Zahlen und Mengen. 1.5 Verknüpfung von Mengen

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1 1.5 Verknüpfung von Mengen D Einige Kinder einer Kindergartengruppe werden befragt, wer von ihnen Fußball und wer Federball spielt. nna, Julia, Jasmin, Lukas und Markus lieben das Federballspiel. David, Julia, Sophie, Stefan und Markus spielen Fußball. a) Stelle diese Situation grafisch in einem Mengendiagramm dar. b) Ermittle, wie viele Kinder befragt wurden. c) estimme im aufzählenden Verfahren, wer beide Spiele mag. d) Erkläre, wie man herausfinden kann, wer Federball aber nicht Fußball spielt. Für die eantwortung der Fragen kann man z alle Kinder, die gerne Federballspielen, zur Menge, und alle Kinder, die gerne Fußball spielen, zur Menge zusammenfassen. In diesem Fall muss man jedoch beachten, dass sich die Mengen und überschneiden, da es Kinder gibt, die beiden Mengen zuzurechnen sind. In diesem eispiel ist es notwendig, zwei Mengen miteinander zu verknüpfen. Dazu stehen eigene Operatoren (Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge) zur Verfügung. Zur grafischen Veranschaulichung durch Mengendiagramme (Venn-Diagramme, nach John Venn, 184 1, englischer Mathematiker) verwendet man bei Verknüpfungen von Mengen üblicherweise einander schneidende Kreise (oder ovale Flächen). a) Grafische Darstellung: b) Es sind insgesamt 6 Kinder befragt worden. Es ist dies die nzahl der Elemente in der Vereinigungsmenge. = {x x x } Sprich: vereinigt ist die Menge aller x für die gilt, x ist nur Element von ^ nna Julia Stefan Jasmin Markus David oder x ist nur Element von oder x ist Element von beiden Mengen.... vereinigt;... oder (im Sinne von entweder oder oder ^ beides ) Wenn man nach der nzahl der Elemente in einer Menge fragt, so suchen wir die Mächtigkeit der Menge. Die Mächtigkeit der Vereinigungsmenge ist demnach 6. c) Wir suchen nun nicht mehr nach der Mächtigkeit, sondern nach den Elementen selbst. Julia und Markus sind die gesuchten Elemente. Schreibe die Elemente in Mengenklammern (aufzählendes Verfahren): {Julia, Markus}. Wir sprechen von der Durchschnittsmenge. = {x x ^ x } Sprich: geschnitten ist die Menge aller x für die gilt, x ist Element von und x ist Element von.... geschnitten; ^... und (im Sinne von sowohl als auch ) d) Von den 6 Kindern spielen nur, nämlich nna und Jasmin nicht Fußball sondern nur Federball. us der Menge der Federballspieler/innen entfernt man alle jene Elemente, die auch in der Menge der Fußballspieler/innen sind, als Julia und Markus, und erhält die Menge {nna, Jasmin}. In diesem Fall sprechen wir von der Differenzmenge \. \ = {x x ^ x } Sprich: ohne ist die Menge aller x für die gilt, x ist Element von und x ist nicht Element von. \... ohne eachte: \ \ (Hier: \ = {Stefan, David}... Kinder, die nur Fußball spielen) 4 Zahlen und Maße

