Zhl dividiert, indem mn den Nenner mit der Zhl multipliziert. Bemerkungen:. Regel ist die llgemeinere. Sie funktioniert uch im ersten Fll!. Regel wird im llgemeinen nur bei Brüchen ohne Vrible ngewndt. Multipliktion: Bruch mit Zhl Beispiel: Also uch hier wird die Multipliktion wird uf die Addition zurückgeführt. Regel : Ein Bruch wird mit einer Zhl multipliziert, indem mn den Zähler multipliziert. Multipliktion: zwei Brüche ) ) von bedeutet : und wir schreiben. von bedeutet : (siehe oben!). Wir legen fest: von ) von bedeutet ) von, lso. wird in drei Teile geteilt : und dvon wird ds doppelte genommen:.

11 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Grundwissen zusmmengefsst: von [ :] Wir legen fest: von Insgesmt ergibt sich die Regel: Multipliktion von Brüchen: Zwei Brüche werden miteinnder multipliziert, indem mn Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. in Formelschreibweise: c b d b c d (selbstverständlich nur für b,d 0!) Division durch einen Bruch Zur Herleitung der Divisionsregeln benutzen wir die Ttsche, dss die Division die Umkehrung der Multipliktion ist. Wie bezeichnen ds zunächst noch unbeknnte Ergebnis der Division mit : : Umschreiben der rechten Seite : und : : Umschreiben der linken Seite Die Division durch ist lso dsselbe wie die Multipliktion mit. Der Bruch b heißt Kehrwert des Bruches b. Mn dividiert durch einen Bruch, indem mn mit seinem Kehrwert multipliziert. c d c d d In Formelschreibweise: : bzw. : :. d c b d b c b c

12 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Grundwissen Hinweise zum Bruchrechnen: ) zum Kürzen: Regel : So früh wie möglich kürzen! Beispiele: ) b b b : ( ) ( ) c) b b 0 Regel : In Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen! Ws nicht geht, weil der Wert geändert wird: ) (Setzen Sie z. B. ein!) b b (Setzen Sie z. B. b ein!) ) zur Addition und Subtrktion bei gemischter Schreibweise Bei der Addition und Subtrktion von gemischten Brüchen geht mn so vor: Beispiel: (-) erst die Gnzen dnn die Brüche

13 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Grundwissen Gleichungen mit Brüchen Beispiel: Gesucht ist die Lösungsmenge der Gleichung Zunächst wird mit dem Huptnenner multipliziert und dbei direkt gekürzt - 0 Nun wir wie gewohnt die Lösung ermittelt: : ll { } Also: Zur Vereinfchung der Rechnung wird die Gleichung durch Multipliktion mit dem Huptnenner bruchfrei gemcht. Genuso geht mn vor, wenn uch im Nenner der Brüche die Vrible vorhnden ist: Bruchgleichungen Beispiel: Gesucht ist die Lösungsmenge der Gleichung Fktorisieren der Nenner. ( ) HN ist (-) Bestimmen der Definitionsmengen D der Gleichung: D \ {} (siehe uch unten!) Für knn die Gleichung mit dem HN multipliziert werden und es wird sofort gekürzt. - vereinfchn und nch uflösen ergibt: ll {} Definitioinsmenge D bei Bruchgleichungen die Vrible im Nenner uftritt, ist druf zu chten, dss nur solche Werte für die Vrible eingesetzt werden, die nicht zu einer Division durch 0 führen (denn die ist j beknntlich nicht definiert!). Alle für die Vrible zugelssenen Werte werden in der Definitionsmenge D ngegeben. D und ll Die Definitionsmenge D gibt lle einsetzren Zhlen n, die Lösungsmenge gibt dvon diejenigen Zhlen n, die die Gleichung zu einer whren Aussge mchen. Also ist ll eine Teilmenge von D : ll D.

14 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Übungen Übungen ) gelb rot grün Betrchten Sie die Aufteilung im Kreis genu! Bentworten Sie dnn die folgenden Frgen und begründen Sie jeweils Ihre Antwort! ) Wie groß ist die gelbe Fläche? Wie groß ist die rote Fläche? c) Welche der beiden Flächen ist größer? Wrum? Um wieviel? Wie groß ist die grüne Fläche? Ist sie größer oder kleiner ls die gelbe bzw. rote Fläche? Wie groß ist jeweils der Unterschied? Pßt ds dreifche der gelben Fläche noch in den Kreis? Um wieviel ist sie größer oder kleiner ls der Kreis? Bentworten Sie diese Frge uch für die grüne und und rote Fläche! Nehmen Sie n, Sie zerlegen die rote Fläche in fünf gleiche Teile. Wie groß ist dnn jedes dieser Teile? g) Wie groß sind der roten Fläche?