2 Vereinigungsmenge ( vereinigt ) = {x x x }... vereinigt; ^... oder (im Sinne von entweder oder oder beides ) Durchschnittsmenge ( geschnitten ) = {x x ^ ^ x }... geschnitten; ^... und (im Sinne von sowohl als auch ) Differenzmenge \ ( ohne ) \ = {x x ^ x } \... ohne Gegeben sind die Mengen = {, 4, 7, }, = {1,, 4, 7} und = {4, 5,, 10}. Stelle, und \ mithilfe von Mengendiagrammen dar. Gib sie jeweils im aufzählenden Verfahren an. Lösung: = {1,,, 4, 7, } = {4} \ = {1, } M 1 = {a, c, e, f, g, h, k, m, r, t}, M = {b, e, j, n, p, t, u}, M = {a, f, j, h, o, s, x} Stelle mit Mengendiagrammen dar und gib im aufzählenden Verfahren an: a) M 1 M b) M M c) M 1 \ M d) M \ M = {, 4, 6, 8, 10, 1, 14}, = {, 6,, 1, 15}, = {4, 8, 1, 16, 0} eschreibe die Elemente der Mengen, und mit eigenen Worten. Stelle mit Mengendiagrammen dar und gib im aufzählenden Verfahren an: a) b) c) d) ilde die Vereinigungsmenge, die Durchschnittsmenge sowie die beiden Differenzmengen. a) = {1,, 5, 8, } b) X = {a, c, f, g, h, r, t, x, y, z} c) M = {rot, grün, blau, gelb} = {, 4, 8, 11, 1} Y = {d, f, k, l, s, t, x} N = {rosa, lila, blau, braun} 1.11 ilde den Durchschnitt und die Vereinigung. a) = {x N 4 < x < 10}, = {x N x < 6} b) = {x N x > }, = {x N x < 8} c) = {x Z < x < 0}, = {x N x < 0} 1.10 Kinder nehmen an Wettkämpfen teil. eim Sackhüpfen (S) gibt es 46 Teilnehmer/innen, beim Ringewerfen (R) und beim Laufbewerb (L) ebenfalls. 4 Kinder treten bei zwei Wettbewerben an: 10 beim Sackhüpfen und Ringewerfen, 1 beim Ringewerfen und Laufen und beim Laufen und Sackhüpfen. 6 Kinder wählen alle drei Wettbewerbe. a) Stelle diese Informationen in einem Venn-Diagramm dar. b) eschreibe, was die Menge S R L bedeutet. Zahlen und Maße 5

3 Zusammenfassung Menge Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten mit einer gemeinsamen Eigenschaft Mengenbeziehungen = Zwei Mengen und heißen gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Die Reihenfolge der Elemente ist nicht von edeutung. Eine Menge heißt Teilmenge einer Menge, wenn jedes Element der Menge auch ein Element der Menge ist. Eine Menge heißt echte Teilmenge einer Menge, wenn und. { } oder Ø Eine Menge, die keine Elemente enthält, heißt leere Menge. Mengenoperationen Vereinigungsmenge ( vereinigt ) enthält alle Elemente, die nur in oder nur in oder in beiden Mengen und enthalten sind. Durchschnittsmenge ( geschnitten ) enthält alle Elemente die in und in enthalten sind. \ Differenzmenge \ ( ohne ) enthält alle Elemente, die nur in aber nicht in enthalten sind. Zahlenmengen Menge der natürlichen Zahlen N = {0, 1,,...} bzw, N* = {1,,...} Primzahlen P: Zahlen >1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind Menge der ganzen Zahlen Z = {...,, 1, 0, 1,,...} etrag (bsolutbetrag) einer Zahl: a = a, wenn a 0 a, wenn a < 0 Menge der rationalen Zahlen Q = { a_ b a Z, b N, b 0} Menge der reellen Zahlen R: Sie enthält die Menge der rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen (das sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen). Zahlen in Prozent und Promille Prozent: 1 % = 0,01; Promille: 1 = 0,001 Rechenoperationen ddition Subtraktion Multiplikation Division Potenzieren Wurzelziehen Summand + Summand = Summe a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) Minuend Subtrahend = Differenz Es gilt: a b c = (a b) c Faktor Faktor = Produkt a b = b a (a b) c = a (b c) a (b + c) = a b + a c Dividend : Divisor = Quotient asis Exponent = Potenz Wurzelexponent Radikand = Wurzel Kommutativgesetz ssoziativgesetz Kommutativgesetz ssoziativgesetz Distributivgesetz 6 Zahlen und Maße

4 Vorzeichenregeln bei der Multiplikation und Division Zahlen und Mengen (+a) (+b) = +(a b) ( a) (+b) = (a b) (+a) : (+b) = +(a : b) ( a) : (+b) = (a : b) (+a) ( b) = (a b) ( a) ( b) = +(a b) (+a) : ( b) = (a : b) ( a) : ( b) = +(a : b) rüche kann man erweitern (Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren) bzw. kürzen (Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren). Vor dem ddieren bzw. Subtrahieren müssen rüche durch Erweitern (oder Kürzen) auf gleichen Nenner gebracht werden. nschließend werden die Zähler addiert bzw subtrahiert, der Nenner bleibt unverändert. eim Multiplizieren werden die Zähler und die Nenner jeweils miteinander multipliziert. Durch einen ruch dividiert man, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Rechnen mit Zehnerpotenzen = 10 n (n Faktoren) 10 0 = 1 Es gilt: 10 n 10 m = 10 n + m 10 1 = n = 10 n m 10 n = 1 10 m 10 n Weitere ufgaben Natürliche Zahlen und ganze Zahlen 1.11 erechne das Ergebnis. a) [( ) ( 5) ( ) ( 7)] b) {( 1) [4 5 ( ) ] + 8} 1.1 erechne das Ergebnis. a) 5 (5 ) 7 + b) Kennzeichne die angegebenen Mengen auf einem geeigneten usschnitt des Zahlenstrahls. a) = {x Z x < 5} b) = {x Z x > } c) = {x Z x 8} 1.14 Interpretiere die Teilbarkeitsregeln und kreuze an, welcher Teiler zu den Zahlen passt.... ist Teiler von estimme das kleinste gemeinsame Vielfache und den größten gemeinsamen Teiler. Überprüfe die Ergebnisse anschließend mithilfe von Technologieeinsatz. a) 48, 54 b) 70, 108 c) 10, 15 d) 4, Kennzeichne das angegebene Intervall auf dem Zahlenstrahl und gib es in Mengenschreibweise an. a) [,5; 7] b) ] ; 5] c) [ ; 4[ d) ] 5; 1[ Zahlen und Maße 7