15 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Übungen ) gelb rot grün Betrchten Sie die Aufteilung im Kreis genu! Bentworten Sie dnn die folgenden Frgen und begründen Sie jeweils Ihre Antwort! ) Wie groß ist die gelbe Fläche? Wie groß ist die rote Fläche? c) Wie groß ist der Unterschied? Pßt die gelbe zweiml in die rote Fläche? Wie groß ist die grüne Fläche? Wie oft muss mn die rote Fläche nehmen, um mindestens drei Kreise uszufüllen? Wie oft um genu drei Kreise zu füllen? Bentworten Sie uch für die gelbe und die grüne Fläche! g) Zerlegen Sie die rote Fläche in - zwei - drei - sieben gleichgroße Teile. Wie groß sind diese? h) Wie groß sind ; der roten Fläche?

16 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Übungen Größenvergleich ) Welcher Bruch ist größer? Bilden Sie den gemeinsmen Nenner und vergleichensie! ) ; ; c) ; ; 0 ) Ordnen Sie die Brüche nch ihrer Größe: ; ; ; ; ; ; ; ; Kürzen und Erweitern ) Kürzen Sie soweit wie möglich: ) 0 c) g) h) ) Kürzen Sie soweit wie möglich: ) b c) y b yz y ( )b b( ) y ( y) g) b ( h) ( ) (y ) ) Fktorisieren Sie und kürzen Sie soweit wie möglich! ) b b b c) b b b y 0 0 y y g) b 0 b h) ) Erweitern Sie so, dss beide Brüche denselben Nenner hben ) ; ; c) ; ; b ; b ; g) 0 b ; ( h) ( y) ; ( y)

17 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Übungen ) Richtig oder flsch? (Welcher Fehler wurde gemcht?) 0 0 y y ) c) y y b b Addition und Subtrktion 0) Berechnen Sie die folgenden Summen und Differenzen. Benutzen Sie den Huptnenner. ) c) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 0 p) q) r) s) t) ) Berechnen Sie den Wert der folgenden Terme für die ngegebenen Werte: ) für,, - für,, -, - c) für, 0, - 0 für,, -, -

18 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Übungen gleichnmig mchen, Huptnenner ) Schreiben Sie ls einen Bruch: ) c) i) b b g) h) y y j) b b k) 0 l) m) n) o) p) ) Schreiben Sie ls einen Bruch: ) c) ( ) ( ) ( ) g) h) 0b b b i) b b b j) k) l) Multipliktion ) Berechnen Sie (möglichst im Kopf!) ) c) g) 0 h) 0 i) 00 0 j) k) l) m) n) o) p) q) r) 0

19 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Übungen ) Berechnen Sie (möglichst im Kopf!) ) g) c) h) i) j) k) l) 0 ) Berechnen Sie! Prüfen Sie, ob schon vor dem Rechnen gekürzt werden knn! ) g) 0 c) h) i) j) k) l) 0 Division ) Berechnen Sie im Kopf! ) : : c) : : : : g) : h) : i) : j) : k) : l) : ) Berechnen Sie im Kopf! ) : : c) 0 : : : : Multipliktion, Division, Addition und Subtrktion ) Berechnen Sie (im Kopf!?) und chten Sie uf frühes Kürzen! ) c) 0 0 g) h) 0 i) j) k) l) m) n) o) p)

20 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite 0 Übungen 0) Berechnen Sie! ) : : c) : : : : g) : h) i) : j) : k) : 0 l) : m) : n) o) : p) : ) Berechnen Sie! ) : : 0 c) : g) : h) : i) j) k) : l) ) Berechnen Sie geschickt! ) c) 0 0 g) h) i) j) k) l) m) : :

21 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Übungen ) Multiplizieren Sie us und fssen Sie soweit wie möglich zusmmen. Benutzen Sie - wenn möglich - die Binomischen Formeln! ) c) 0 g) h) i) 0 b b j) k) : l) ) Schreiben Sie ls einen Bruch! Rechnen Sie uf verschiedenen Wegen! ) b b c) ) Vereinfchen Sie die folgenden Bruchterme: ) y y y b c) ( ) y y b b b b b b : b g) h) y ) (y y y y y y i) ) ( j) y y y y y y

22 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Übungen k) l) : m) n) Gleichungen mit Brüchen ) Bestimmen Sie die Lösungsmenge Multiplizieren Sie zuerst mit dem HN! ) c) 0 z z z g) h) i) z z Bruchgleichungen ) Bestimmen Sie die Definitions- und die Lösungsmenge (D und ll )! ) c) ( )( ) ( ) g) h) 0 i) j) k) l) m) 0 ( ) n) o) 0 p) q) 0 r) 0 s)

23 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Lösungen (ohne Gewähr) Lösungen zu ) Ergebnisse (ohne Begründungen) ) c) rot um größer um bzw. nein um zu groß rot psst genu, gelb ist zu klein um g) bzw. zu ) Ergebnisse (ohne Begründungen) ) 0 c) j 0 rot: mindestens ml, genu ml; gelb: 0 ml; grün 0 ml rot in Teile :, drei Teile:, sieben Teile: g) ; ; zu ) Ergebnisse ) < < ; c) 0 < < zu ) Ergebnis: < < < < < < < < zu ) Ergebnisse ) c) g) h) zu ) Ergebnisse b ) c) y z b b g) h) ( ) (y ) zu ) Ergebnisse ) ( ) b g) h) c) - b y 0 y

24 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Lösungen (ohne Gewähr) zu ) Ergebnisse ) ; 0 ; 0 g) 0 ( ; c) ; 0 0 ; h) ( ( 0 ( y) y)( y) ; ; ( ; b ( - y) y)( - y) b zu ) Ergebnisse ) rchtig. mit zwei erweitert flsch. Zähler mit, ber Nenner mit multipliziert! c) flsch. Zähler ist kein Binom!! flsch. in Summe gekürzt! richtig. im Zähler usgeklmmert und dnn gekürzt. flsch. in Summe gekürzt! zu 0) Ergebnisse ) c) k) l) p) q) zu ) Ergebnisse: g) h) m) r) ) : : : : c) : 0: : 0 0 : i) n) s) -: -: -: j) o) t) -: - -: -: - zu ) Ergebnisse: ) b g) - h) y m) n) zu ) Ergebnisse: c) i) b b j) o) 0 k) 0 p) 0 l)

25 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Lösungen (ohne Gewähr) ) h) k) 0 ( ) ( )( ) i) ( )( ) c) ( )( ) ( ) 0b b 0b ( ( ( ) l) ( ) ( ) ( )( )( ) g) ( )( ) ( )( ) j) ( )( )( ) zu -) Ergebnisse mit TR kontrollieren! zu ) Ergebnisse: ) c) g) h) i) j) k) l) zu -) Ergebnisse mit TR kontrollieren! zu ) Ergebnisse: ) g) m) h) n) o) c) i) j) 0 p) 0 k) l) 0 zu 0) Ergebnisse: ) g) h) m) n) c) i) j) k) o) p) 0 l)

26 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Lösungen (ohne Gewähr) zu ) Ergebnisse: ) c) 0 0(!) g) h) i) 0 j) k) l) zu ) Ergebnisse: ) c) g) h) i) 0 j) k) l) 0 m) zu ) Ergebnisse: ) c) g) h) i) b b 0 0 j) k) l) zu ) Ergebnisse: ) b b b 0 0 c) zu ) Ergebnisse: y y ) y 0 0(( )( ) b c) ( y) b ( )( ) g) b (b ) b

27 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Lösungen (ohne Gewähr) h) y y ( y)( y) i) j) ( y) k) ( ) l) ( )( ) ( ) m) 0 n) zu ) Ergebnisse: ) ll {- } ll { } c) ll { } ll {-} ll { } 0 0 f ) ll { } g) ll {- } h) ll { } ) i) ll { } zu ) Ergebnisse: ) D \{-;} ll {} D \{} ll {} c) D \{-;} ll {-} D \{-;} ll D D \{0} ll {-} D \{-;0} ll {} 0 g) D \{0} ll { } h) D \{0} ll { } i) D \{0} ll {} j) D \{-} ll {-} k) D \{-} ll {} l) D \{0;} ll {} m) D \{} ll D n) D \{0;} ll {} o) D \{0; } ll { 0 } p) D \{} ll {- } q) D \{-,} ll { } r) D \{-;} ll {} s) D \{-;0;} ll {}

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