5 Rationale Zahlen D D 1.17 Gib in Dezimalschreibweise an. a) 1_ e) _ 5 b) 1_ 4 c) _ 4 d) _ 8 f) 1 5 g) 0 h) Forme in einen gekürzten ruch um. a) 0,8 b) 0,05 c) 0,15 d) 0,015 e) 0,75 f) 0,004 g) 0,16 h) 0, erechne das Ergebnis und kürze wenn möglich. a) _ _ b) 1_ _ _ c) _ d) 4_ 7 + _ _ Kürze soweit wie möglich und berechne das Ergebnis. a) b) 16 : 8_ 1 c) 5 15 e) 6_ 5 : 10 1 f) 7_ g) 48 5 _ 6 : d) 5 11 : 10 h) : Es wird empfohlen, dass man gemischte rüche (ganze Zahlen mit ruch) in den Rechnungen vermeiden soll. egründe, warum diese Empfehlung berechtigt ist, indem du zeigst, wie man mit solchen Zahlen mit und ohne Technologieeinsatz rechnet. Erkläre, wie man gemischte rüche vermeiden kann. a) _ 1 _ 7 b) 5 _ 7 _ c) _ 4 1 _ 1.1 erechne das Ergebnis mithilfe von Technologieeinsatz. eachte die korrekte Eingabe von Klammern! a) 1_ [ _ ( _ ) + _ 5 ] b) 5 18 [ 1_ : ( )] 10 ) ] d) [ 4_ 7 ( 4_ : 1 c) 1_ : [ _ 4 ( Der Preis eines Taschenrechners wird in einem Geschäft zuerst von 75 um 8 % gesenkt und dann um 8 % erhöht. In einem anderen Geschäft wird der Preis des gleichen Geräts, das dort ebenfalls 75 kostet, zuerst um 8 % erhöht und dann um 8 % gesenkt. In welchem Geschäft ist der Taschenrechner nun billiger? egründe! 15 + )] : Thomas gibt 80 % seiner Ersparnisse für DVDs aus und kauft anschließend einen Pullover. Jetzt besitzt er noch 0 ent, das sind seiner ursprünglichen Ersparnisse. erechne, wie viel Geld Thomas für die DVDs und für den Pullover ausgegeben hat. 8 Zahlen und Maße

6 Potenzen, Wurzeln, Zehnerpotenzen, Gleitkommadarstellungen 1.15 Rechne im geeigneten Gleitkommaformat und gib das Ergebnis ohne Zehnerpotenzen an. a) 0, b) 0,006 : 0,00000 c) (0,01 : 0,0005) 1.16 Schreibe ohne Zehnerpotenz an. a),5 10 b) 5,8 10 c) 4,6 10 d) Gib die Zahl im normierten Gleitkommaformat an. a) 500 b) 0,056 c) d) 0, Gib die richtigen Zehnerpotenzen an: a) b) c) 0,00001 d) 0, ufgaben : Schreibe die rüche als Zehnerpotenzen und in Dezimaldarstellung an. 1.1 a) 1 b) 1 10 c) 1 d) a) a) b) 10 1 c) 10 1 d) b) c) d) Stelle die rüche als Dezimalzahlen dar. Gib das Ergebis im normierten Gleitkommaformat an. Runde die Dezimalzahl vor der Zehnerpotenz dabei auf eine Nachkommastelle. a) 0, ,0 b) 0, , ei der Opernballübertragung wurde im ORF einmal berichtet, dass die Tanzfläche 1 km groß sei. a) rgumentiere, warum die Größenangabe für eine Tanzfläche im Opernhaus nicht passt. Vergleiche mit der Fläche eines großen Fußballfelds (ca m ). b) Erkläre, welcher Fehler wahrscheinlich bei der Flächenermittlung passiert ist und wie groß die Fläche tatsächlich sein könnte Die Lichtgeschwindigkeit beträgt ca km/s. a) erechne, welchen Weg das Licht in einer Minute, einem Tag bzw. in einem Jahr zurücklegt. b) Der der Erde nächtsgelegene Fixstern lpha entauri liegt ca. 4, Lichtjahre von der Erde entfernt. erechne, wie viel Kilometer das sind. c) Die nächstgelegene Galaxie ist der ndromedanebel. Er ist ca Lichtjahre entfernt. erechne, wie viel Kilometer das sind. D Zahlen und Maße

7 Mengenoperationen In einer Musikgruppe von Kindern spielen 14 Flöte, 11 Gitarre und 14 Klavier. 5 Kinder spielen Flöte und Gitarre, spielen Gitarre und Klavier, 4 spielen Flöte und Klavier. Kinder spielen sowohl Flöte als auch Gitarre und Klavier. F... Menge der Kinder, die Flöte spielen G... Menge der Kinder, die Gitarre spielen K... Menge der Kinder, die Klavier spielen Zeichne ein passendes Mengendiagramm, das den beschriebenen Sachverhalt darstellt. Ermittle, wie viele Kinder nur 1 Instrument und wie viele keines dieser Instrumente spielen In einer Kindergartengruppe haben 4 Kinder bei einem Sportfest mitgemacht. Insgesamt waren 18 Kinder beim Weitspringen (Menge W). eim Frisbeewerfen (Menge F) waren insgesamt 4 Kinder. 10 Kinder haben sowohl beim Frisbeewerfen als auch beim Weitspringen mitgemacht. Erstelle ein Venn-Diagramm, das diesen Sachverhalt beschreibt. Lies aus diesem Diagramm ab, wie viele Kinder keine dieser beiden Sportarten mitgemacht haben. eschreibe, was die folgende Mengenverknüpfung im Sachzusammenhang aussagt: M = (W \ F) (W F) Die Kinder einer Volksschule können sich Mineralwasser beim Schulausflug für 1 oder Getränke aus insgesamt 4 Sorten entscheiden. Jedes Kind 5 nimmt zumindest 1 Getränk. Im 1 nebenstehenden Venn-Diagramm ist die 0 Entscheidung der Kinder dargestellt. Lies aus dem Diagramm ab, wie viele Kinder insgesamt beim Schulausflug teilgenommen haben. Orangensaft Kennzeichne die Menge aller Kinder, die Mineralwasser oder Eistee, aber nicht Himbeersaft gewählt haben. Lies ab, wie viele Kinder Mineralwasser und Himbeersaft gewählt haben. Himbeersaft 14 4 Eistee In der Ganztagsschule sind zum Mittagessen 6 Kinder anwesend, die alle zumindest eine Portion essen. us Gerichten können sich die Kinder ihr Essen zusammenstellen, wobei von jedem Gericht nur jeweils eine Portion pro Kind genommen wird. Es gibt Pommes, Fleischlaibchen und ananencreme. Im Venn- Fleischlaibchen Pommes Diagramm ist dargestellt, wie die Kinder wählen. estimme, wie oft die unterschiedlichen 6 4 möglichen Kombinationen vorkommen. 4 Ermittle, wie viele Portionen Pommes, Fleischlaibchen und ananencreme gegessen wurden, wenn zusätzlich die Lehrpersonen alle ananencreme Gerichte essen. 40 Zahlen und Maße

8 1.14 In einem Kindergarten wird erhoben, wie viele Kinder neben Deutsch noch andere Sprachen sprechen. lle 50 befragten Kinder sprechen Deutsch (D). Es gibt 81 Kinder, die neben Deutsch auch Englisch (E) können, 4 Kinder, die auch Türkisch (T) sprechen und 1 Kinder, die auch Ungarisch (U) beherrschen. Kinder können Deutsch, Englisch und Türkisch. 6 Kinder sprechen Ungarisch, Deutsch und Englisch. Veranschauliche die Verteilung der Sprachen mithilfe eines Venn-Diagramms. Ermittle, wie viele Kinder nur Deutsch sprechen. Ordne den beiden angegebenen Mengen 1 bzw. jeweils die zutreffende ussage aus bis D zu. 1 D \ (T U) (D E) \ U D Die Menge der Kinder, die nur Deutsch sprechen. Die Menge der Kinder, die Deutsch und Englisch, aber nicht Ungarisch sprechen. Die Menge der Kinder die nur Deutsch oder Deutsch und Englisch sprechen. Die Menge der Kinder, die nicht Türkisch oder nicht Ungarisch sprechen Die Menge beschreibt die Menge der uben in einer Kindergruppe, die Menge der Mädchen dieser Gruppe und die Menge der Mädchen und uben, die ein Musikinstrument spielen, und D die Menge der Mädchen und uben, die Musik gerne hören. Keine der Mengen ist leer. Stelle die Situation in einem Mengendiagramm dar. Kreuze die richtige der folgenden 5 ussagen an: D E D ist die leere Menge. D ist die leere Menge. ist die leere Menge. D ist die leere Menge. ist die leere Menge. Zahlen und Maße 41

9 Wissens-heck 1 Du kennst die Zahlenmengen und ihre eziehungen zueinander und kannst sie mit den richtigen Symbolen miteinander vergleichen. Kreuze die richtigen ussagen an und begründe deine uswahl. N Q Z Q R Z D R N gelöst Du kannst Zahlenmengen im aufzählenden und im beschreibenden Verfahren darstellen und kannst das nebenstehende Mengendiagramm interpretieren. {, 1, 0, 1, } =... Kreuze das richtige Ergebnis an. egründe! {x N x } {x R x } {x Z x } D {x N x < } Du kannst die egriffe ggt und kgv erklären und anwenden. Kreuze das richtige Ergebnis an. egründe deine uswahl. ggt(, 48) = 48 ggt(, 48) = 48 : kgv(, 48) = 48 D kgv(, 48) = Du kennst den egriff bsolutbetrag oder etrag. Kreuze das richtige Ergebnis an. egründe deine uswahl. Wenn a eine negative Zahl ist, dann gilt: a = a Wenn a eine negative Zahl ist, dann gilt: a = a Wenn a und b negative Zahlen sind, dann gilt: a b = a + b D Wenn a und b positive Zahlen sind, dann gilt: a b = a + b Du kannst bsolutbeträge in deinem Rechengerät korrekt eingeben = Kreuze das richtige Ergebnis an D 14 Setze die richtigen egriffe ein. Damit man rüche addieren kann, muss man sie auf gleichen bringen. Der der einzelnen. ist das 4 Zahlen und Maße

10 Du kannst rüche in Dezimalzahlen umwandeln. Kreuze die richtige ussage an und begründe deine uswahl. Wenn man rüche in Dezimalzahlen umwandelt, dann gilt: D Man muss den Nenner durch den Zähler dividieren. Es ergeben sich immer unendlich viele Dezimalstellen. Man kann nicht alle rüche in Dezimalzahlen umwandeln. Man muss den Zähler durch den Nenner dividieren. Du kannst bei Eingabe einer Rechnung bei Einsatz von Technologie die erforderlichen Klammern korrekt setzen. Kreuze an, wo bei Eingabe des ruches 1 10 die Klammern richtig gesetzt 1 16 wurden. 1 von 4 ist richtig. 1^ 10/(1 ( 16 )) D 1^ (10/(1 ( 16 ))) (1^ 10)/(1 (16) ) (1^) 10/(1 (16) Du kannst die Regeln für die Multiplikation und die Division von Zehnerpotenzen richtig anwenden: 10 n 10 n 5n = Kreuze das richtige Ergebnis an und erkläre die verwendeten Rechengesetze. 10 n n 5 D 10 6n Du weißt, was negative Hochzahlen auf der asis 10 aussagen. Kreuze die richtige Lösung an und erkläre die Vorgangsweise. 10 = 0, = 0, = D 10 1 = 10 Du kannst Größen im normierten Gleitkommaformat mit Rundung der Dezimalzahl auf 1 Nachkommestelle angeben und die dazugehörenden Maßeinheiten beliebig umrechnen. Kreuze die richtigen ussagen an und begründe deine uswahl m 4,5 km m 4, dm m 4, ha D m 4,5 10 a gelöst Lösung: 1), ) ) D 4) 5) 6) Nenner, gemeinsame Nenner, kgv, Nenner 7) D 8) ) D 10) 11), D Zahlen und Maße 4